При большом числе комбинаций для их подсчёта используют специальные комбинаторные правила, главным из которых является правило умножения. Сформулируем его сначала для двух элементов: если первый элемент в комбинации можно выбрать a способами, после чего второй элемент — b способами, то общее число комбинаций из двух элементов будет равно a · b. Вернёмся к примерам, в которых мы перечисляли различные комбинации, и попробуем найти их количество без перечисления, пользуясь сформулированным правилом.
Сколько двузначных чисел можно составить, если использовать только цифры 0, 1, 2? Решение Подсчитаем количество комбинаций по правилу умножения: первую цифру для такого числа можно выбрать двумя способами (это 1 или 2); после этого вторую цифру можно выбрать тремя способами (0, 1 или 2). Всего таких комбинаций будет 2 · 3 = 6.
Пример 2. В школьное расписание нужно поставить четыре урока: алгебру, геометрию, русский язык, литературу. Сколькими способами это можно сделать? Решение: обозначим каждый из предметов буквами А,Г,Р,Л. Первую букву можно выбрать четырьмя способами, после этого вторую — тремя способами (первую выбрать уже нельзя), третью — двумя способами и, наконец, четвёртую — только одним. Всего таких комбинаций будет 4 · 3 · 2 · 1 = 24.
Государственные регистрационные автомобильные номера состоят из буквы, трёх цифр, ещё двух букв и номера региона. Буквы и цифры могут повторяться. Буквы берутся не всякие. Можно использовать только 12 букв: А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, X. Цифры можно брать любые – от 0 до 9. Номер региона на автомобильном номере в Пензенской области - 58. Сколько всего можно составить регистрационных номеров для автомобилей в Пензенской области? Будем рассуждать так же, как и в предыдущем примере: первую букву можно взять одну из 12. Первую цифру берём одну из 10, вторую – снова одну из 10 и третью – снова одну из 10. Затем две буквы подряд. Каждая выбирается из 12 разрешённых букв. И наконец, номер региона. Он может быть только одним. 12 10 10 10 12 12 1 = 10 3 12 3 = 1 728 000.
Если комбинация должна состоять из k элементов и при этом первый элемент в комбинации можно выбрать способами, после чего второй элемент — способами, третий элемент — способами и т. д., то общее число таких комбинаций будет равно произведению k сомножителей: ・ ・ ・ … ・.
Задача 1. Сколько трёхбуквенных слов можно составить, используя только буквы А и Б? Решение Первую букву такого слова можно выбрать двумя способами, вторую — также двумя способами и третью — тоже двумя. Всего таких комбинаций будет 2 · 2 · 2 = = 8.
Задача 3. Сколько существует шестизначных чисел, в которых все цифры разные? Решение Первую цифру шестизначного числа можно выбрать 9 способами, так как нельзя выбирать 0. После этого вторую цифру — тоже 9 способами, поскольку нельзя использовать ту цифру, что была выбрана первой. Следующую цифру — 8 способами, затем — 7 способами и т. д. Всего таких чисел будет 9 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 = 136 080.
Задача 4. Сколько различных натуральных делителей имеет число N = · · ? Решение Используя формулу вычислим количество делителей числа N : d = (5+1)(2+1)(3+1) = 6 ∙ 3 ∙ 4 = 72. Формула для количества делителей: Если число N имеет разложение на простые множители вида N = ∙ …∙, то количество натуральных делителей числа N вычисляется по формуле: d = ( х +1)( у +1)( z+1) ⋯ ( n +1).
Задача 5. В автоматических камерах хранения на железнодорожных вокзалах применяется шифр, который состоит из одной буквы и трёх цифр. Буквы берутся от А до К, исключая буквы Ё и Й, а цифры могут быть любыми – от 0 до 9. Например, Д195.Сколько можно составить различных шифров?
Задача 6. Сколько можно составить троек, выбирая: а) первый предмет из 4, второй из 8, а третий из 5 предметов; б) первый предмет из 7, второй из 4, а третий из 9 предметов; в) первый предмет из 5, второй из 13, а третий из 21 предмета; г) первый предмет из 8 предметов, второй и третий из оставшихся после выбора предыдущих?
1. Три раза бросают игральный кубик и четыре раза – монету. Сколько элементарных исходов в этом эксперименте? 2. Сколько различных натуральных делителей имеет число 2025? 3. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0; 1; 2; 4; 5; 9?
