вероятность и статистика 8 класс
§ 56 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА В ВИДЕ ДЕРЕВА
ВВЕДЕНИЕ Рассмотрим ещё один инструмент для решения задач на нахождение вероятности — дерево случайного опыта. Наряду с диаграммами Эйлера дерево позволяет наглядно представить условия данного опыта. Дерево — разновидность графа. Вспомним его определение.
ПОВТОРЕНИЕ Дерево — это связный граф без циклов. Теперь рассмотрим пример и построим дерево случайного опыта.
изучение нового материала Пример : стрелок стреляет по мишени и с вероятностью 0,8 может попасть в мишень. Найди вероятность того, что стрелок попал при первом выстреле, а при втором промахнулся.
1. Изобразим исходную точку (когда ещё не было ни одного выстрела) S (start), а попадание или не попадание в цель обозначим точками P и H соответственно. Соединим точку S стрелками с точками P и H. изучение нового материала S P H Стрелки — это рёбра графа, а точки — вершины дерева. Можно вместо стрелок изображать просто отрезки, так как направление движения для дерева всегда будет одинаковым, сверху вниз.
Рядом с рёбрами напишем вероятности событий. По условию, вероятность попадания равна 0,8. Возможны только два исхода, значит, вероятность противоположного события (промаха) равна: 1 − 0,8 = 0,2. 2. изучение нового материала S P H 0,8 0,2 Важно проверять, чтоб сумма вероятностей около всех рёбер, выходящих из одной вершины, была равна 1.
Достроим дерево при условии двух выстрелов. 3. изучение нового материала S P H 0,8 0,2 P P H H 0,8 0,8 0,2 0,2 Нам нужно найти вероятность того, что стрелок попал при первом выстреле, а при втором промахнулся.
Найти вероятность события можно с помощью правила умножения вероятностей. 4. изучение нового материала 0,8 S P H 0,8 0,2 P P H H 0,8 0,2 0,2 Найдём вероятность, что стрелок попал при первом выстреле, а при втором промахнулся. 0,8 ⋅ 0,2 = 0,16.
правило Чтобы найти вероятность события с помощью дерева случайного опыта, нужно найти произведение вероятностей вдоль цепочки, идущей от начальной вершины к вершине, изображающей нужное элементарное событие.
изучение нового материала А если нам нужно узнать вероятность события « стрелок один раз попал и один раз промахнулся при двух выстрелах » ? 0,8 S P H 0,8 0,2 P P H H 0,8 0,2 0,2
изучение нового материала В этом случае нам подойдут две цепочки : попал первый раз, второй раз промахнулся и промахнулся первый раз, второй раз попал. Тут действует правило сложения вероятностей. 0,8 S P H 0,8 0,2 P P H H 0,8 0,2 0,2 Найдём эту вероятность. 0,8 ⋅ 0,2 + 0,2 ⋅ 0,8 = 0,32.
правило Чтобы найти вероятность события с помощью дерева случайного опыта, нужно сложить вероятности всех цепочек, ведущих к этому событию от начальной вершины.
закрепление изученного материала Катя изобразила дерево случайного опыта, но не уверена, правильно ли она это сделала. Проанализируйте рисунок и найдите ошибку, если она есть. 0,7 S A B 0,2 0,2 A A B B 0,4 0,3 0,6 Дерево изображено неверно, так как сумма вероятностей для рёбер, выходящих из вершины S, не равна 1.
A Пример На рисунке изобразили дерево для некоторого случайного эксперимента с началом в точке S. Найдите количество элементарных событий в этом опыте. S P 5
Пример Дано дерево некоторого случайного опыта. Рядом с рёбрами написали вероятности исходов, но некоторые рёбра пропустили. Заполните пропуски. S A B D R K L M F C N 4 5 _ 2 5 _ 1 4 _ 1 2 _ 3 5 _
пример Симметричную монету бросают трижды. Постройте дерево этого случайного эксперимента. И найди с его помощью вероятность того, что первый раз выпала решка, второй, третий раз — орёл. S О О О О О О Р Р Р О Р Р Р Р Найдём вероятность того, что первый раз выпала решка, второй, третий раз — орёл. 0,5 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 = 0,125.
пример В компьютерной игре Миша бросает волшебную фишку дважды. Каждый бросок может принести бонусы к силе с вероятностью 0,1, к ловкости — с вероятностью 0,2, к магии — с вероятностью 0,7. Построй дерево этого случайного эксперимента. Найди вероятность того, что оба раза выпал бонус к ловкости. S С Л М С С С Л Л Л М М М Найдём вероятность того, что оба раза выпал бонус к ловкости. 0,2 ⋅ 0,2 = 0,04.
домашнее задание Сделать краткий конспект
