3 марта Решение иррациональных неравенств.
Иррациональными неравенствами называются неравенства, содержащие переменную под знаком радикала (корня) или под знаком возведения в дробную степень. При этом, степень корня может быть произвольной. Например, Из определения следует, что если в записи неравенства нет знака корня (или дробного показателя степени), то это неравенство не является иррациональным. Причём, если под знаком корня нет переменной, то неравенство не является иррациональным. Например, В этих неравенствах под знаком корня стоят числа, а не переменные, значит, они не являются иррациональными.
Способ решения таких неравенств состоит в преобразовании их к рациональным неравенствам путём возведения обеих частей неравенства в степень. При этом необходимо учитывать, что: при возведении неравенства в нечётную степень, получается равносильное неравенство; при возведении неравенства в чётную степень получается равносильное неравенство только при условии, что обе части неравенства были неотрицательны.
Основные методы решения иррациональных неравенств: Метод возведения обеих частей неравенства в одну и ту же степень. Умножение обеих частей неравенства на сопряжённое выражение. Метод введения новой переменной. Метод разложения на множители. Функционально-графический метод.
ОДЗ (область допустимых значений) неравенства или неравенств – это множество значений переменной, при которых обе части данного неравенства (или неравенств) имеют смысл. В некоторых случаях это может быть очень полезно. Более того, иногда можно решить пример просто найдя ОДЗ. Например: √2x−6>−2. Мы помним, что квадратный корень всегда неотрицателен. Поэтому он всегда будет больше −2. Значит, решением задачи будет ОДЗ: 2 x −6≥0 ⇔ x ≥3 2x−6≥0 ⇔ x≥3. Ответ: [3;+∞) [3;+∞).
Методом возведения обеих частей неравенства решаются подавляющее большинство иррациональных неравенств. Рассмотрим сначала простейшие иррациональные неравенства. К таковым относятся неравенства трёх видов: В силу неотрицательности корня, обе части неравенства можно возвести в квадрат. Тогда данное неравенство равносильно системе неравенств: Например, Ответ: Ответ:
В неравенствах такого вида возможны два варианта. Если правая часть неотрицательна, то возводим в квадрат обе части. Если правая часть отрицательна, то неравенство верно при любом значении х из ОДЗ. В виде схемы это выглядит так: Например, Ответ:
Ответ:
Если правая часть неположительная, то неравенство решений не имеет (значение корня не может быть меньше нуля). Если правая часть положительна, то возводим в квадрат обе части и не забываем, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. В виде схемы: Например, Ответ:
Ответ: Знаки неравенств во всех видах могут быть как строгими, так и нестрогими.
√A≥√B Как решить такое неравенство? Для начала вспомним, что функция f(x)=√x – монотонна, то есть, чем больше подкоренное выражение, тем больше сам корень. Поэтому из двух корней больше тот, у которого подкоренное выражение больше. Чтобы неравенство имело смысл, необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны: { A ≥0 B ≥0 Но поскольку первое выражение больше второго, достаточно потребовать неотрицательности только второго:
Примеры:
