9 класс АЛГЕБРА
Примечание к определению: вместо знака > могут стоять и другие знаки неравенства: <, ≥, ≤. Неравенство вида а х 2 + b х + с > 0, где а ≠ 0, называют квадратным неравенством.
На рисунке изображён график функции у = х 2 – 2х – 3. График пересекает ось х в двух точках, абсциссы которых равны – 1 и 3, т. е. при х = – 1 и х = 3 значения функции у = х 2 – 2х – 3 равны нулю. При –1 < х < 3 график расположен ниже оси х, т. е. значения функции на этом промежутке отрицательны. Иными словами, множеством решений неравенства у < 0 является промежуток –1 < х < 3. При x < –1 и x > 3 график расположен выше оси х, т. е. значения функции положительны. Иными словами, неравенство х 2 – 2х – 3 > 0 выполняется при х < –1 и х > 3.
Если требуется решить квадратное неравенство с отрицательным коэффициентом а, то всегда целесообразно перейти к равносильному неравенству с положительным первым коэффициентом, умножив обе части неравенства на – 1. Например, вместо неравенства 5 + 4х – х 2 ≤ 0 решать неравенство х 2 – 4х – 5 ≥ 0.
Решим неравенство х 2 – x – 6 > 0. Выясним, пересекает ли график функции у = х 2 – х – 6 ось х. Для этого решим уравнение х 2 – x – 6 = 0. Его корни x 1 = – 2 и х 2 = 3. Следовательно, парабола (график функции) пересекает ось х в точках с абсциссами – 2 и 3, её ветви направлены вверх. Покажем схематически расположение параболы относительно оси х. Из рисунка видно, что парабола расположена выше оси x при х < – 2 и х > 3. Объединение этих промежутков и составляет множество решений неравенства x 2 – x – 6 > 0. Ответ можно записать двумя способами: 1) x < – 2; х > 3; 2) ( – ∞ ; – 2) U (3; + ∞ ).
Решим неравенство х (3 – 2х) > 2. Раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть, получим: – 2x 2 + 3x – 2 > 0. Теперь заменим неравенство равносильным неравенством с положительным первым коэффициентом (для этого умножим обе части неравенства на – 1 и заменим знак неравенства на противоположный): 2х 2 – 3х + 2 < 0. При всех значениях х парабола расположена выше оси х, это означает, что нет таких значений х, при которых функция у = 2х 2 – 3х + 2 принимает отрицательные значения, значит, неравенство 2х 2 – Зх + 2 < 0 решений не имеет. Ответ можно записать двумя способами: 1) неравенство решений не имеет; 2) ∅. Выясним, пересекает ли парабола – график функции у = 2х 2 – 3х + 2 – ось х. Найдём дискриминант квадратного трёхчлена 2х 2 – 3х + 2, a именно: D = 9 – 4·2·2 = 9 – 16 < 0. Так как дискриминант отрицательный, то квадратный трёхчлен не имеет корней и парабола не пересекает ось х. Изобразим эту параболу схематически.
Область определения выражения задаётся условиями: Решив каждое из неравенств, получим: Сделаем схематический рисунок: Из рисунка видно, что множеством решений системы неравенств является промежуток от 2/3 до 2 (включая эти числа) без числа 1. Ответ можно записать несколькими способами:
Рассмотри решение №320 (пример а )
Мне все понятно. У меня все получилось Есть затруднения. Но я обязательно разберусь. Ничего не понятно. Требуется помощь.
https://uchitel.pro/ квадратные-неравенства / https://pdf.11klasov.net/1384-algebra-9-klass-uchebnik-makarychev-yun-mindyuk-ng-i-dr.html https://interneturok.ru/lesson/algebra/9-klass/itogovoe-povtorenie-kursa-algebry-9go-klassa/kvadratnye-neravenstva
