10 сынып Алгебра және анализ бастамалары
Көпмүшелер Бірнеше айнымалысы бар көпмүшенің түрі және сипаттамасы. Анықтама. Бірмүшелердің қосындысы көпмүше деп аталады Анықтама. Көпмүшенің құрамына кіретін бірмүшелер көпмүшенің мүшелері д.а. Бірнеше айнымалы көпмүше n -ші дәрежелі біртектi көпмүше деп аталады, егер көпмүшенің әрбір мүшесінің дәреже көрсеткіштерінің қосындысы n -ге тең болса.
Өрнектерді қарап шығыңыз. Бір айнымалы көпмүшелердің қасына «˅» белгісін, бірнеше айнымалы көпмүше қасына «+» белгісін, көпмүше болып табылмайтын өрнектер қасына «–» белгісін қойыңыздар.
˅ ˅ + ˅ + _ _ ˅ ˅ ˅ Умбетова Меруерт Мирзамидиновна
Көпмүшенің анықтамасы !!! Дәреже көрсеткіштері теріс емес бүтін сан болу керек.
Умбетова Меруерт Мирзамидиновна
Тапсырма № 1. көпмүшені канондық түрде жазыңыз а) ( х + 1)( х - 1)( х - 2); б) ( х + 1) 2 ( х - 2) - ( х + 1)( х - 2) 2, в) (2х + 1)(2 х - I) 2 ; г) (2х + 1)(2 х - I) 2 + (1 - 2х) 3
Тапсырма № 2 к өпмүшелері берілген. Кестеге дәреже көрсеткішін толтырыңыздар 5 8 15 7 7 14 3 4 9 3 3 6 7 7 21 Умбетова Меруерт Мирзамидиновна
Көпмүшені стандарт түрде жазыңыз а) (2х-у-3) 2 +(х-Зу-1) 2 ; б) ( х - у - 2z - 1) 2 + (2х+ у + z - З) 2 ; в) (5х - у - 2) 2 + 2(3х - у -1) 2 ; г) ( х - Зу + z - 2) 2 - 3(2х + у - z + 1).
Тақырып: Біртекті және симметриялы көпмүшелер Умбетова Меруерт Мирзамидиновна
Жаңа материал бойынша теориялық түсінік беру Анықтама: Көпмүшенің әрбір бірмүшелерінің дәрежелері тең болса, онда мұндай көпмүше біртекті көпмүше деп аталады. Мысалы : х + 3у, xy ( x+y ) көпмүшелері біртекті көпмүшер болады. Анықтама: Егер f (x;y) көпмүшесіндегі х -ті у -ке, ал у -ті х -ке ауыстырғанда, берілген көпмүше өзгермесе, ондай көпмүше симметриялы көпмүше деп аталады. Ең қарапайым симметриялы көпмүшелер: х + у және ху. Бұл көпмүшелерді элементар көпмүшелер деп айтады
Умбетова Меруерт Мирзамидиновна
Умбетова Меруерт Мирзамидиновна
Умбетова Меруерт Мирзамидиновна
Тақырып: Көбейткіштерге жіктеу әдісі арқылы бір айнымалысы бар көпмүше түбірлерін табу Умбетова Меруерт Мирзамидиновна
Мысал:
Ax 3 +Bx 2 +Cx+D=0 түріндегі кубтық теңдеуді шешудің алгоритімін қарастырамыз, мұнда x=0 сол теңдеудің шешімі болатын болса Бұл жағдайда D бос мүшесі нөлге тең болса онда теңдеу келесі түрге айналады Ax 3 +Bx 2 +С x=0 осы теңдеуден х айнымалысын жақша сыртына шығарсақ бір түбірі 0-ге тең. ал жақша ішіндегі теңдеудің түбірлерін Виетпен немесе Дискриминатпен есептеп шығамыз x(Ax 2 +Bx+C)=0
Теңдеуді шеш : 3x 3 +4x 2 +2x=0 Шешуі : 3x 3 + 4 x 2 +2x=0 x(3x 2 +4x+2)=0 x=0 бір түбірі. Енді квадрат үшмүшенің түбірін табамыз : 3 x 2 +4x+2 D=4 2 -4*3*2=-8 дискриминан нөлден кіші болса түбірі жоқ
ax4 + bx2 + c = 0 теңдеуі биквадрат теңдеу д.а. Жаңа айнымалы енгіземіз:y= x2 онда теңдеу келесі түрде жазылады : y2 +by+c=0. Енді бұрынғыша кварат теңдеуді шешеміз Табылған түбірлерді у жаа айнымалысының орнына қоямыз Умбетова Меруерт Мирзамидиновна
