ЛЕКЦИЯ № 4. ЭТАПЫ СОЗДАНИЯ И РЕАЛИЗАЦИИ МОДЕЛЕЙ План: 1. Модель и классы моделирования 2. Основные этапы создания модели 3. Основные этапы создания и использования компьютерных моделей 4. Методы реализации математических моделей 5. Проверка адекватности модели Опорные слова и словосочетания: модель, моделирование, система, информационный аналог, аналитические выражения, объект-оригинал, материальное моделирование, идеальное интуитивное моделирование, научное моделирование, математическое моделирование, 1. Что такое «модель»? Моделью мы называем некую уменьшенную копию какого-то предмета (модель самолета, макет застройки жилого района, муляж яблока), и математическую формулу (модель полета тела в поле силы тяжести, модель расчета заработной платы), и схему физического явления (модель движения планет солнечной системы, модель работы двигателя внутреннего сгорания), и описание последовательности действий (модель сборки изделия), и образец для подражания (фотомодель), и эталон (модель метра, килограмма). Модель чаще всего определяют следующим образом: • новый объект, который отражает некоторые стороны изучаемого объекта или явления, существенные с точки зрения цели моделирования. • информационный аналог какого-либо явления, процесса или предмета: чертеж, график, схема, план, описание и т.д.). Другими словами, модель - это объект-заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала. Под моделью (от лат. modulus - мера, образец, норма) понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе изучения замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты. Процесс построения и использования модели называется моделированием. Моделирование можно разделить на 2 больших класса: материальное и идеальное. Материальное моделирование - это моделирование объекта с использованием его материального аналога, воспроизводящего основные физические, геометрические, динамические и функциональные характеристики. Идеальное моделирование отличается от материального тем, что оно основано на аналогии идеальной, мыслимой и всегда носит теоретический характер. Материальное моделирование Основными разновидностями материального моделирования являются 1
натурное и аналоговое. Натурное моделирование - это такое моделирование, при котором реальному объекту ставится в соответствие его увеличенный или уменьшенный материальный аналог. К примерам натурных моделей можно отнести макеты в архитектуре, модели судов в судостроении. В настоящее время методы натурного моделирования находят самое широкое применение в судостроении, авиастроении, автомобилестроении и других областях. Аналоговое моделирование - это моделирование, основанное на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми же математическими соотношениями, логическими и структурными схемами). Примерами аналоговых моделей могут служить электрические и механические колебания, которые с точки зрения математики описываются одинаковыми соотношениями, но относятся к качественно отличающимся физическим процессам. Поэтому изучение механических колебаний можно вести с помощью электрической схемы, и наоборот. При некоторых допущениях аналогичными можно считать процессы распространения тепла в теле, диффузии примесей и просачивания жидкости. Идеальное моделирование Идеальное моделирование разделяют на два основных типа: интуитивное и научное. В качестве наиболее яркого примера интуитивной модели окружающего мира можно считать жизненный опыт любого человека. К данному типу моделирования можно отнести умения и знания, накопленные многовековым опытом и передающиеся от поколения к поколению (например, умение лечить болезни с использованием трав и приемов народной медицины). Любое эмпирическое знание без объяснения причин и механизмов наблюдаемого явления также следует считать интуитивным. Научное моделирование - это всегда логически обоснованное моделирование, использующее минимальное число предположений, принятых в качестве гипотез на основании наблюдений за объектом моделирования. Главное отличие научного моделирования от интуитивного заключается в знании «внутренних» механизмов, которые используются при этом. Необходимо заметить, что в основе любого логического рассуждения лежат гипотезы или аксиомы, принимаемые на веру и не противоречащие опыту или эксперименту. Знаковым называют моделирование, использующее в качестве моделей знаковые изображения какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, иероглифы и т.д., включая законы и правила оперирования с ними. В качестве примеров таких моделей можно назвать любой язык: человеческого общения, алгоритмический, химических формул, живописи, нот для записи музыкальных произведений и т.д. 2
