Материалдық нүктелер динамикасы “Жалпы физика” пәні №2 дәріс 5В010900-Математика мамандығы Копенбаева А.С.
1. Ньютонның 1-ші заңы. Инерциаль жүйелер 2. Дененің массасы және импульсы 3. Ньютонның 2-ші заңы 4. Ньютонның 3-ші заңы.. 5. Денелер жүйесінің импульсы 6. Материалдық нүкте динамиканың негізгі теңдеулері 7. Импульстің сақталу заңы
Динамика дене (нүкте) қозғалысының себебін, оның заңдарын тексереді. Динамика механиканың негізгі тарауы, ол Ньютон заңдарына негізделеді. Бұл заңдар оған дейінгі ғылымдардың және Ньютонның өзінің бақылауларының ғылыми тұжырымы ретінде оның 1687 ж. шыққан «Табиғи философияның математикалық бастамасы» деген еңбегінде келтірілген. Динамиканың негізгі мақсаты- материалдық нүктенің оны қоршайтын денелермен әсерлесуі белгілі болса, оның қозғалыс заңын анықтау, яғни оның координаттары уақыттың функциясы ретінде өрнектелетіндігі айтылады
Ньютонның 1-ші заңы : Денелердің қозғалысын алғаш рет тәжірибе жүзінде XVI ғасырдың аяғында XVII ғасырдың басында зерттеген Галилей болды. Оның еңбектерінің негізінде Ньютон қозғалыстың мынадай бірінші заңын тұжырымдады : егер бір денеге екінші бір дене әсер етпесе, ол тыныштық күйін сақтайды немесе бірқалыпты түзу сызықты қозғалады. Сырттан әсер болмағанда денелердің жылдамдықтарын сақтау қасиетін инерция деп атайды. (латынның « inertia » -әрекетсіздік деген сөзінен алынған). Сондықтан жоғарыдағы заңды инерция заңы, ал сыртқы әсер болмаса да денелердің қозғалуын инерция бойынша қозғалу деп атайды. Сондықтан Ньютонның бірінші заңын инерция заңы деп айтады.
Осы заман тұрғысынан Ньютонның бірінші заңы былай айтылады: « егер денеге әсер етуші қорытқы куш нольге тең болса (денеге әсер етуші барлық күштердің векторлық қосындысы нольге тең), онда денелердің үдеуі нольге тең және дененің жылдамдығы тұрақты болады », немесе
Ньютонның бірінші заңы инерциалдық санақ жүйесінде орындалады. Классикалық механикада барлық еркін денелер бірқалыпты және түзу сызықты қозғалатын жүйені инерциялық санақ жүйес і деп атайды Бұл анықтамадан Ньютонның бірінші заңы орындалатын санақ жүйесін инерциялық деп атайды да, ол заң орындалмайтын санақ жүйесін инерциялық емес деп атайды. Инерциялық санақ жүйесі көптеп кездеседі. Соның бірі гелиоцентрлік (гелиос-гректің «күн» деген сөзі) санақ жүйесі немесе Коперник жүйесі. Бұл жүйенің бас нүктесі Күннің центрінде, ал координат осьтері бір жазықтықта жатпайтын үш жұлдызға қарай бағытталған түзулер болады. Коперник жүйесі біздің планеталар жүйесінің масштабында қозғалатын денелер үшін өте дәл инерциалық санақ жүйесі болады.
Ньютонның бірінші заңының мәнін үш негізгі тармаққа жинақтауға болады : Барлық дене инерция қасиетіне ие ; Ньютонның бірінші заңы орындалатын инерциалды санақ жүйесі бар ; Қозғалыс салыстырмалы.
Денелердің бір- біріне әсері салдарынан үдеу туғызатын шаманы күш деп атайды. Барлық күштерді негізінен екі топқа бөледі: тікелей әсер ететін және аралық күштер, денелер бір-біріне жанаспай-ақ та белгілі бір ара қашықтықтан әсер етеді Күштің әсерінен дене тек қана үдеу алып қоймайды, сонымен бірге ол деформациаланады. Масса дененің инерттілігінің өлшемі, ал инерттілігінің өлшемі, ал инерттілігі деп денелердің алғашқы күйін сақтау қасиетін айтады. Массаны өлшеу үшін ол денені массаның бірлігі ретінде алынған эталондық денемен салыстыру керек. Массалардың бірлігіне ириди мен платинаның қоспасынан жасалған 1 килограмға тең эталонның массасы алынады.
Масса – аддитивті шама (дененің массасы оны құрайтын бөлшектерінің массаларының қосындысына тең). Өз өзімен ғана ісерлесетін жүйе тұйық жүйе деп аталады. Массалары m1 және m2 болатын екі денеден тұратын жүйені қарастырайық
Жылдамдықтың бағытын еске ала отырып: Массаның жылдамдыққа көбейтіндісі дененің импульсы деп аталады (яғни массасы үлкен дене жылдамдыққа аз әсер етеді).
Ньютонның екінші заңының математикалық өрнегі: Дененеің импульсының өзгерісі оған әсер ететін күшке тең. яғни импульстің өзгерісі күш импульсына тең. , ал онда Материалдық нүктенің ілгерілемелі қозғалыс динамикасының негізгі теңдеуі
Денелердің (материалдық нүктелердің) өзара әсерлесуі Ньютонның үшінші заңымен сипатталады: Материалдық нүктелердің (денелердің) бір – біріне әсер ету күштері модульдері (шама) жағынан тең, бағыттары қарама – қарсы және сол нүктелерді (денелерді) қосатын түзудің бойымен бағытталады Бұл күштер тең болғанымен, теңгерілген күштер емес. Өйткені олар әртүрлі денелерге (нүктелерге) әсер етеді, соның салдарынан олар түрлі үдеу алады. Егер күштер бір денеге әсер етсе қорытқы күш 0-ге тең болады да,
Инерция центрі немесе массалар жүйесінің центрі деп радиус-вектор төмендегідей анықталатын нүктені айтамыз : мұндағы – жүйенің жалпы массасы, n – нүктелер саны
Материалдық нүктелер мен денелердің жиынтығынан тұратын біртұтас затты механикалық жүйе деп атайды. Бір механикалық жүйедегі материалдық нүктелердің (денелердің) өзара әсерлесу күшін ішкі күштер деп атайды. Жүйедегі материалдық нүктелелерге (денелерге) одан тысқары денелердің әсерін сыртқы күштер деп атайды Қандай да бір і-ші денеге әсер ететін қорытқы күш : мұндағы – себебі нүкте өз-өзіне әсер ете алмайды Сыртқы күштер әсер етпейтін механикалық жүйені тұйық ( немесе оқшауланған) жүйе деп атайды.
– сыртқы күш. Ньютонның екінші заңы бойынша: ..............................., Осы күштердің барлығын қосатын болсақ
Ньютонның үшінші заңы бойынша, Сондықтан жақшадағы күштердің қосындысы 0-ге тең, олай болса : – барлық сыртқы күштер векторы олай болса : Осы өрнек материалдық нүктелер ілгерілемелі қозғалыс Динамикасының негізгі теңдеуі деп аталады
Жүйенің әрбір нүктесіне әсертететән күштерді екіге жіктейміз – ішкі күштер – барлық сырқы күштердің қорытұы күші Жалпы түрде былай жазуға болады : m 1 m i m 2 m 3 F 12 F 13 F 1 i ( F 1 ) вш Ньютонның үшінші заңы бойынша жүйенің масса (инерция) центрі жүйені құрайтын барлық нүктелердің массасы шоғырланған материалдық нүкте және ол жүйеге әсер етуші барлық сыртқы нүктелердің геометриялық қосындысының салдарынан қозғалады
Сыртқы күштер әсер етпейтін механикалық жүйені тұйық ( немесе оқшауланған) жүйе деп атайды. Бірақ табиғатта абсолют оқшауланған жүйе кездеспейді.Әйтсе де, жүйе денелерінің сыртқы денелермен әсерлесу күші оның ішкі күштерінен әлдеқайда кем болса, ондай жүйені оқшауланған деп алуға болады. Оған жер мен одан белгілі биіктікте тұрған тас жатады. n денеден тұратын оқшауланған жүйені қарастыралық. F - денеге әсер етуші сыртқы күштердің қорытқы күші. n денеден тұратын механикалық жүйенің өр денесіне Ньютонның екінші заңын қолданайық: , ---------------------- ...............................,
отсюда импульс замкнутой системы не изменяется во времени. Импульс системы тел может быть представлен в виде произведения суммарной массы тел на скорость центра инерции: тогда При любых процессах, происходящих в замкнутых системах, скорость центра инерции сохраняется неизменной.
