В природе неизменные величины встречаются очень редко. Большинство величин подвержены случайной изменчивости. Иногда мы можем указать причины изменений. Иногда причины изменчивости известны частично. А порой неизвестны вовсе.
В таблице даны результаты 25 измерений напряжения в бытовой электросети. Все измерения сделаны днём, в случайно выбранные моменты. В России номинальное напряжение в бытовых сетях 220 В (вольт). На самом деле напряжение редко равно в точности 220 В. Электрические приборы в России рассчитаны на колебания напряжения в определённых пределах. Если вы посмотрите на заднюю панель микроволновой печи или холодильника, вы найдёте табличку, где написан интервал рабочего напряжения. Например, от 190 до 250 В. Если напряжение выходит за эти пределы, прибор может выйти из строя. Поэтому в некоторых случаях люди используют стабилизаторы напряжения, которые уменьшают изменчивость. 225 225 227 225 228 228 218 217 218 223 225 216 222 220 218 221 220 214 219 231 228 227 220 224 216
Урожайность – очень важный показатель, который отражает эффективность сельского хозяйства. Для формирования экономической и социальной политики государства, для обеспечения продовольственной безопасности страны необходимо изучать причины, влияющие на урожайность. Видно, что урожайность подвержена существенной изменчивости, однако средняя урожайность за пять последовательных лет колеблется намного слабее. Проявляется это в том, что ряд средней урожайности «более гладкий». Причина в том, что благоприятные и неблагоприятные погодные условия и другие случайные факторы в течение пяти лет уравновешивают друг друга, и их влияние на среднюю урожайность значительно меньше, чем на урожайность каждого отдельного года. Кроме случайных факторов, в частности погодных условий, урожайность зависит усилий людей, качества посевного зерна, удобрений, уборочной техники и многих других факторов.
На обёртке шоколадного батончика написано, что его масса 50 г. Это номинальная масса. В таблице 73 даны массы двадцати купленных одинаковых батончиков, полученные с помощью взвешивания. Наибольшее значение 52,0 г, а наименьшее 48,1 г. Размах – 3,9 г. И только один батончик весит в точности 50 г. Но средняя масса всех двадцати батончиков равна 50,01 г, т. е. практически не отличается от номинальной. Такая ситуация часто встречается при массовом производстве. Если отклонение размера, массы мало отличается от заданного стандарта, т. е. находится в пределах допустимой погрешности, то изделие считается годным. Оно поступает в продажу или дальнейшее производство. Если отклонение превышает допуск, то изделие считается бракованным. 49,1 50,0 49,7 50,5 48,1 50,3 49,7 51,6 49,8 50,1 49,7 48,8 51,4 49,1 49,6 50,9 48,5 52,0 50,7 50,6
Можно точно измерить количество людей в классе или подсчитать деревья в небольшом сквере. Но чаще всего измерения невозможно выполнить абсолютно точно. При измерениях возникают неизбежные погрешности, то есть случайные отклонения от истинного значения. Главный источник погрешности – изменчивость самой измеряемой величины. Кроме того, измерительный инструмент также обладает погрешностью. Обсудим это подробнее.
Число жителей города. Численность населения городов измеряется обычно в тысячах человек. Мы понимаем, что число жителей городов дано приближённо, что истинное число жителей, скорее всего, не равно в точности целому числу тысяч. Но что такое «истинное число жителей города»? Люди всё время приезжают и уезжают, к то – то умирает, кто – то появляется на свет. Поэтому число жителей города постоянно меняется. Если подсчитывать людей ежедневно в маленьких городах, то различия оставят десятки человек, в средних городах – сотни. Но число тысяч людей, населяющих город среднего размера, за день, скорее всего, не изменится. Поэтому данные о населении крупных городов обычно даются в тысячах человек. Более высокая точность не имеет смысла.
Рост человека. Когда мы говорим о росте человека, мы округляем данные до сантиметра. Так измеряют рост в России и в континентальной Европе. В США, Великобритании, Австралии и некоторых других странах рост измеряют в дюймах. Рост человека редко равен целому числу сантиметров или дюймов. Казалось бы, можно измерить рост с большой точностью. Но это не нужно: измерение с точностью до сантиметра или дюйма достаточно для практических нужд: пошива одежды, определения размеров мебели, сидений в автомобилях и т. п. Кроме того, рост человека не остаётся постоянным в течение суток: утром рост человека чуть больше, чем вечером. За день под влиянием нагрузки хрящи в суставах несколько сжимаются, а во время сна вновь расправляются. Поэтому само понятие «рост человека» не очень точно определено.
