Тема урока: «Исследование функций»
Что называется числовой функцией? Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу число у, зависящее от х. 2. Что называется графиком функции? Графиком функции f называется множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где у= f (х), а х «пробегает» всю область определения функции f. Вопросы :
3. Какие из линий, изображённых на рисунке являются графиками функций?
Вопросы: Графиком функции у = х 2 является … Вертикальную координатную прямую на координатной плоскости называют осью … 3. Графиком функции у = 1/х является … 4. Зависимость, при которой каждому значению х ставится в соответствие единственное значение у называется … 5. Множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где у = f (х), а х «пробегает» всю область определения функции f. 6. Графиком функции у = кх + в является … 7. Горизонтальную координатную прямую на координатной плоскости называют осью … 8. Ось х и ось у называют осями … г р а ф и к 1 2 3 4 6 5 7 8 Кроссворд
Схема исследования функций: 1. Найти область определения функции. 2. Определить чётность или нечётность функции, периодичность. 3. Найти координаты точек пересечения графика с осями координат. 1. Найти промежутки знакопостоянства функции. 5. Определить промежутки возрастания или убывания функции. 6. Найти точки экстремума функции, вид экстремума (максимум или минимум) и значения функции в этих точках. 7. Найти область значений функции. 8. Построить график функции.
Задание 1. Проведите по общей схеме исследование функции, заданной графиком.
1. Область определения функции D (у) = [ -8; 5 ]. 2. Функция ни чётная, ни нечетная. Функция не периодическая. 3. Пересечение с осью ОХ: (1; 0), (5; 0). с осью ОУ: (0; 2). 1. Промежутки знакопостоянства: f (х) > 0, при х принадлежащем промежутку [ -8; 1). f (х) < 0, при х принадлежащем промежутку (1; 5 ]. 5. Функция возрастает на промежутке [ -5; -1 ]U[ 3; 5 ]. Функция убывает на промежутке [ -8; -5 ]U[ -1; 3 ]. 6. Точки экстремума: х max =-1, у max = 3, х min = -5, у min = 1, х min = 3, у min = -2. 7. Область значений Е(у) = [ -2 ; 5 ].
«Построение функций по общей схеме исследования»
Задание 1. Построить график функции f (х) = 2х – 6, используя схему исследования. Гипотеза. Графиком данной функции является прямая. х у Проверим гипотезу, проведя исследование функции по общей схеме исследования.
Исследование функции f (х) = 2х – 6. Область определения функции D (у) =(-∞; +∞). 2. f (- х) = 2(-х) – 6 = – 2х – 6 = -(2х + 6) – функция ни чётная, ни нечетная. Функция не периодическая. 3. Пересечение с осью: а) с осью ОХ, у = 0. б) с осью ОУ, х = 0. 2х – 6 = 0, 2 · 0 – 6 = у, 2х = 6, 0 – 6 = у, х = 3 у = - 6. (3; 0). (0; -6). 4. Промежутки знакопостоянства: f (х) > 0, 2х - 6 > 0, 2х > 6, х > 3. (3; +∞). f (х) < 0, 2х – 6 < 0, 2х < 6, х < 3. (-∞; 3). 5. Функция возрастает на промежутке (-∞; +∞), т. к. к =2, к > 0. 6. Точек экстремума нет. 7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).
Построим график функции f (х) = 2х – 6. 3 - 6 х у Вывод. Гипотеза подтвердилась. Графиком данной функции является прямая.
Задание. Построить график функции f (х) = х 3 – 1, используя схему исследования.
Выдвигаем гипотезу: Графиком функции у = х 3 – 1 является кубическая парабола. Построим схематический график. х у
Исследуем функцию у = х 3 – 1 1. Область определения функции D (у) =(-∞; +∞). 2. f (- х) = (-х) 3 – 1 = – х 3 – 1 = -(х 3 + 1) – функция ни чётная, ни нечетная. Функция не периодическая. 3. Пересечение с осью: а) с осью ОХ, у = 0. б) с осью ОУ, х = 0. х 3 – 1 = 0, у = 0 3 – 1, х 3 = 1, у = - 1. х = 1. (0; -1). (1; 0). 4. Промежутки знакопостоянства: f (х) > 0, х 3 - 1 > 0, х 3 > 1, х > 1. (1; +∞). f (х) < 0, х 3 – 1 < 0, х 3 < 1, х < 1. (-∞; 1).