теңдеуді шеш : x 4 - 10 x 2 + 1 = 0. Шешуі : y= x 2, y 2 -10 y +1=0, онда y 1,2 =5 ± √ (24). Теңдеуді шешсек түбірлері x 2 =5+ √ (24) және x 2 =- √ (24) Жауабы : : X 1,2,3,4 = ± √ (5 ± √ (24)). Умбетова Меруерт Мирзамидиновна
р (x) = a n x n + a n-1 x n-1 +…+ a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a o - р ( х ) к өпмүшенің стандарт түрі a n x n – р ( х ) көпмүшесініңең ең үлкен мүшесі a n – ең үлкен мүшесінің коэффициенті Егер a n = 1 болса, онда р ( х ) көпмүшесі келтірілген деп аталады егер a n ≠ 1, р ( х ) көпмүшесі келтірілмеген көпмүше деп аталады a о – р ( х ) көпмүшесінің бос мүшесі n – көпмүшенің дәрежесі
р (x) = s(x) q(x) p(x) көпмүшесі s(x) көпмүшесіне бөлінеді деп айтамыз, егер сәйкестік орындалатындай q(x) көпмүшесі бар болса. p(x) – бөлінді s(x) – бөлгіш q(x) – бөлінгіш Умбетова Меруерт Мирзамидиновна
бөлінді бөлгіш Көпмүшелерді бөлу х 2 + 5 х 3 + 5х − − 3х 2 − 15 х − 3х 2 − 15 0 х 3 − 3х 2 + 5х − 15 = (х 2 + 5)( х − 3) болса, онда х 3 − 3х 2 + 5х − 15 көпмүшесі х 2 + 5 және х − 3 көпмүшелеріне бөлінеді 1 мысал − 3 − бөлінгіш х 3 − 3х 2 + 5х − 15 Умбетова Меруерт Мирзамидиновна
Жаңа материал бойынша теориялық түсінік беру Көпмүшелерді қалдықпен бөлу үшін «бұрыштап бөлу» тәсілі қолданылады. Кез келген f(x) және g(x) көпмүшелері үшін q(x) және r(x) көпмүшелері табылып, f(x)=g(x)*q(x)+r(x) теңдігі орындалады. Мұнда r(x) -тің дәрежесі g(x) -тің дәрежесінен кіші немесе r(x)=0 болады. g(x) көпмүшесі f(x) -ті g(x) көпмүшесіне бөлгендегі толымсыз бөлінді деп айтады.
р (x) = s(x) q(x) + r ( х ) p(x) – көпмүше s(x) – бөлгіш q(x) – толымсз бөлінді r(x) – қалдық
қалдық бөлінді бөлгіш бөлінгіш 2х 2 − х − 3 х − 2 2х 2 − 4х − 3х − 6 2х 3х − 3 3 2х 2 − х − 3 = 2х 2 − 4х + 3х − 6 + 3 = = 2х( х − 2) + 3( х − 2) + 3 = ( х − 2)(2х + 3) + 3, 2-Мысал + 3 Қалдықпен бөлу онда 2х 2 − х − 3 = ( х − 2)(2х + 3) + 3 −
р (x) = (x − а ) q(x) + r кез-келген көпмүшені x − а ексімүшесіне бөлгенде шыққан қалдық р ( х ) бөлінгіш көпмүшенің х = а болғндағы мәніне тең p(x) –бөлінгіш q(x) – бөлінді r – қалдық x − а – бөлгіш
Безу теоремасы бойынша р (2) = 2 2 2 − 2 − 3 = 3 2х 2 − х − 3 х − 2 2х 2 − 4х − 3х − 6 2х 3х − 3 3 р ( х ) = 2х 2 − х − 3 көпмүшесін х − 2.ге бөлгендегі қалдықты тап мысал + 3 Қалдықпен бөлу − қалдық
р (x) = bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f көпмүшесі болсын. р ( х ) – ті ( x − а )- ке бөліп, р (x) = ( х − а ) q(x) + r аламыз. q(x) = kx 3 + mx 2 + nx + s, коэффициенттері Горнер схемасы бойынша есептеледі b c d e f a k = b m = ka + c n = ma + d s = na + e r = sa + f k = b m = ka + c n = ma + d s = na + e r = sa + f
Бөлінгіштің коэффициенттері : 2, − 3, 3, − 4, 8, Ал қалдық r = − 11. демек, 2x 5 + x 4 − 3x 3 + 2x 2 + 5 = = ( х + 2)( 2x 4 − 3 x 3 + 3x 2 − 4 x + 8) − 11 р (x) = 2x 5 + x 4 − 3x 3 + 2x 2 + 5 көпмүшесін x + 2 -ге бөлеміз. мұнда a = − 2 ; Коэффициенттер сәйкесінше 2, 1, −3, 2, 0, 5 тең Горнер схемасымен таблица құрайық: қалдық мысалы 2 1 − 3 2 0 5 − 2 2 2 2 ( − 2)+1 − 3 − 3 ( − 2)+( − 3) 3 3 ( − 2)+2 − 4 − 4 ( − 2)+0 8 8 ( − 2)+5 − 11