Знаковая форма используется для передачи как научного, так и интуитивного знания. Моделирование с помощью математических соотношений также является примером знакового моделирования. 2. Основные этапы создания модели Итак, предположим, что есть объект исследования и определена цель построения модели этого объекта. С чего начать построение модели? Первое, что нужно сделать, это проанализировать объект с точки зрения цели моделирования. На этом этапе выделяются все известные субъекту моделирования свойства объекта. Это нужно для того, чтобы среди многих свойств и признаков объекта выделить существенные с точки зрения целей моделирования, которые затем должны быть отражены в модели. Для одного и того же объекта при разных целях моделирования существенными будут считаться разные свойства. Предположим, вы решили сделать бумажный самолётик, чтобы можно было его запускать и наблюдать, как он летает. Наиболее важно для вас в этом случае то, чтобы самолётик летел подобно настоящему самолёту (пусть очень короткое время и на маленькой высоте). Для этого в модели вы должны отразить корпус с носовой и хвостовой частью и крылья. Именно эти элементы конструкции и их взаимное расположение будут существенными признаками, по которым бумажный самолётик подобен настоящему. Для кассира по продаже авиабилетов моделью самолёта будет план салона, а существенными признаками - расположение рядов кресел, количество кресел в ряду, стоимость билета для каждого места, наличие свободных мест. Для авиадиспетчера модель самолёта - это светящаяся точка на экране радара. Существенные признаки - скорость и высота полёта, направление и вид движения (взлёт, посадка, разворот и т. п.), взаиморасположение с другими самолётами, находящимися в контролируемом районе. Для технолога цеха, где происходит сборка самолёта, моделью самолёта будут конструкторские чертежи, технологическая карта сборки, перечень деталей. Существенные признаки - наименование и количество деталей, порядок и способ их соединения, требования к квалификации специалистов, необходимое оборудование для обеспечения технологического процесса и прочее. Для конструктора самолёта, строящего компьютерную модель, моделью самолёта будет изменение графического изображения и расчётных параметров на экране дисплея при изменении значения входных параметров-переменных. Существенные признаки - закономерности и характер зависимости поведения самолёта и его отдельных элементов от воздействующих на самолёт внешних условий, а также формулы, позволяющие отразить эти зависимости на экране дисплея. Из описания приведённых ситуаций ясно, что первое, что необходимо сделать при построении модели после определения цели моделирования, - это выделить существенные с точки зрения цели моделирования признаки 3
моделируемого объекта. От того, насколько правильно и полно выделены существенные признаки, зависит соответствие построенной модели заданной цели, то есть её адекватность цели моделирования. А вот адекватность модели объекту моделирования будет зависеть от того, как эти выделенные существенные признаки мы сможем выразить, в какой форме мы их отобразим. Понятие адекватности - одно из ключевых понятий моделирования. В случае сложных объектов удовлетворить всем требованиям в одной модели обычно невозможно. Приходится создавать целый спектр моделей одного и того же объекта, каждая из которых наиболее эффективно решает возложенные на нее задачи. Например, в конструкторской и технологической практике, как правило, применяется широкий спектр моделей - от простых расчетных формул на первоначальной стадии до весьма сложных моделей - на завершающей стадии разработки конструкции или техпроцесса Рис. 3.1. Основные этапы создания модели 3. Основные этапы создания и использования компьютерных моделей Процесс последовательной разработки имитационной модели начинается с создания простой модели, которая затем постепенно усложняется в соответствии с предъявляемыми решаемой проблемой требованиями. Несмотря на то что универсальной схемы создания и использования модели не существует, можно выделить некоторые типичные этапы данного процесса [4]. 1. Формулировка задачи и планирование исследования системы. На данном этапе формулируется проблема, стоящая перед исследователем, и определяются основные цели исследования, которые должны быть достигнуты в результате моделирования. При этом также выполняется 4
