План Структура текстовой задачи. Методы и способы решения задач. Этапы решения задач. анализ задачи; поиск и составление плана решения; осуществление плана решения; проверка плана решения. 4.Моделирование в процессе решения задачи.
Структура текстовой задачи
Текстовая задача есть описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения.
Формирование многих математических понятий. Формирование умений строить математические модели реальных явлений. Развитие логического мышления.
Задача Условие Требование Условия задачи - количественные или качественные характеристики объектов задачи и отношений между ними. Требования задачи могут быть сформулированы в вопросительной и утвердительной форме.
Условия и требования взаимосвязаны. Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью задачи
Величину, значения которой требуется найти, называют искомой величиной, а числовые значения искомых величин - искомыми, или неизвестными.
Для определения структуры текстовой задачи рассмотрим пример Задача. Для украшения елки дети вырезали 42 снежинки, а фонариков на 18 меньше, шаров на 6 больше, чем фонариков. Сколько всего игрушек сделали дети?
Объекты задачи: снежинки, фонарики, шары. Условия: 42 снежинки. Фонариков на 18 меньше, чем снежинок. Шаров на 6 больше, чем фонариков. Требования: 1. Сколько сделано снежинок? 2. Сколько сделано фонариков? 3. Сколько сделано шаров?
Определенные задачи : условий столько, сколько необходимо и достаточно для выполнения требований; Недоопределенные задачи : условий недостаточно для получения ответа (недостающие данные); Переопределенные задачи : в них имеются лишние условия ( избыточные данные)
Т.о. Решением задачи называют: Результат, т. е. ответ на требование задачи; Процесс нахождения этого результата.
Методы и способы решения текстовых задач
Арифметический Алгебраический
Арифметический метод : ответ на требование задачи находится посредством выполнения арифметических действий над числами; Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами.
«За 8 часов рабочий изготавливает 96 одинаковых деталей. Сколько деталей он изготовит за 5 часов?» 1 способ: 1. 96 : 8 = 12(д/ч) 2. 12 · 5 = 60(дет.) 2 способ: 1. 8 : 5 = 1,6(раза) 2. 96 : 1,6 = 60(дет.) 3 способ: 1. 8ч. = 480мин. 2. 480 : 96 = 5(мин.) 3. 5ч. = 300мин. 4. 300 : 5 = 60(дет.)
Алгебраический метод : ответ на требование задачи находится путем составления и решения уравнения или системы уравнений. Одну и ту же задачу можно решить различными алгебраическими способами.
«Кофейник и 2 чашки вмещают 740 гр. воды. В кофейник входит на 380 гр. больше, чем в чашку. Сколько грамм вмещает кофейник ?» 1 способ: Пусть x грамм воды вмещает чашка, поэтому кофейник = x + 380гр. 2 x + ( x + 380) = 740; 3 x = 360; X = 120 (гр.); 120 + 380 = 500 (гр.)- вмещает кофейник 2 способ: Пусть x грамм воды вмещает кофейник, поэтому вместимость чашки x – 380гр. 2 ( x – 380) + x = 740; 3 x = 740 + 760; 3 x = 1500; X = 500 (гр.)-вмещает кофейник 3 способ: Пусть x грамм воды вмещает чашка, кофейник y. 2 x + y = 740; x - y = 380 3 x = 360; X = 120 (гр.) -вмещает чашка 120*2 = 240 740 – 240 = 500 (гр.)-вмещает кофейник
Этапы решения задачи и приемы их выполнения
Анализ задачи. Поиск плана решения. Осуществление плана решения. Проверка решения.
Назначение этапа: понять в целом ситуацию, описанную в задаче; выделить условие и требования; назвать известные и искомые объекты, выделить отношения между ними. С этой целью задаются вопросы: О чем задача? Что требуется найти? Что обозначают те или иные слова? Что неизвестно? Что является искомым?
Осмыслить задачу поможет другой прием - перефразировка текста задачи: замена данного в задаче описания ситуации другим, сохраняющим все отношения, но более явно их выражающих. Это достигается отбрасыванием несущественной (излишней) информации, замены описания некоторых понятий терминами и наоборот.
Итогом анализа задачи является составление вспомогательной модели (может быть в виде таблицы, схематического чертежа). После построения вспомогательной модели необходимо проверить: Все ли объекты показаны на модели; Все ли отношения отражены; Все ли числовые данные приведены; Есть ли вопрос (требование) и правильно ли он указывает искомое.
Назначение этапа: Установить связь между данными и исходными объектами Наметить последовательность действий План решения задачи – это идея решения, его замысел. План решения может оказаться неверной, тогда вновь возвращаются к анализу задачи и начинают все сначала.
Разбор задачи по тексту Разбор задачи по ее вспомогательной модел и
Синтетическим методом: цепочка рассуждений строится от данных к искомому. Выделяются два данных, а на основе связи между ними определяется какое неизвестное можно найти и с помощью каких арифметических действий и т. д. Разбор задачи по тексту проводится:
Аналитический метод : цепочка рассуждений строится от искомого к данным. Обращают внимание на вопрос и устанавливают, что достаточно знать для ответа на вопрос и т.д. Этап завершается составлением плана решения задачи (устно или письменно).
Назначение этапа: найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом. Используются следующие приемы: Запись по действиям : С пояснением: 42-18=24 (шт.) - сделали фонариков Без пояснения: 42-18=24 (шт.) С вопросом: Сколько фонариков сделали дети? 42-18=24 (шт.) Запись решения в виде выражения: 42+ (42-18) + (42-18) + 6= 96 (шт.)
4. Проверка решения задачи Назначение этапа : установить правильность или ошибочность решения задачи. Приемы проверки решения задачи: Прикидка результата (установление границ ответа). Чаще выполняется до начала решения. Она не дает полного представления о правильности решения, но помогает избежать абсурдных результатов.
Установление соответствия между результатом и условиями. Найденный результат вводится в тексты задачи и устанавливается не возникает ли противоречий. При этом проверяются все отношения. Если противоречий нет, то задача решена верно. Решение задачи другим способом. Если решение задачи другим способом приводит к тому же результату, то делается вывод о том, что задача решена верно. Если задача решена арифметическим способом, то правильность решения можно проверить, решив задачу алгебраическим способом и наоборот.
Моделирование в процессе решения текстовых задач
Математическая модель – это описание какого-либо реального процесса на языке математических понятий, формул и отношений. Математической моделью текстовой задачи является: выражение (если задача решается арифметическим методом ) уравнение (если задача решается алгебраическим методом)
Прием моделирования заключается в том, что для исследования объекта (текстовой задачи) выбирают другой объект, который исследуют, а результаты изученного объекта переносят на первоначальный объект.
Все модели по видам средств, используемых для их построения подразделяют на: Схематизированные Знаковые
Вещественные (предметные) – пуговицы, спички, бумажные полоски и т.д. Графические. Относят следующие виды моделей: рисунок условный рисунок ? ?
чертёж схематический чертеж (схема) ? 4 3 ?
выражения, уравнения ( выполнены на математическом языке); таблица (выполнена на естественном языке): Цена Количество Стоимость Ложки Вилки ? одинаковая ? 5 шт. 3 шт. 10 руб. ? краткая запись (выполнены на естественном языке): 1 класс – 18 уч. 2 класс – ? на 6 уч. > ? уч.
Модели, выполненные на математическом языке называются решающими моделями Модели, выполненные на естественном языке называются вспомогательными моделями. Т.о. Модель – это копия задачи, поэтому на ней должны быть представлены все ее объекты, все отношения между ними, указаны требования.