Бұл теңдеулерді мүшелеп қосайық: Біз тұйық жүйе қарастырып отырғандықтан немесе немесе Импульстің сақталу заңының бұл өрнегі былай оқылады: тұйық жүйені құрайтын денелер импульстерінің векторлық қосындысы тұрақты шама немесе денелерден тұратын тұйық жүйенің импульс векторы уақыт өткен сайын өзгермейді. Бұл заң классикалық механиканың ұана емес, сонымен бірге табиғаттың түбегейлі заңы болып саналады.
1. Табиғаттағы күштердің түрі 2. Ауырлық күші және денелердің салмағы 3. Серпімді күштер 4. Үйкеліс күші 5. Инерция күші 5.1. Инерциалды емес санақ жүйесіндегі Ньютон күштері 5.2. Центрге тартқыш және центрдентепкіш күштер 5.3. Кориолис күші
Қазырғы кезде күштердің немесе әсерлесудің 4 түрі бар: гравитациялық; электромагниттік; күшті (ядродағы бөлшектердің әсерлесуі әлсіз ( бөлшектердің ыдырауы ) Гравитациялық және электромагниттік күштерді фундаменталь күштер деп атайды r – нүктелердің ара қашықтығы
Ауырлық күші – барлық денелерді Жерде ұстап тұратын күш. Жерге жақын жерде барлық денелер Жерге бірдей үдеумен құлайды– еркін түсу үдеуі g Егер денені іліп қойса немесе тірекке қойса, онда ауырлық күші тірек реакциясы деп аталатын күшпен теңеседі. Ньютонның 3-ші зағы бойынша дене тірекке немесе жіпке салмақ күші арқылы ісер етеді
Салмақ пен ауырлық күші бір біріне тең, бірақ іртүрлі нүктеге ісер етеді: салмақ тірекке немесе жіпке, ауырлық күші– дененің өзіне. Бұл теңдік дене мен тірек (жіп) Жерге қатысты қозғалыссыз болғанда немесе бірқалыпты түзусызықты қозғалғанда ғана орындалады. Егер дене үдеумен қозғалатын болса: болуы мүмкін
Электромагниттік күштерге немесе тікелей әсер ететін күштерге серпімділік күші және үйкеліс күші жатады Серпімділік күші — деформацияланған дененің ұзаруына пропорционал және деформация салдарынан дене түйіршіктерінің орын ауыстыруына қарама-қарсы бағытталған күш. Басқаша айтқанда, дене деформацияға ұшыраған кезде денеде белгілі бір күш пайда болады, сол күш әсерінен ол өзінін пішінін және бастапқы күйіне қайта келуге тырысады. Бұл күш атомдар мен молекулалар арасындағы электромагниттік әсерлесудің нәтижесінде пайда болады. Дәл сол күшті- серпімділік күші деп атайды.
Серпімді деформацияны қарастырайық. Деформацияланған денеде серпімділік күші пайда болады. F с сырқы күштің әсерінен дене деформацияға үшырайды, серіппе ұзарады. Серіппенің ұзаруы сыртқы күшке пропорционал және Гук заңы арқылы анықталады : k – серіппенің қатаңдығы.
Серпімділік күші сыртқы күшпен тең, тек бағыты қарама қарсы. Онда Гук заңын мына түрде жазуға болады: Серіппенің потенциалдық энергиясы серіппенің жасаған жұмысына тең. Күш тұрақты емес, онда элементар жұмыс Онда серіппенің жасаған жұмысы:
Үйкеліс сыртқы және ішкі үйкеліс болып екіге бөлінеді. Сыртқы үйкеліс екі қатты дененің салыстырмалы қозғалысынан туындайды (сырғанау үйкелісі немесе статикалық үйкеліс)). Ішкі үйкеліс бірдей қатты дене бөліктерінің (мысалы, сұйық немесе газ) салыстырмалы қозғалуымен байқалады. Үйкелістің құрғақ және сұйық (немесе тұтқыр) үйкеліс деген түрлері бар 29
Сұйық (тұтқыр) - қатты және сұйық немесе газ тәрізді орта немесе оның қабаттары арасындағы үйкеліс. Құрғақ үйкеліс өз кезегінде сырғанау үйкелісі және домалақ үйкеліс деп бөлінеді 30 μ 0 – тыныштықтағы үйкеліс коэффициенті Сырғанау үйкеліс күші:
Инерция күштері инерциалды санақ жүйесінде орындалады. Жердегі бақылаушының көзқарасы бойынша (инерциялық санақ жүйесінде) троллейбус қозғалған сәтте сіз бір орында тұрдыңыз - Ньютонның бірінші заңына сәйкес.Троллейбуста отырған адам тұрғысынан сіз біреу итермелегендей артқа қарай қозғала бастадыңыз. Шын мәнінде, ешкім итермеді, тек троллейбуспен үйкеліс күштерімен байланыстырылған аяғың астыңнан алға қарай «алға» кетті, сен артқа құлап түсуің керек еді.Сіз өзіңіздің қозғалысыңызды инерциялық санақ жүйесінде сипаттай аласыз. Бірақ бұл әрдайым оңай бола бермейді, өйткені қосылыстар жағынан әсер ететін күштерді енгізу қажет.