первоначальное изучение объекта моделирования, обсуждаются ресурсы, имеющиеся в распоряжении экспериментатора, выбираются применяемые средства разработки модели, составляется укрупненный план исследования. 2. Сбор данных и определение модели. Исследователем выполняется построение концептуальной модели системы. При этом выполняется детальное изучение системы, определяются ее границы, устанавливаются необходимые упрощения и приближения, выявляются существенные элементы и свойства системы, устанавливаются единицы измерения, диапазоны изменения, законы распределения, функциональные зависимости переменных и параметров модели. Также на данном этапе по возможности собираются данные о рабочих характеристиках реальной системы для последующей проверки адекватности разработанной модели. При возможности концептуальную модель желательно представить в виде известных и хорошо разработанных типовых систем: систем массового обслуживания, систем управления запасами, систем авторегулирования и т.д. 3. Определение адекватности концептуальной модели. Выполняется структурный анализ концептуальной модели с ее предоставлением на рассмотрение аудитории, которая состоит из руководителей, аналитиков, а также экспертов по изучаемой тематике. Анализ выполняется до начала программирования, чтобы в дальнейшем избежать перепрограммирования модели. Он помогает убедиться, что допущения, принятые для модели, верны и ничего не упущено. В том случае, если модель оказалась не адекватной системе, исследователь возвращается к этапу 2. 4. Создание компьютерной программы и ее проверка. Выполняется программирование и отладка модели. При этом может использоваться либо универсальный язык программирования (C++, C# и т.п.), либо применяться программное обеспечение для моделирования (ReThink, Arena, GPSS, Pilgrim и др.). Преимущество использования языков программирования заключается в том, что они обладают большей гибкостью, позволяя реализовать любые особенности системы, и созданная с их помощью модель требует меньше времени для выполнения. Использование же программного обеспечения моделирования уменьшает время программирования и позволяет снизить вероятность ошибки при реализации модели. 5. Выполнение предварительных прогонов. На данном этапе выполняются предварительные прогоны имитационной модели с целью осуществления проверки ее адекватности системе на следующем этапе исследования. 6. Проверка соответствия программной модели. Выполняется проверка адекватности программной модели исследуемой системе. При этом если есть существующая система, то можно выполнить сравнение характеристик модели и существующей системы при одинаковых исходных данных. Кроме этого, результаты моделирования могут быть показаны аналитикам и экспертам по изучаемой теме с целью определения их 5
правильности. Если программная модель не пройдет данную проверку, то исследователю необходимо вернуться к этапу 2 с целью уточнения концептуальной модели системы. 7. Планирование экспериментов. Выполняется стратегическое и тактическое планирование компьютерного эксперимента. Основной целью данного этапа является получение такого плана эксперимента, который позволит получить ответы на все поставленные вопросы за минимальное время с требуемой достоверностью. В результате определяются те наборы исходных данных, для которых нужно получить результаты моделирования, а также определяются параметры моделирования для конкретных наборов исходных данных, обеспечивающие заданные точность и достоверность результатов. 8. Выполнение рабочих прогонов. Получение результатов моделирования в соответствии с планом эксперимента, составленным на предыдущем этапе. Данные результаты будут анализироваться на следующем этапе. 9. Анализ выходных данных. Выполняется обработка результатов моделирования с целью определения абсолютных характеристик известной конфигурации системы или проведения относительного сравнения альтернативных конфигураций системы. При этом могут использоваться методы регрессионного, дисперсионного анализа, градиентные и другие методы оптимизации. На основании полученных результатов делаются выводы, достаточные для принятия решений по поставленным в начале исследования вопросам. 10. Документальное представление и использование результатов. Документальное оформление допущений компьютерной программы и результатов исследования для использования в текущем и будущих проектах. Выполняется представление результатов исследования для их обсуждения с заказчиками исследования. Использование результатов в процессе принятия решений, если они действительны и достоверны. 3. Методы реализации математических моделей Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации. Математическое моделирование - это идеальное научное знаковое формальное моделирование, при котором объект описывается на языке математики, а модель исследуется с использованием математических методов. Классификация математических моделей в зависимости от методов реализации показана на рис. 3.2. Метод реализации модели относят к аналитическим, если он позволяет получить выходные параметры в виде аналитических выражений, т.е. выражений, в которых используется не более чем счетная совокупность арифметических операций и переходов к пределу. 6
Частным случаем аналитических выражений являются алгебраические выражения, в которых используется конечное или счетное число арифметических операций, операций возведения в целочисленную степень и извлечения корня. Рис. 3.2. Методы реализации моделей При численном подходе математические соотношения модели заменяется конечномерным аналогом. Это чаще всего достигается дискретизацией исходных соотношений, т.е. переходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. После дискретизации исходной задачи выполняется построение вычислительного алгоритма, т.е. последовательности арифметических и логических действий, выполняемых на ЭВМ и позволяющих за конечное число шагов получить решение дискретной задачи. Найденное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи. Степень приближения искомых параметров модели зависит как от погрешностей самого метода, связанных с заменой исходной модели ее дискретным аналогом, так и от ошибок округления, возникающих при выполнении любых расчетов на ЭВМ в связи с конечной точностью представления чисел в ее памяти. Основным требованием к вычислительному алгоритму является необходимость получения решения исходной задачи с заданной точностью за конечное число шагов. Алгоритмические модели, использующие как численный, так и имитационный подход, не позволяют получить решения задач в аналитической форме, что затрудняет и усложняет процесс анализа результатов моделирования. Так как применение моделей данного типа возможно лишь при наличии вычислительной техники, то их эффективность зависит от мощности и быстродействия ЭВМ. Несомненным достоинством алгоритмических моделей является отсутствие принципиальных ограничений на сложность модели, что позволяет применять их для исследования систем произвольной сложности. 7
Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования. Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования показана на рис.3.3. Рис. 3.3. Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования Целью дескриптивных моделей является установление законов изменения параметров модели. В качестве примера такой модели можно привести модель движения материальной точки под действием приложенных сил, использующая второй закон Ньютона. Задавая положение и скорость точки в начальный момент времени (входные параметры), массу (собственный параметр) и закон изменения прикладываемых сил (внешние воздействия), можно определить скорость и координаты материальной точки в любой момент времени (выходные параметры). Полученная модель описывает зависимость выходных параметров от входных. Поэтому дескриптивные модели являются реализацией описательных и объяснительных содержательных моделей на формальном уровне моделирования. Оптимизационные модели предназначены для определения оптимальных параметров моделируемого объекта или же для поиска оптимального режима управления некоторым процессом. Часть параметров модели относят к параметрам управления. Как правило, данные модели строятся с использованием одной или нескольких дескриптивных моделей и включают некоторый критерий, позволяющий сравнивать выходные параметры между собой с целью выбора наилучшего. Целью оптимизационных моделей является поиск таких допустимых параметров управления, при которых критерий выбора достигает своего «наилучшего значения». Примером оптимизационной модели может служить моделирование процесса запуска ракеты с поверхности Земли с целью подъема ее на заданную высоту за минимальное время при ограничениях на величину импульса двигателя, время его работы, начальную и конечную массу ракеты. Математические соотношения дескриптивной модели движения ракеты выступают в данном случае в виде ограничений типа равенств. Отметим, что для большинства реальных процессов, конструкций 8
требуется определение оптимальных параметров сразу по нескольким критериям, т.е. мы имеем дело с так называемыми многокритериальными задачами оптимизации. При этом нередкими являются ситуации противоречивости критериев; например, при оптимизации конструкции рамы грузового автомобиля можно потребовать максимальной жесткости, минимальной массы и минимальной стоимости. Управленческие модели применяются для принятия управленческих решений в различных областях деятельности человека. В общем случае принятие решений является процессом, по своей сложности сравнимым с процессом мышления в целом. Однако на практике под принятием решений обычно понимается выбор некоторых альтернатив из заданного их множества. Например, на предприятии освободилась должность главного инженера, и задача директора состоит в выборе из имеющегося множества кандидатов на эту должность одного, отвечающего заданным требованиям. Сложность задачи заключается в наличии неопределенности как по исходной информации (неполные данные о кандидатах); по характеру воздействия внешних условий (случайное: выбранный кандидат заболел или отказался; игровое: министерство против выбранной кандидатуры), так и по целям (противоречивые требования к выбираемой кандидатуре: должен быть хорошим специалистом и администратором, опытен, энергичен, молод и пр.). Поэтому в отличие от оптимизационных моделей, где критерий выбора считается определенным и искомое решение устанавливается из условий его экстремальности, в управленческих моделях необходимо введение специфических критериев оптимальности, которые позволяют сравнивать альтернативы при различных неопределенностях задачи. Поскольку оптимальность принятого решения даже в одной и той же ситуации может пониматься по-разному, вид критерия оптимальности в управленческих моделях заранее не фиксируется. Именно в этом состоит основная особенность данных моделей. 