Производная Правила нахождения производной.
f (x) f ′(x) f (x) f ′(x) C -люб. ч. 0 √ x 1/(2 √ x) kx + b k e x e x x 2 2x a x a x lna x n nx n–1 tg x 1/cos 2 x 1/x – 1/x 2 ctg x – 1/sin 2 x sin x cos x ln x 1/x cos x – sin x log a x 1/(x lna)
1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем ( u + v )′ = u′ + v′ ( 2х+3 )′ = ( 2 x )′ + (3)′ = 2+0= 2 (sin х - cos х )′ = (sin х )′ - (cos х )′ = cos х –(-sin х )= cos х +sin х (e х +3 x 2 )′ = (e х )′ -3 ∙(x 2 )′ = e х -3 ∙(2x)= e х – 6x (7 х + 8x 2 -lnx)′ = (7 х )′+8 ∙(x 2 )′ - (ln х )′ = 7 х ln7 + 8 ∙( 2x) -(1/x)= = 7 х ln7 +16x-(1/x) Например:
2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С ∙ u(x) также имеет в этой точке производную, причем (С ∙ u )′ = С∙( u ) ′ (3sinx)′ = 3 ∙(sinx)′ = 3cosx (8x 3 - 5 х 4 )′ = 8(x 3 )′ - 5( х 4 )′ =8 ∙(3x 2 )-5 ∙(4x 3 )= 24x 2 - 20 х 3 (-4lnx)′ = - 4 ∙(ln х )′ = -4 ∙(1/x)= -4/x Например:
3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также имеет в этой точке производную, причем ( u ∙ v )′ = u′∙v + u∙v′ (3sinx ∙ cos х )′ = 3(sinx)′ ∙ cos х + 3sinx ∙ (cos х )′ = 3cosx ∙ cos х + 3sinx ∙(-sinx)=3cos 2 x- 3sin 2 x= 3(cos 2 x -sin 2 x) 2. (8x 3 ∙ e x )′ = 8(x 3 )′ ∙ e x + 8x 3 ∙(e x )′ = 24x 2 ∙ e x + 8x 3 ∙e x = e x (24x 2 + 8x 3 ) Например:
4.Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) ≠ 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем v(x) u(x) v 2 u′v – uv′ = ( ) v u ′ Например:
v 2 u′v – uv′ = ( ) v u ′ Например:
