Векторы в пространстве и действия над ними. Компланарные векторы.
Многие физические величины характеризуются числовым значением и направлением в пространстве, их называют векторными величинами v F
Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой- концом, называется вектором. В А с Обозначение вектора АВ, с
Т ТТ Любая точка пространства также может рассматриваться как вектор. Такой вектор называется Обозначение нулевого вектора ТТ, 0 нулевым. 0
Длиной вектора АВ называется длина отрезка АВ. Длина вектора АВ ( вектора а) обозначается так : АВ, а Длина нулевого вектора считается равной нулю : 0 = 0
Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых с L K b A B Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору Р
Коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление, называются сонаправленными векторами c ↑↑ KL AB ↑↑ b MM ↑↑ c ( нулевой вектор сонаправлен любому вектору ) с L K b A B М
Коллинеарные векторы, имеющие противоположное направление, называются противоположно направленными векторами b ↑↓ KL AB ↑↓ c c ↑↓ b KL ↑↓ AB L K A B b с
A B C D В 1 D 1 A 1 C 1 Сонаправленные векторы: AA 1 BB 1, A 1 D B 1 C AB D 1 C 1 Противоположно-направленные: CD D 1 C 1, CD AB, DA BC АВ = 5 см; ВС = 3 см; ВВ1 = 9 см. 5 см 3 см 9 см 5 см 3 см 9 см
Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. А В С Е АВ=ЕС, так как АВ ЕС и АВ = ЕС
Рисунок № 1 Рисунок № 2 А В С М АВ=СМ, т. к АВ = СМ А Н О К АН=ОК, т. к АН ОК
Дано: а, М. Доказать: в = а, М в, единственный. Доказательство: Проведем через вектор а и точку М плоскость. В этой плоскости построим МК = а. Из теоремы о параллельности прямых следует МК = а и М МК. Э Э М К а
Правило треугольника. (правило сложения двух произвольных векторов а и Ь). Отложим от какой-нибудь точки А вектор АВ, равный а. Затем от точки В отложим вектор ВС, равный Ь. Вектор АС называется суммой векторов а и b : АС =а+Ь. 13
Сложение векторов. Правило треугольника. a a b b a + b АВ + ВС = АС 14
По этому же правилу складываются и коллинеарные векторы, хотя при их сложении и не получается треугольника. 15
Для сложения двух неколлинеарных векторов можно пользоваться также правилом параллелограма, известным из курса планиметрии. 16
Сложение векторов. Правило параллелограмма. a a b b a + b b a + АВ + А D = АС А В D C
Сложение нескольких векторов в пространстве выполняется так же, как и на плоскости: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма — с третьим вектором и т. д. Из законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. 18 ОС = a + b + c а b с О В А С
Сложение векторов. Правило многоугольника. = А O АВ + ВС + С D + DO a c n m c m n a+c+m+n a
Для любых векторов справедливы равенства: a+b = b+a ( переместительный закон ) ( a+b )+c=a+ ( b+c ) ( сочетательный закон ) Свойства сложения векторов
Разностью векторов а и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору а. Разность а - b векторов а и b можно найти по формуле: а - b = а + (- b ) 21
Разность векторов a a - b = c Построение: a b с b Дано: a, b Построить: c = a - b
k· a = b, | a | ≠ 0, k – произвольное число | b | = | k | · | a |, если k> 0, то a ↑↑ b если k< 0, то a ↑↓ b a 2a -2a Для любых чисел k, l и любых векторов a, b справедливы равенства: 1 º. ( k l ) a = k ( la ) (сочетательный закон), 2 º. ( k + l ) a = k a + la (первый распределительный закон), 3 º. k ( a + b ) = k a + kb (второй распределительный закон).
Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. c Другими словами, векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. a c Любые два вектора компланарны.
Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. c a k
Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед. А О Е D C В B 1 Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор ОС не лежит в плоскости ОАВ. Являются ли векторы ОА, ОВ и ОС компланарными?
B C A 1 B 1 C 1 D 1 Являются ли векторы AD, А 1 С 1 и D 1 B компланарными? Векторы А 1 D 1, A 1 C 1 лежат в плоскости А 1 D 1 C 1. Вектор D 1 В не лежит в этой плоскости. Векторы AD, А 1 С 1 и D 1 B не компланарны. A D
A B C A 1 B 1 C 1 D 1 D Являются ли векторы AD и D 1 B компланарными? Любые два вектора компланарны.
Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1. Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 АА 1, СС 1, ВВ 1 Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны.
Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1. Компланарны ли векторы? В А В 1 С 1 D 1 D С А 1 АВ, А D, АА 1 Векторы АВ, А D и АА 1 не компланарны, так как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС.
Если вектор можно разложить по векторам и, т.е. представить в виде где x и y – некоторые числа, то векторы, и компланарны. c a b c = xa + yb a b c Признак компланарности
c = xa + yb Докажем, что векторы компланарны. b О В В 1 А 1 А С ОВ 1 = у ОВ ОА 1 = х ОА Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ. Векторы ОА 1 и ОВ 1 также лежат плоскости ОАВ. А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ, равный вектору. c c a
Справедливо и обратное утверждение. Если векторы, и компланарны, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и , причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. c a b c = xa + yb a b c a b
A В С В 1 D Е Правило параллелепипеда. a b c О OE + ED = (OA + AE) + ED = OA + OB + OC = = a + b + c OA + OB + OC = OD из OED из OAE OD =
Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векорам. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Если вектор представлен в виде где, и - некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам, и. Числа, и называются коэффициентами разложения. p = xa + yb + zc c x z p y b a x z y
D В A С B 1 C 1 D 1 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: АВ + А D + АА 1 A 1 = AC 1
В A С C 1 D 1 D Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: D А + DC + DD 1 A 1 = DB 1 B 1
В A С C 1 D 1 D Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 = DB 1 B 1 A 1 B 1 + C 1 B 1 + BB 1 DC + DD 1 + DA
В A С C 1 D 1 D Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 = A 1 C B 1 A 1 A + A 1 D 1 + AB + A 1 B 1 A 1 A + A 1 D 1