5. Проверка адекватности модели Под адекватностью математической модели понимается степень соответствия результатов моделирования - экспериментальным данным или тестовой задаче. Проверка адекватности модели преследует две цели: 1) убедиться в справедливости гипотез, принятых на этапах концептуальной и математической постановок. 2) установить, что точность полученных результатов соответствует точности, оговоренной в техническом задании. Проверка разработанной математической модели выполняется путем сравнения с имеющимися экспериментальными данными о реальном объекте или с результатами других, созданных ранее и хорошо себя зарекомендовавших моделей. В первом случае говорят о проверке путем сравнения с экспериментом, во втором - о сравнении с результатами решения тестовой 9
задачи. Решение вопроса о точности моделирования зависит от требований, предъявляемых к модели, и ее назначения. В моделях, предназначенных для выполнения оценочных расчетов, удовлетворительной считается точность 10¬ 15 %. В моделях, используемых в управляющих системах, требуемая точность может быть 1-2% и даже более. Как правило, различают качественное и количественное совпадение результатов сравнения. При качественном сравнении требуется лишь совпадение некоторых характерных особенностей исследуемых параметров (например, наличие экстремальных точек, возрастание или убывание параметра). Неадекватность результатов моделирования возможна, по крайней мере, по трем причинам: 1) значения задаваемых параметров модели не соответствуют допустимой области этих параметров, определяемой принятой системой гипотез 2) принятая система гипотез верна, но константы и параметры в использованных определяющих соотношениях установлены не точно. 3) не верна исходная совокупность гипотез. Все три случая требуют дополнительного исследования как моделируемого объекта, так и исследования самой модели. При возникновении проблем, связанных с адекватностью модели, ее корректировку требуется начинать с последовательного анализа всех возможных причин, приведших к расхождению результатов моделирования и результатов эксперимента. Проверка адекватности - чрезвычайно важный этап моделирования. Попытка проигнорировать его и быстрее перейти к решению «настоящей задачи» приводит к огромным временным издержкам. Контрольные вопросы 1. Что такое модель? 2. Как определяют чаще всего модель? 3. Что такое моделирование? 4. На какие классы можно разделить моделирование? 5. Охарактеризуйте материальное моделирование. 6. Охарактеризуйте идеальное моделирование. 7. Какие типы моделирования являются основными разновидностями материального моделирования? 8. Расскажите об основные этапов создания модели? 9. Какие основные этапы создания и использования компьютерных моделей вы знаете? 10. Что такое математическое моделирование? 11. Расскажите о классификации математических моделей в зависимости от методов реализации. 12. Расскажите о классификации математических моделей в зависимости от целей моделирования 10
Тестовые задания: 1. Первые математические модели были созданы: a) A. Ф. Кенэ b) B. К. Марксом c) C. Г. Фельдманом d) D. Д. Нейманом 2. Модель, представляющая собой объект, который ведет себя как реальный объект, но не выглядит как таковой — это a) физическая модель b) аналоговая модель c) типовая модель d) математическая модель 3. Модель, представляющая то, что исследуется с помощью увеличенного или уменьшенного описания объекта или системы — это a) физическая b) аналитическая c) типовая d) математическая 4. Где впервые были предложены сетевые модели? a) США b) СССР c) Англии d) Германии 5. Какой из структурных элементов включает в себя процесс моделирования? a) анализ b) модель c) объект d) субъект 6. Модели ПЕРТ впервые были предложены в a) 1958 г. b) 1948 г. c) 1956 г. d) 1953 г. 7. Классификация по целевому назначению включает в себя модели a) теоретико-аналитические, прикладные b) макроэкономические, микроэкономические c) балансовые, трендовые d) все ответы верны 8. Классификация по типу информации делится на: a) аналитические, идентифицированные b) статистические, динамические c) матричные, сетевые d) балансовые, трендовые 11
9. Классификация по учету фактора неопределенности включает в себя: a) детерминированные, стохастические b) статистические, динамические c) макроэкономические, микроэкономические d) аналитические, идентифицированные 10. Материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект- оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте- оригинале — это a) модель b) B. аналогия c) C. абстракция d) D. динамика 11. Закончите предложение: «Объект, который используется в качестве «заместителя», представителя другого объекта с определенной целью, называется...» a) моделью; b) копией; c) предметом; d) оригиналом. 12. Закончите предложение: «Модель, по сравнению с объектом-оригиналом, содержит...» a) меньше информации; b) столько же информации; c) больше информации. d) Нет информации 13. Моделирование — это: a) процесс замены реального объекта (процесса, явления) моделью, отражающей его существенные признаки с точки зрения достижения конкретной цели; b) процесс демонстрации моделей одежды в салоне мод; c) процесс неформальной постановки конкретной задачи; d) процесс замены реального объекта (процесса, явления) другим материальным или идеальным объектом; 14. Процесс построения модели, как правило, предполагает: a) выделение наиболее существенных с точки зрения решаемой задачи свойств объекта; b) описание всех свойств исследуемого объекта; c) выделение свойств объекта безотносительно к целям решаемой задачи; d) описание всех пространственно-временных характеристик изучаемого объекта; выделение не более трех существенных признаков объекта. 15. Математическая модель объекта — это: 12
a) совокупность записанных на языке математики формул, отражающих те или иные свойства объекта-оригинала или его поведение; b) созданная из какого-либо материала модель, точно отражающая внешние признаки объекта-оригинала; c) описание в виде схемы внутренней структуры изучаемого объекта; d) совокупность данных, содержащих информацию о количественных характеристиках объекта и его поведения в виде таблицы; 16. К числу математических моделей относится: a) формула нахождения корней квадратного уравнения; b) милицейский протокол; c) правила дорожного движения; d) кулинарный рецепт; инструкция по сборке мебели. 17. К числу документов, представляющих собой информационную модель управления государством, можно отнести: a) Конституцию РУз; b) географическую карту Узбекистана; c) Словарь политических терминов; d) схему Регистана; 18. Рисунки, карты, чертежи, диаграммы, схемы, графики представляют собой: a) графические информационные модели; b) табличные информационные модели; c) математические модели; d) натурные модели; иерархические информационные модели; 19. Описание глобальной компьютерной сети Интернет в виде системы взаимосвязанных следует рассматривать как: a) сетевую модель; b) натурную модель; c) табличную модель; графическую модель; d) математическую модель; 20. В биологии классификация представителей животного мира представляет собой: a) иерархическую модель; b) табличную модель; c) графическую модель; d) математическую модель; натурную модель. 21. Информационной моделью организации занятий в школе является: a) расписание уроков; b) список класса; c) свод правил поведения учащихся; d) перечень учебников. 22. Отметьте пропущенное слово: «Географическая карта является примером... модели» а) смешанной 13
b) образной c) знаковой d) натурной 23. Укажите пары объектов, о которых можно сказать, что они находятся в отношении «объект - модель»: 1. компьютер - процессор 2. Новосибирск - город 3. слякоть - насморк 4. автомобиль - техническое описание автомобиля 5. город - путеводитель по городу a) 4,5 b) 1,2 c) 1,3,5 d) 1,4 24. Модель есть замещение изучаемого объекта другим объектом, который отражает: a) все стороны данного объекта b) некоторые стороны данного объекта c) существенные стороны данного объекта d) несуществующие стороны данного объекта 25. Что является моделью объекта «яблоко»? a) муляж; b) фрукт; c) варенье; d) компот. 26. Укажите примеры натурных моделей: 1. физическая карта 2. глобус 3. график зависимости расстояния от времени 4. макет здания 5. схема узора для вязания крючком 6. муляж яблока 7. манекен a) 2,4,6,7 b) 1,4,6,7 c) 1,3,5,7 d) 1,4,5,7 27. Укажите примеры образных информационных моделей: a) рисунок, фотография b) фотография c) словесное описание d) формула 28. Закончите предложение: «Можно создавать и использовать...» а) разные модели объекта 14
b) единственную модель объекта c) только натурную объекта d) только словесную модель объекта 29. Отметьте пропущенное слово: «Словесное описание горного ландшафта является примером... модели» a) знаковой b) образной c) смешанной d) натурной 30. Расписание движение поездов может рассматриваться как пример: a) табличной модели; b) натурной модели; c) графической модели; d) компьютерной модели; 15