Сырттан әрекет ететін күштер әр түрлі болуы мүмкін және әр түрлі әрекет етеді - оларды сипаттауға бірыңғай көзқарас жоқ. Инерция күштері денелердің өзара әрекеттесуінен емес, инерциялық емес санақ жүйелерінің өз қасиеттерінен туындайды. Ньютон заңдары инерциялық күштерге қолданылмайды. Егер инерция күштері енгізілген болса, Ньютон заңдарын инерциялық емес жүйеде қолдануға болады. Инерция күштері инерциалды емес жүйеде Ньютон теңдеулерін пайдалану үшін арнайы енгізілген.
Инерциалды емес санақ жүйесіндегі ілгерілемелі қозғалыс үшін инерция күштері. Төмендегідей белгілеулер енгіземіз: – инерциалды емес санақ жүйесіне қатысты үдеу ; – инерциалды санақ жүйесіне қатысты инерциалды емес санақ жүйесіне ісер ететін үдеу (Жерге қатысты). Онда инерциалды санақ жүйесіне қатысты үдеу : m – қозғалыстағы дененің массасы.
Инерциалды санақ жүйесіндегі.деуді Ньютонның екінші заңы арқылы анықтауға болады немесе Инерция күштері бір санақ жүйесінен екіншісіне ауысуға қатысты инвариантты емес. Олар әрекет пен реакция заңына бағынбайды. Инерциялық күштердің әсерінен дене қимылдары сыртқы күш өрісіндегі қозғалысқа ұқсас.Инерция күштері материалдық денелер жүйесінің кез-келген қозғалысына қатысты әрқашан сыртқы болып табылады.
5.2. Центрге тартқыш және центрдентепкіш күштер Уақыттың әр сәтінде тас шеңберге тангенциалды түзу сызық бойымен қозғалуы керек еді. Алайда, ол айналу осіне арқанмен байланысты. Арқан созылады, серпімді күш пайда болады, тасқа әсер етіп, арқан бойымен айналу центріне бағытталған. Бұл центрге тарту күш 35 Центрге тартқыш күш айналып тұрған денеге, ал центрден тепкіш күш байланысқа әсер етеді.
5.3. Кориолис күші Кориолис күші (француз ғалымы Г.Кориолистің (1792 – 1843) құрметіне аталған) – материялық нүктенің салыстырмалы қозғалысына жылжымалы санақ жүйесі айналысының тигізетін әсерін ескеру үшін енгізілетін инерция күштерінің бірі. Кориолис күші нүктенің массасы мен Кориолис үдеуінің көбейтіндісіне тең және ол осы үдеуге қарама-қарсы бағытталады
Жердің тәуліктік айналуы салдарынан да пайда болады.Кориолис күші әсерінен еркін түскен дене вертикаль бағыттан шығысқа қарай ауытқиды; ал жер бетінде меридиан бойымен қозғалған дене қозғалыс бағытынан Солтүстік жарты шарда оңға қарай, Оңтүстік жарты шарда солға қарай ауытқиды. Жер айналысы баяу болғандықтан, бұл ауытқулардың шамасы аз болады. Үлкен жылдамдықпен қозғалған денелерде (мысалы, артиллерия снарядтарында ), сондай-ақ, ұзақ уақыт бойы қозғалған денелерде (мысалы, өзен кемерінің мүжілуі) ауытқу шамалары едәуір болатындығы байқалады. Кориолис күші гироскоп пен турбина теориясында әрдайым ескерілед
Барлық инерция күштерін ескере отырып, инерциялық емес санақ жүйесі үшін Ньютон теңдеуін мына түрде жазуға болады: – инерциялық емес санақ жүйес i н i ң ілгерілемелі қозғалысына байланысты инерциялық күш; – санақ жүйесінің айналмалы қозғалысына байланысты екі инерция күші – дененің инерциялық емес жүйеге қатысты үдеуі.
