Политехнический институт Великий Новгород, 2025 г.
Образовательный интенсив Обучение решению планиметрических задач повышенной сложности Кондрушенко Е. М., зав. кафедрой алгебры и геометрии, кандидат пед. наук, доцент Бутц А. В., ассистент кафедры алгебры и геометрии
Обучение геометрии должно вестись на уровне освоения учащимися основных идей и методов этого предмета. Через теорию раскрываются идеи, лежащие в основе курса (как традиционные, так и современные). Теория же дает в руки обучающегося аппарат для решения задач – методы решения (общий порядок действий по использованию той или иной теории при решении задач).
Выделяют два основных вида доказательств: прямые и косвенные. В прямом доказательстве суждения, на которые опирается доказательство, непосредственно доказывают утверждение, требующее доказательства. Среди прямых доказательств выделяют доказательства синтетические и аналитические.
Чаще всего при доказательстве его поиск осуществляется аналитическим путем, а доказательство – синтетическим. В процессе поиска доказательства учащиеся могут использовать анализ в форме расчленения, восходящий анализ, нисходящий анализ. Этим методами поиска решения задачи, которые являются общими для задач повышенного уровня сложности, учащихся следует специально обучать. Как и индуктивному методу поиска решения задачи, методу переформулировки задачи, методу прогнозирования.
Задача 1 Доказать, что в четырёхугольнике средние линии и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
При проведении аналитико-синтетического доказательства используется та или иная теория, составляющая его основу. На этом основании выделяются разные методы доказательства : метод выделения цепочки равных треугольников, метод геометрических преобразований, метод двух геометрических мест точек, векторный метод, координатный метод, алгебраический метод и другие.
В косвенном доказательстве истинность доказываемого утверждения обосновывается посредством опровержения истинности других положений. Косвенное доказательство может быть доказательством от противного и разделительным. Оба вида косвенного доказательства используются в школе.
Чтобы помочь учащимся в усвоении определённого метода доказательства теорем и решения задач можно придерживаться следующего порядка: 1) решение специально подобранных задач, имеющих целью обучение школьников данному методу ; 2) выделение общих моментов в решении и плана решения задач рассмотренным методом; 3) применение учащимися усвоенного метода к решению задач; 4) закрепление метода при решении задач.
План работы над задачей повышенного уровня сложности: – анализ задачи; – схематическая запись задачи; – поиск способа решения задачи; – осуществление решения задачи; – проверка решения задачи; – исследование задачи; – формулировка ответа задачи; – анализ решения задачи.
Ключевые задачи 1. Доказать, что биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. 2. Доказать, что биссектрисы противолежащих углов параллелограмма параллельны. 3. Доказать, что биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны. 4. Доказать, что в равнобедренной трапеции: а) углы при основании равны; б) диагонали равны. Доказать обратные утверждения. 5. Диагонали трапеции равны и взаимно перпендикулярны, высота трапеции равна h. Найти среднюю линию трапеции.
Цепочка задач 1. Биссектриса угла А параллелограмма АВСД пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК=15 см, КС=9 см. (№374) 2. Периметр параллелограмма АВСД равен 46 см, АВ=14 см. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А? Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении. (№425) 3. Стороны параллелограмма 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки. (№426)
4. В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник. 5. В параллелограмме со сторонами a и b ( a > b ) проведены биссектрисы внутренних углов. Определить вид четырехугольника, образовавшегося при пересечении биссектрис, и найти длины его диагоналей. 6. Биссектрисы углов А и В параллелограмма АВСД пересекаются в точке К. Найдите площадь параллелограмма АВСД, если ВС=6, а расстояние от точки К до стороны АВ равно 6. (Из вариантов ОГЭ)
11. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и 8, а средняя линия равна 3. (Из вариантов ОГЭ) 12. Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90. Докажите, что отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности. (№ 439) 13. Углы при одном из оснований трапеции равны 53 и 37 градусов, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2. Найдите основания трапеции. (Из вариантов ОГЭ)
Ключевые задачи 1. Доказать, медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника. 2. В треугольнике АВС М − произвольная точка стороны АС. Доказать, что S ∆ABM : S ∆MBC = AM : MC. 3. Диагонали трапеции разбивают трапецию на четыре треугольника. Доказать, что площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам трапеции, равны. 4. В трапеции через одну из вершин проводится прямая, параллельная диагонали, до пересечения с прямой, содержащей противолежащее основание. Докажите, что площадь треугольника, образованного диагональю трапеции, отрезком проведённой прямой и отрезком прямой, на которой лежит основание, равна площади трапеции.
5. Через точку Д, лежащую на стороне ВС треугольника АВС, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и пересекающие стороны АВ и АС соответственно в точках Е и F. Докажите, что треугольники СДЕ и ВД F равновеликие. 6. Доказать, что медианы треугольника разбивают его на 6 равновеликих треугольников. 7. В равнобедренной трапеции АВСД с основаниями АД=17 см, ВС=5 см и боковой стороной АВ=10 см через вершину В проведена прямая, делящая диагональ АС пополам и пересекающая основание АД в точке М. Найдите площадь треугольника ВДМ. (№ 522)
8. Диагонали трапеции АВСД пересекаются в точке О. ВС и АД – основания трапеции. Выразить площади треугольников, примыкающих к боковым сторонам трапеции через площади треугольников, примыкающим к основаниям. 9. В треугольнике АВС на его медиане В M отмечена точка К так, что ВК : КМ=6:7. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АВК. (Из вариантов ОГЭ) 10.Точка К – середина боковой стороны СД трапеции АВСД. Докажите, что площадь треугольника АВК равна сумме площадей треугольников ВСК и АКД. (Из вариантов ОГЭ)
Спасибо за внимание!