5. х 2 = 1, х 1 = 0. f (х 2 ) = f (1) = 1 3 – 1 = 0. f (х 1 ) = f (0) = 0 3 – 1 = -1. х 2 > х 1, f (х 2 ) > f (х 1 ) – функция возрастает. 6. Точек экстремума нет, т. к. функция возрастает на всей области определения. 7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).
Используя схему исследования функции у = х 3 – 1 строим её график. х у 1 -1 2 -1 -2
Сделаем вывод. Графиком функции у = х 3 – 1 является кубическая парабола, опущенная на 1 единицу вниз.
Задание. Построить график функции f (х) = х 2 – 4х, используя схему исследования.
Гипотеза
х у
Исследуем функцию у = х 2 – 4х 1. Область определения функции D (у) =(-∞; +∞). 2. f (- х) = (-х) 2 – 4(-х) = х 2 + 4х = -(-х 2 – 4х) – функция ни чётная, ни нечетная. Функция не периодическая. 3. Пересечение с осью: а) с осью ОХ, у = 0. б) с осью ОУ, х = 0. х 2 – 4х = 0, у = 0 2 - 4 · 0 = 0, х(х – 4) = 0, у = 0. х = 0 или х- 4 = 0 (0; 0) х = 4. (0; 0). (4; 0). Найдём вершину параболы: х = 4 : 2 = 2; у = 2 2 - 4 · 2 = 4 – 8 = - 4. (2; -4) – вершина параболы.
4. Промежутки знакопостоянства: f (х) > 0, х 2 – 4х > 0, х(х -4) > 0, Х 2 – 4х = 0, х(х -4) = 0, х = 0 или х- 4 = 0. х = 4. f (х) > 0, ( - ∞; 0) U (4; +∞). f (х) < 0, (0; 4). 0 4 − + + х
5. Промежутки возрастания и убывания функции: х 2 = 1, х 1 = 0. f (х 2 ) = f (1) = 1 2 – 4 · 1 = -3. f (х 1 ) = f (0) = 0 2 – 4 · 0 = 0. х 2 > х 1, f (х 2 ) < f (х 1 ) – функция убывает на промежутке (- ∞;2). х 1 = 3, х 2 = 4. f (х 1 ) = f (3) = 3 2 – 4 · 3 = -3. f (х 2 ) = f (4) = 4 2 – 4 · 4 = 0. х 2 > х 1, f (х 2 ) > f (х 1 ) – функция возрастает на промежутке (2; +∞). 6. Точка минимума (2; -4). 7. Область значений Е(у) = (-4; +∞).
Построим график функции у = х 2 – 4х 2 0 -4 4 х у
Вывод Графиком функции у = х 2 – 4х является парабола, ветви параболы направлены вверх.
Задание. Построить график функции f (х) = √ х – 3, используя схему исследования.
Гипотеза Предположим, что график функции f (х) = √х – 3 будет иметь вид: х у
Исследуем функцию f (х) = √х – 3 по схеме исследования. 1. Область определения функции D (у) = [ 3 ; +∞). 2. f (- х) = √ (-х) - 3 = √- х - 3 – функция ни чётная, ни нечетная. Функция не периодическая. 3. Пересечение с осью: а) с осью ОХ, у = 0. б) с осью ОУ, х = 0. √ х - 3 = 0, у = √ 0 – 3 = √ – 3. х - 3 = 0, точек пересечения нет. х = 3. (3; 0). 4. Промежутки знакопостоянства: f (х) > 0, √ х - 3 > 0, х – 3 > 0, х > 3. (3; +∞).
Промежутки возрастания и убывания функции: х 2 = 4, х 1 = 3. f (х 2 ) = f (4) = √4 – 3 = √1 = 1, 1 > 0. f (х 1 ) = f (3) = √ 3 – 3 = 0. х 2 > х 1, f (х 2 ) > f (х 1 ) – функция возрастает. 6. Точек экстремума нет, т к функция возрастает. 7. Область значений Е(у) = (0; +∞).
Используя схему исследования функции f (х)= √ х – 3 построим её график. х у 3
Вывод: Гипотеза подтвердилась. Мы построили график функции f (х)= √х – 3.
