Что такое система счисления? Что такое основание системы счисления? Какие системы счисления используются в ПК? Какой алфавит и основание имеет двоичная система счисления? Какой алфавит и основание имеет десятичная система счисления?
Система счисления (англ. numeral system или system of numeration ) — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Основание системы счисления — количество различных цифр, используемых в этой системе. Позиционная система счисления — система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда). Десятичная система счисления — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. В ней используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, называемые арабскими цифрами.
Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 (деление целочисленное) до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
Правило 1. Данные (и программы) в памяти компьютера хранятся в двоичном виде, т. е. в виде цепочек единиц и нулей. Правило 2. Представление данных в компьютере дискретно. Правило 3. Множество представимых в памяти компьютера величин ограничено и конечно. Правило 4. В памяти компьютера числа хранятся в двоичной системе счисления.
Данные (и программы) в памяти компьютера хранятся в двоичном виде, т. е. в виде цепочек единиц и нулей. ПК может хранить и обрабатывать данные, представляющие информацию 4 видов: числовую, текстовую, графическую, звуковую
Представление данных в компьютере дискретно. Дискретное множество состоит из отделенных друг от друга элементов. Самым традиционным видом данных, с которым работает компьютер, являются числа. Первоначально человек оперировал лишь целыми положительными (натуральными) числами. Натуральный ряд – дискретное множество чисел. В математике натуральный ряд чисел бесконечен и неограничен.
множество целых чисел в математике дискретно и не ограниченно 1-0 = 1 2-1 = 1 3-2 = 1 Шаг числовой последовательности
Множество представимых в памяти компьютера величин ограничено и конечно. МАТЕМАТИКА: множество целых чисел дискретно, бесконечно, не ограничено ИНФОРМАТИКА: множество целых чисел дискретно, конечно, ограничено Любое техническое устройство (калькулятор, компьютер) может работать с ограниченным множеством целых чисел.
В памяти компьютера числа хранятся в двоичной системе счисления.
Целые (формат с фиксированной запятой) Вещественные (формат с плавающей запятой)
Для хранения целых неотрицательных чисел без знака отводится одна ячейка памяти (8 битов). 7 6 5 4 3 2 1 0 Номера разрядов Биты, составляющие число 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Минимальное число 0 Максимальное число 255 10 Для n -разрядного представления максимальное целое неотрицательное число равно 2 n – 1. Целые числа без знака
Пример. Представить число 51 10 в двоичном виде в восьмибитовом представлении в формате целого без знака. Решение. 51 10 = 110011 2 0 0 1 1 0 0 1 1 Целые числа без знака
Для хранения целых чисел со знаком отводится две ячейки памяти (16 битов). Старший разряд числа определяет его знак. Если он равен 0, число положительное, если 1, то отрицательное. 51 10 = 110011 2 0 0 1 1 0 0 1 1 - 51 10 = - 110011 2 1 0 1 1 0 0 1 1 Такое представление чисел в компьютере называется прямым кодом. Целые числа со знаком
Для n -разрядного представления со знаком (с учетом выделения одного разряда на знак): минимальное отрицательное число равно – 2 n -1 максимальное положительное число равно 2 n -1 – 1, Целые числа в памяти компьютера — это дискретное, ограниченное и конечное множество. Целые числа со знаком
Для представления отрицательных целых чисел используется дополнительный код. Алгоритм получения дополнительного кода отрицательного числа: Число записать прямым кодом в n двоичных разрядах. Получить обратный код числа, для этого значения всех битов инвертировать, кроме старшего разряда. К полученному обратному коду прибавить единицу. Представить число -2014 10 в двоичном виде в шестнадцатибитном представлении в формате целого со знаком. Прямой код -2014 10 10000111 11011110 2 Обратный код Инвертирование 11111000 00100001 2 Прибавление единицы 11111000 00100001 2 00000000 00000001 2 Дополнительный код 11111000 00100010 2 Целые числа со знаком
Алгебраическое сложение двоичных чисел Положительные слагаемые представить в прямом коде. Отрицательные слагаемые – в дополнительном. Найти сумму кодов, включая знаковые разряды, которые при этом рассматриваются как старшие разряды. При переносе из знакового разряда единицу переноса отбрасывают. В результате получают алгебраическую сумму в прямом коде, если эта сумма положительная, и в дополнительном, если сумма отрицательная. Целые числа со знаком
Пример 1. Найти разность 13 10 – 12 10 в восьмибитном представлении. 13 10 – 12 10 Прямой код 00001101 10001100 Обратный код - 11110011 Дополнительный код - 11110100 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 10 0 0 0 0 0 0 1 + Так как произошел перенос из знакового разряда, первую единицу отбрасываем, и в результате получаем 00000001. Целые числа со знаком
Пример 2. Найти разность 8 10 – 13 10 в восьмибитном представлении. 8 10 – 13 10 Прямой код 00001000 10001101 Обратный код - 11110010 Дополнительный код - 11110011 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 + Целые числа со знаком
Пример 2. Найти разность 8 10 – 13 10 в восьмибитном представлении. 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 + В знаковом разряде стоит 1, значит результат получен в дополнительном коде. Перейдем от дополнительного кода к обратному, вычитая единицу: Перейдем от обратного кода к прямому, инвертируя все цифры, за исключением знакового (старшего) разряда: 10000101 2 = -5 10. 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 - Целые числа со знаком
хранятся и обрабатываются в компьютере в формате с плавающей запятой, использующем экспоненциальную форму записи чисел. A = M q n M – мантисса числа (правильная отличная от нуля дробь), q – основание системы счисления, n – порядок числа. Диапазон ограничен максимальными значениями M и n. Вещественные числа
Например, 123,45 = 0,12345 · 10 3 Порядок указывает, на какое количество позиций и в каком направлении должна сместиться десятичная запятая в мантиссе. Число в формате с плавающей запятой может занимать в памяти 4 байта (обычная точность) или 8 байтов (двойная точность). При записи числа выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы. Мантисса M и порядок n определяют диапазон изменения чисел и их точность.
Представим число в нормализованном виде: Число отрицательное, поэтому старший бит (31)=1 Порядок 3-положительный, значит след.бит (30)=0 Число 3 в 2-ой СС имеет вид: 11, записываем его в остальных 6 битах старшего байта, дополняя слева незначащими нулями Найдем двоичное представление мантиссы, умножив её последовательно на 2 24 раза, записывая целую часть от умножения сверху вниз 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 мантисса
Если утверждение верно, ставим знак _, если неверно – знак /\. 1.Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над числами. 2.Информация, хранящаяся в компьютере, представлена в троичной системе счисления. 3.В двоичной системе счисления 11 + 1 = 12. 4.В позиционных системах счисления количественный эквивалент цифры зависит от её местоположения в записи числа. 5.В 16-ричной системе счисления символ F используется для обозначения числа 15.
§5 (прочитать, работать с записями в тетради, подготовиться к с/р) Задания 3 и 4 после параграфа -письменно в тетрадях.