Квадраттық үшмүшені көбейткішке жіктеу 4 Ортақ көбейтішті жақша сыртына шығару 1 Топтастыру әдісі 2 Қысқаша көбейту формуласын қолдану 3 Көпмүшені көпмүшеге бөлу
Ортақ көбейткшті жақша сыртына шығару : ( a + b)c = ac + bc Кері ретпен : ac + bc = c ( a + b) 4 мысал 8х 4 + 6х 3 − 4х 2 + 2х = 2х (4х 3 + 3х 2 − 2х + 1 ) 3х 3 + 6х 6 − 27х 4 = 3 x 3 ( 1 + 2х 3 − 9 x)
Топтастыру әдісі Қосудың ауыстырымды немесе терімділік заңдарын қолдану арқылы көпмүшенің мүшелерін кез келген жолмен топтастыруға болады. : a + b = b + a ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = а + b + c 5 мысал 3х 3 + 6х 2 − 27х − 54 = 3(х 3 + 2х 2 − 9х − 18 ) = = 3(х 2 ( х + 2) − 9( х + 2 ) ) = 3( х + 2)(х 2 − 9) = = 3( х + 2)( х − 3)( х + 3)
Қ.К.Ф. қолдану ( a + b )(а − b ) = a 2 − b 2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a − b ) 2 = a 2 − 2ab + b 2 (a + b ) (a 2 − ab + b 2 ) = а 3 + b 3 (a − b ) (a 2 + ab + b 2 ) = а 3 − b 3 (a − b) 3 = a 3 − 3ab 2 + 3a 2 b − b 3 (a + b) 3 = a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3 6 мысал х 6 − 1 = = ( х + 1)(х 2 − х + 1 ) ( х − 1)(х 2 + х + 1 ) (х 3 ) 2 − 1 2 = (х 3 + 1)(х 3 − 1) =
Квадрат үшмүшені көбейткішке жіктеу егер х 1 және х 2 түбірлері a х 2 + b х + с квадрат үшмүше түбірлері болса, онда a х 2 + b х + с = а ( х − х 1 )( х − х 2 ) 7 мысал 2х 2 − 3х − 5 = 2 ( х + 1)( х − 2,5) = ( х + 1)(2х − 5)
Теорема Егер а бүтін саны бүтін коэффициентті көпмүшенің түбірі болса, онда көпмүшенің бос мүшесі а санына бөлінеді
8 мысал х 3 − 3х 2 − 10х + 24 = ( х – 2)(х 2 − х − 12) = = ( х – 2)( х − 4)( х + 3) Көпмүшені көбейткішке жіктеу х 3 − 3х 2 − 10х + 24 Бос мүшенің бөлгіштерін іздейміз 24 : ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24. р (1) = 12 ≠ 0, р (−1) = 30 ≠ 0, р (2) = 0. демек х = 2 – р ( х ) көпмүшесінің түбірі. Горнер схемасы бойынша q(x) ті іздейміз : 1 − 3 −10 24 2 1 1 2 1+( − 3) −1 2 ( − 1) −10 − 12 2 ( −1 2)+24 0
х 2 – у 2 = ( х – у)( х + у ) х 3 – у 3 = ( х – у)(х 2 + ху + у 2 ) x 4 – у 4 = (x – y)(x 3 + x 2 у + xy 2 + у З ) x 5 – у 5 = (x – y)(х 4 + х з y + х 2 y 2 + хy 3 + y 4 ) … x n – у n = (x – y)( х n−1 + х n−2 y + х n−3 y 2 + … + + х 2 y n− 3 + x y n−2 + y n−1 )
х 3 + у 3 = ( х + у)(х 2 – ху + у 2 ) x 5 + у 5 = (x + y)(х 4 – х 3 y + х 2 y 2 – хy 3 + y 4 ) … x 2n+1 + у 2n+1 = (x + y)( х 2n – х 2n−1 y + х 2n−2 y 2 – – х 2n−3 y 3 + … + x 2 y 2n−2 – xy 2n−1 + y 2n )
х 3 + 2х 2 – 7х – 12 = 0 Бос мүшенің бөлгіштері 12 : ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12. Р( х ) = х 3 + 2х 2 – 7х – 12 болсын, онда Р(1) = −16, Р(−1) = −4, Р(2) = −10, Р(−2) = 2, Р(3) = 12, Р(−3) = 0. демек х = −3 – Р( х ) көпмүшесінің түірі. Теорема. Е гер бүтін коэффициенттері бар келтірілген теңдеудің рационал түбірі болса, онда бұл түбір міндетті түрде бүтін сан болады.. Мысал 9
