Тригонометрические формулы
Какие знаки имеет синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей? M 1 (cos α ; sin α ) M 2 ( cos (- α ) ; sin (- α ) ) sin ( - α ) = ? cos ( - α ) = ? tg ( - α ) = ? ctg ( - α ) = ? sin 2 ( α ) + cos 2 ( α ) = ? sin (- α ) = -sin α cos (- α ) = cos α tg (- α ) = - tg α ctg (- α ) = - ctg α sin 2 ( α ) + cos 2 ( α ) = 1 x y P (1;0) 0 α - α M 2 M 1 cos α sin(- α ) sin α
Чему равен sin (- 45 ) = sin (- π) = cos (- 45 ) = cos (- π ) = tg (- 45 ) = tg (- 2π ) =
а ) cos б) sin в) cos(-45) г) sin(-30) д) cosπ + sinπ е) sin 2 (5α+β) + cos 2 (5α+β) ж ) cos75°; з) cos 15°.
Формулами сложения называют формулы, выражающие cos ( α ± β ) и sin( α ± β ) через косинусы и синусы углов α и β. cos ( α + β ) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β ) = cos α cos β + sin α sin β sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin( α - β ) = sin α cos β - cos α sin β
Для любых α и β справедливо равенс - тво cos ( α + β ) = cos α cos β – - sin α sin β По определению : M α ( cos α ; sin α ) M - β ( cos (- β ); sin(- β )) M α + β ( cos ( α + β ); sin( α + β )) ∠ M 0 OM α + β = ∠ M - β OM α ⇒ △ M 0 OM α + β = △ M - β OM α ⇒ основания M 0 M α + β = M - β M α равны А значит равны ( M - β M α ) 2 и ( M 0 M α + β ) 2, запишем их x y M 0 (1;0) 0 M α M - β M α + β
Имеем : M 0 ( 1 ; 0 ) M α ( cos α ; sin α ) M - β ( cos (- β ); sin(- β )) M α + β ( cos ( α + β ); sin( α + β )) ( M 0 M α + β ) 2 = ( M - β M α ) 2 ⇒ (1 - cos ( α + β ) ) 2 +( sin( α + β ) ) 2 = ( cos (- β ) - cos α ) 2 + + ( sin(- β ) - sin α ) 2 ⇔ 1 - 2 cos( α + β ) + cos 2 ( α + β ) + sin 2 ( α + β ) = cos 2 β - - 2cos β cos α + cos 2 α + sin 2 β + 2sin β sin α + sin 2 α ⇔ 2 - 2cos( α + β ) = 2 - 2cos α cos β + 2sin α sin β ⇔ cos ( α + β ) = cos α cos β - sin α sin β Теорема доказана.
cos ( α - β ) = ? cos ( α - β ) = cos ( α + (- β )) = cos α cos (- β ) - sin α sin(- β )= = cos α cos β + sin α sin β cos ( π /2 – α ) = sin α sin( π /2 – α ) = cos α cos ( π /2 – α ) = cos ( π /2) cos α + sin( π /2 ) sin α = sin α т.е. cos ( π /2 – α ) = sin α При α = π /2 – β имеем : cos ( π /2 – α ) = cos ( π /2 – π /2 + β ) = cos β = sin α = sin( π /2 – β ) т.е. sin( π /2 – β ) = cos β
sin( α + β ) = cos ( π /2 - ( α + β )) = cos (( π /2 - α ) - β ) = = cos ( π /2 - α ) cos β + sin( π /2 - α ) sin β = = sin α cos β + cos α sin β sin( α - β ) = sin( α + (- β ))= sin α cos (- β ) + cos α sin(- β )= = sin α cos β - cos α sin β Таким образом, sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin( α - β ) = sin α cos β - cos α sin β
Можно вывести аналогичные формулы для tg ( α ± β ) и ctg ( α ± β ). tg ( α ± β ) = sin( α ± β ) / cos ( α ± β ) = =(sin α cos β± cos α sin β )/( cos α cos β ∓ sin α sin β )= = ( tg α ± tg β ) / (1 ∓ tg α tg β ) Аналогично ctg ( α ± β ) = ( c tg α ctg β ∓ 1 ) / ( ctg β ± c tg α )
cos( α + β ) = cos α cos β – sin α sin β ; Следствия : cos( α - β ) = cos α cos β + sin α sin β sin( α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin( α - β) = sin α cos β - cos α sin β
