1 Построение графиков функций путем преобразования
2 Преобразования: y = f(x – a) y = f(x) + b y = - f(x) y = f(-x) y = kf(x), где k>0 y = f(kx), где k>0 y = |f(x)| y = f(|x|)
3 y=x 2 y 0 x 0 Запишите уравнение параболы с координатами вершины ( ) x 0 ;y 0
4 1. Параллельный перенос (сдвиг). Рассмотрим параллельный перенос вдоль оси абсцисс. Пусть дан график функции y = f(x). Как по отношению к нему будет расположен график функции y = f(x – a), a>0 ?
5 График функции y = f ( x - a ), a > 0, получается из графика функции y = f ( x ) сдвигом (переносом) вдоль оси Ох на а единиц в право. y=f(x) y=f(x - 2) (a = 2) y=f(x)
6 Ясно, что если а <0, то г рафик функции y = f ( x - a ) получается из графика функции y = f ( x ) сдвигом (переносом) вдоль оси Ох на а единиц влево. y=f(x) y=f(x+1) (a = -1) y=f(x)
7 Пример 1. График функции y = ( x + 4 ) 2 получается из графика функции y = x 2 сдвигом (переносом) вдоль оси Ох на 4 единиц ы влево. y=x 2 y=(x+4) 2 y=x 2
8 Пример 2. График функции получается из графика функции сдвигом (переносом) вдоль оси Ох на 2 единицы вправо. 2 - = x y
9 Рассмотрим теперь параллельный перенос вдоль оси ординат. В этом случае график функции y = f(x) + b получается из графика функции y=f(x) при b > 0 смещением на b единиц вверх, а при b < 0 – на |b| единиц вниз.
10 y =3 x y =3 x - 1 Пример 3. Чтобы построить г рафик функции y =3 x - 1, сначала строим график функции y =3 x, а затем сдвигаем его вниз на единицу.
11 Пример 4. Чтобы построить г рафик функции, сначала строим график функции, а затем сдвигаем его вверх на единицу.
12 Тест Вопрос 1. График функции (зеленый) получен из графика функции с помощью параллельного переноса. Выберите соответствующую формулу. y=x 2 1. 2. 3. 4. y=x 2
13 Вопрос 2. График функции (зеленый) получен из графика функции с помощью параллельного переноса. Выберите соответствующую формулу. y=x 3 1. 2. 3. 4. y=x 3
14 y=x 2 1. 2. 3. 4. График функции получен из данного с помощью параллельного переноса и симметричного отображения относительно прямой Ох. Напишите соответствующую формулу. Вопрос 3.
15 2. Деформация (растяжение и сжатие) графика. График функции у = f( ω ·x), ω > 0, получается из графика функции у = f(x), «сжатием» к оси у в ω раз при ω > 1 и «растяжением» от оси у в раз при 0 < ω < 1. График функции у = k·f(x), k > 0, получается из графика функции у = f(x), «растяжением» от оси х в k раз при k > 1 и «сжатием» к оси х в раз при 0 < k <1.
16 y=sin x y=sin 2x Пример 5. График функции y =sin 2x получается из графика функций y = sin x «сжатием» к оси у в 2 раза.
17 Пример 6. График функции получается из графика функции y = sin x «растяжением» от оси у в 2 раза.
18 y = f(x) y = 2·f(x) Пример 7. График функции y = 2·f(x) получается из графика функции y = f(x) «растяжением» от оси х в 2 раза.
19 Пример 8. График функции получается из графика функции y = f(x) «сжатием» к оси х в 2 раза.
20 y = f(x) y = -f(x) х у 3. Отражение. График функции y = - f(x) получается зеркальным отражением графика функции y = f(x) относительно оси х.
21 y = f(x) х у График функции y = f( - x) получается зеркальным отражением графика функции y = f(x) относительно оси у. y = f(-x)
22 График функции y =| f ( x )| получается из графика функции y = f ( x ) следующим образом: а) Часть графика, лежащую над осью x, оставляем без изменения; б) Часть графика, лежащую под осью x, отражаем симметрично относительно оси x. Таким образом, ниже оси Ox графика нет. y = f (x) y =| f ( x )|
23 y = f (| x |); y=f (| x |) – четная функция, ее график получится отражением ветви при x ≥ 0 графика функции y = f(x) симметрично относительно оси Оу. Ветвь графика y = f(x) при х < 0 пропадает. y = f (x) у = f (| x |)
Нетрудно показать, что если у = f(x) − периодическая функция с периодом Т, то функция у = f( ω · x), ω > 0, является периодической с периодом. В самом деле, так как функция f(x) имеет период Т, то при любом х выполняется равенство f(x + T) = f(x). Положим φ (x)=f( ω ·x) ; тогда для любого х получим и, следовательно, функция φ (x) имеет период. Например, функция y = sin2x имеет период, а функция − период. 24