Расстояние между городами. Расстояние между городами не точно определённая величина. Это расстояние обычно измеряют не по прямой, а вдоль шоссе или железной дороги, соединяющей города. В России за расстояние между городами принимают расстояние между их центральными почтамтами (главными почтовыми отделениями) вдоль главных дорог. Этот способ определения расстояния появился одновременно с регулярной почтовой службой. Мы понимаем, как измерить расстояние между двумя точками вдоль некоторой линии. Но город – это не точка, а обширная территория. К тому же граница города не всегда отчётлива. Поэтому расстояние между городами точно определить нельзя.
Допустимая погрешность весов зависит от класса точности весов. Чем выше класс точности, тем меньше погрешность и тем дороже весы. Не очень точные весы (III класс точности), которые могут взвешивать груз от 20 до 3000 кг, имеют разные допустимые погрешности при разной нагрузке. Знак ± означает, что отклонение возможно в любую сторону – в меньшую или в большую. Например, если человек весом ровно 65 кг взвешивается на напольных весах, то они могут показать от 64 до 66 кг. Наоборот, если напольные весы показали, что человек весит 65 кг, то истинный вес человека находится в пределах от 64 до 66 кг. Это удобно записать двойным неравенством 64 кг m 66 кг Нагрузка, кг Допустимая погрешность, кг От 20 до 200 1 От 200 до 2000 2 От 2000 до 3000 3
Согласно государственному стандарту автомобильный спидометр при температуре окружающего воздуха 20 ± 5 °С не должен иметь погрешности в меньшую сторону, а допустимые погрешности в большую сторону зависят от скорости и указаны в таблице 75. Обратите внимание: погрешность в большую сторону допускается, а погрешность в меньшую нет. Это сделано для того, чтобы ошибка спидометра не приводила к значительному превышению скорости. Диапазон скоростей, км/ч Допустимая погрешность при Т = 20 5 С, км/ч 0 – 60 + 4 60 – 80 + 5 80 – 100 + 6 100 – 120 + 7 120 – 140 + 8
В предыдущих примерах мы рассматривали абсолютные погрешности. Иногда погрешности измеряются в процентах самой величины. Это относительные погрешности. Например, допустимая погрешность длины верёвки или шнура в мотке обычно даётся в процентах – это связано со способом изготовления мотка. На рисунке – катушка, на которую намотан шнур. На ярлыке указана длина шнура: 250 м ± 10 %. Это значит, что настоящая длина шнура находится в пределах от 250 0,9 = 225 (м) до 250 1,1 = 275 (м). Это можно выразить двойным неравенством 225 м l 275 м, где l – истинная длина шнур а.
Рассмотрите таблицу. Сколько в купленной партии батончиков массой более 50 г? Какую долю и какой процент они составляют? Сколько в купленной партии батончиков массой менее 50 г? Какую долю и какой процент они составляют? 3. Масса купленного шоколадного батончика может быть больше или меньше номинальной. Можно ли считать, что шансы этих событий равны, если судить по данным из таблицы? 49,1 50,0 49,7 50,5 48,1 50,3 49,7 51,6 49,8 50,1 49,7 48,8 51,4 49,1 49,6 50,9 48,5 52,0 50,7 50,6
Рассмотрите таблицу. В ней даны допустимые погрешности весов в разных диапазонах измерения. Предположим, что весы исправны и погрешность измерения не выходит за пределы допустимой. Запишите с помощью двойного неравенства границы, в которых находится истинное значение массы m некоторого груза, если при взвешивании этого груза весы показали: а) 38 кг; б) 129 кг; в) 2956 кг; г) 2543 кг; д) 347 кг; е) 1356 кг Нагрузка, кг Допустимая погрешность, кг От 20 до 200 1 От 200 до 2000 2 От 2000 до 3000 3
На мотке верёвки указано, что длина верёвки составляет 30 м ± 5 %. В каких пределах может быть заключена истинная длина верёвки? Запишите в виде двойного неравенства длину веревки, е сли: А) 70м; б) 120 м.
Рассмотрите таблицу напряжений. Найдите наибольшее и наименьшее значения напряжения. Найдите среднее значение и медиану напряжения по данным таблицы 72. Сильно ли эти характеристики, по вашему мнению, отличаются от 220 В? Сколько значений из таблицы превышают номинальное и сколько меньше номинального? Можно ли считать, что шансы событий «напряжение в случайный момент выше 220 В» и «напряжение в случайный момент ниже 220 В» примерно одинаковы? 2. Рассмотрите таблицу. Предположим, что автомобильный спидометр исправен. Укажите с помощью двойного неравенства границы истинной скорости V автомобиля, если спидометр показывает: а) 28 км/ч; б) 69 км/ч; в) 96 км/ч; г) 127 км/ч. 225 225 227 225 228 228 218 217 218 223 225 216 222 220 218 221 220 214 219 231 228 227 220 224 216 Диапазон скоростей, км/ч Допустимая погрешность при Т = 20 5 С, км/ч 0 – 60 + 4 60 – 80 + 5 80 – 100 + 6 100 – 120 + 7 120 – 140 + 8
