Тема 2.13
Слово логарифм происходит от греческого (число) и (отношение), и переводится как отношение чисел. Джон Непер объяснял, что логарифмы возникли при сопоставлении двух чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое геометрической. Логарифмы с основанием е ввёл Спейдел. Логарифмы необычайно быстро вошли в практику.
Логарифмическая спираль – это линии в геометрии, отличные от прямых и окружностей, которые могут скользить по себе. Логарифмическую спираль называют равноугольной спиралью. Это её название отражает тот факт, что в любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиус – вектором сохраняет постоянное значение.
Самолёт взлетевший из какой – нибудь точки земного шара на север, через некоторое время окажется над Северным полюсом. Если же он полетит на восток, то облетев параллель, вернётся в тот же пункт, из которого вылетел. Предположим теперь, что самолёт будет лететь пересекая все меридианы под одним и тем же углом, отличным от прямого, т.е. держась всё время одного и того же курса. Когда он облетит земной шар, то попадёт в точку имеющую ту же долготу, что и точка вылета, но расположенную ближе к Северному полюсу. После следующего облёта он окажется ещё ближе к полюсу и продолжая лететь указанным образом, будет описывать вокруг полюса сужающуюся спираль.
Логарифмическая спираль нередко используется в технических устройствах. Например вращающиеся ножи нередко имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали – под постоянным углом к разрезаемой поверхности, благодаря чему лезвие ножа стачивает равномерно.
Например, раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться им приходиться скручиваться, причём каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали, можно сказать что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста.
По аналогии со спиралевидной закрученной раковине улитки у женщин существует прическа «улитка» из длинных косичек.
Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а так же рога таких млекопитающих как архары (горные козлы), закручены по логарифмической спирали. Семечки в подсолнухе расположены по дугам, так же близким к логарифмической спирали.
Один из наиболее распространенных пауков ЭПЕЙРА, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности, галактика которой принадлежит Солнечная Система.
Её молекулы имеют огромную по молекулярным масштабам длину и состоят из 2-х нитей, сплетённых между собой в двойную спираль. Каждую из нитей можно сравнить с длинной нитки бус. С нитями бус мы сравниваем и белки. У белков «бусинами» являются аминокислоты 20 различных типов. У ДНК-всего 4 типа «бусин» и зовутся они нуклеотидами. «Бусины» двух нитей двойной спирали ДНК связаны между собой и строго друг другу соответствуют. Мы часто встречаем изготовление предметов по шаблону, называемому матрицей. Отливка монет или медалей, типографского шрифта. По аналогии происходящее в живой клетке восстановление двойной спирали по одной её цепи, как по матрице, так же называют матричным синтезом.
Тема 2.13
1. Самоподобие : Логарифмическая спираль сохраняет свою форму при увеличении масштаба. Это означает, что при любом повороте вокруг начала координат на определенный угол, форма спирали остается неизменной. Это свойство делает её уникальной среди других типов спиралей. 2. Радиус-вектор: Радиус-вектор логарифмической спирали увеличивается экспоненциально с углом поворота. Это значит, что расстояние от центра до любой точки на спирали растет быстрее, чем линейная функция угла.
3. Угол наклона касательной: Угол между радиусом-вектором и касательной к спирали в каждой точке постоянен. Этот угол равен arctan (b), где b — коэффициент в уравнении спирали. 4. Расстояние между витками: Расстояние между последовательными витками спирали также увеличивается экспоненциально. Если рассматривать две точки на соседних витках, то отношение расстояний от этих точек до центра будет постоянным и равно e ^{2\ pi b }.
5. Полярный угол: Полярный угол Θ, который описывает положение точки на логарифмической спирали, может принимать любые значения от -∞ до +∞. Это означает, что спираль бесконечно закручивается как внутрь, так и наружу. 6. Приложения в природе: Логарифмические спирали встречаются в различных природных явлениях, таких как раковины моллюсков, форма галактик, расположение семян подсолнечника и даже структура урагана. В биологии это связано с принципами роста и пропорционального увеличения размеров объектов.
Тема 2.13
Ряд явлений природы помогает описать именно логарифмическая зависимость. Для составления математической модели того или иного явления часто обращаются к логарифмической функции. Одним из наиболее наглядных примеров такого обращения является логарифмическая спираль. Логарифмическая спираль – это плоская кривая линия многократно обходящая одну из точек на плоскости.
В астрономии логарифмы имеют очень обширное распространение. В этой науке задействованы очень большие масштабы. По логарифмическим спиралям закручены многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит солнечная система. Астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей и т.д. Последовательные звездные величины воспринимаются глазом, как члены арифметической прогрессии. Но физическая яркость их изменяется по иному закону: объективные яркости составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм ее физической яркости. Практически каждая вторая формула в астрономии, астрофизике и других перекрестных науках не обходятся без логарифма.
Раковины многих моллюсков, улиток, а также рога архаров (горные козлы), закручены по логарифмической спирали. По логарифмической спирали очерчены не только раковины. Паук эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям.
Когда музыкант играет на рояле, собственно говоря, он играет на логарифмах. Так называемые «ступени» темперированной хроматической гаммы представляют собой логарифмы этих величин. Основание этих логарифмов равно 2. Номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел – колебаний соответствующих звуков (умноженные на 12). Мы даже можем сказать, что номер октавы представляет собой целую часть (характеристику) логарифма числа колебаний этого тона, а номер звука в данной октаве, деленный на 12 – дробную часть (мантиссу) этого логарифма.
Громкость звука измеряют в децибелах, которые пропорциональны логарифму мощности звука, воздействующего на ухо. Употребление логарифмических шкал продиктовано особенностями наших органов чувств: зрения, слуха и т.д. Человеческий мозг воспринимает раздражения от органов чувств не пропорционально силе раздражителя, а лишь пропорционально ее логарифму. Именно поэтому ухо одинаково способно слышать шорох листьев и не оглохнуть от громкого удара станка на заводе. А глаз может заметить, как блестит снег на свету и не ослепнуть, если посмотрит на Солнце, которое в миллиарды раз ярче. Описанные выше сведения объединяются законом психофизики, установленным Фехнером, который говорит, что мера ощущения пропорциональная логарифму величины раздражения.
Как оказалось и в сельском хозяйстве не обошлось без логарифмов. Например, исследовав рождение телят, оказалось, что их вес можно вычислять и с помощью логарифмов. Область применения логарифмов не ограничивается лишь рассмотренными науками, также она играет важную роль в литературе, информатике, истории, рисовании и многих других. Логарифмическая функция дает нам возможность по-другому взглянуть на масштабные процессы, происходящие в огромных пространствах и временных интервалах для понимания и осмысления общей картины.
Тема 2.13
Найти информацию и подготовить информативное содержательное короткое сообщение по заданной теме. Группа 1: Что такое логарифмическая спираль. Определение (с понятным объяснением) и история появления. Группа 2: Математические свойства логарифмической спирали. Группа 3: Логарифмическая спираль в природе. Группа 4: Применение логарифмической спирали.
Тема 2.13
Подготовка к контрольной работе.
Благодарю всех за работу!
