Вероятность и статистика 9 класс
В таблице дано распределение вероятностей некоторой случайной величины. Одна из вероятностей неизвестна. Найдите ее. Значение Х 1 2 3 4 5 6 Вероятность 1/9 1/3 1/6 1/4 1/8 Ответ: 1/72
Рассмотрим случайную величину Х и ее распределение Если мы умножим значения случайной величины на их вероятности и сложим эти произведения, то получим некоторое среднее значение случайной величины. Это среднее называют математическим ожиданием. Обозначается математическое ожидание случайной величины Х, как ЕХ или Е(Х). Значение Х х1 х2 х3 … х n Вероятность p1 p2 p3 … pn Математическое ожидание случайной величины – это сумма произведений значений этой величины и их вероятностей ЕХ = х1*р1 + х2*р2 + х3*р3 + … + xn * pn Говоря простым языком это «среднее значение» принимаемой случайной величины
Пусть случайная величина Х равна числу очков, выпавших на одной игральной кости. Вероятности выпадения каждой грани одинаковы и равны 1/6. Поэтому: ЕХ = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 =(1+2+3+4+5+6)/6 = 7/2 = 3,5 Что нам это дает ? То, что кидая кость много (например 100) раз, в среднем каждый раз будет выпадать 3,5, а в сумме выпадет примерно 100*3,5=350.
Смысл математического ожидания можно проиллюстрировать с помощью диаграммы распределения вероятностей случайной величины. Если представить, что диаграмма вырезана из листа картона или металла, то математическое ожидание – точка, в которую проектируется центр масс диаграммы На рисунке показано распределение некоторой случайной величины Х. Ее математическое ожидание равно 5,09. Если «подставить» под точку с абсциссой 5,09 опору, то диаграмма будет находиться в равновесии. Математическое ожидание случайной величины – теоретический аналог среднего арифметического набора массива данных
Занимаясь описательной статистикой, мы говорили, что рассеивание значений измеряются с помощью дисперсии и стандартного отклонения. В теории вероятности речь идет о случайных величинах. Для описания рассеивания случайной величины используются аналогичные характеристики: дисперсия и стандартное отклонение случайной величины. Обозначают дисперсию случайной величины DX или D(X). Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание случайной величины (Х –ЕХ) 2 : DX = Е(Х –ЕХ) 2 Случайная величина Х – ЕХ – это отклонение от среднего значения. Значит дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания.
Если дисперсия случайной величины мала, то мала вероятность того что случайная величина примет значение, значительно отличающиеся от математического ожидания Стандартным отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии: Стандартное отклонение – это некоторое среднее типичное отклонение значений случайной величины от ее математического ожидания. Если дисперсия равна нулю, то случайная величина Х принимает единственное значение. Это означает, что случайная величина постоянна.
