Лекция № 6 ( не всякая бесконечная сумма чисел равна бесконечности)
2 Сходимость и сумма числового ряда Определение. Числовой ряд – сумма элементов бесконечной числовой последовательности: – n - я частичная сумма ряда Сходящийся ряд: u n – общий или n -й член ряда ( S – сумма ряда) Расходящийся ряд: или не
3 Примеры числовых рядов Пример 1: Пример 2: Пример 3:
4 Свойства сходящихся рядов причем сумма этого ряда равна S. ( 0 – число) 3. ( Необходимое условие сходимости ряда ) Если ряд сходится, то 1. Отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость. 2. Если ряд сходится и имеет сумму S, то сходится также и ряд 4. Если два ряда сходятся то сходится и ряд
5 Замечание 3-е свойство является необходимым, но не достаточным
6 Достаточные признаки сходимости Ряды с неотрицательными членами Основное свойство : последовательность частичных сумм ряда является неубывающей Необходимое и достаточное условие сходимости : Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.
7 Признаки сравнения Теорема. Пусть для двух рядов с неотрицательными членами Тогда из сходимости ряда b n следует сходимость ряда a n. А расходимость ряда a n влечет за собой расходимость b n. Док-во : Рассмотрим частичные суммы рядов Пример 1: Пример 2: Пример 3: (ряд Дирихле) При a = 1 ряд называется гармоническим. Ряд Дирихле сходится при > 1 и расходится 1.
8 Предельный признак сравнения Теорема. Если для двух рядов с положительными членами То оба ряда сходятся и расходятся одновременно. Признак Даламбера Теорема. Пусть для ряда с положительными членами существует Тогда этот ряд сходится при < 1 и расходится при > 1.
9 Примеры применения признака Даламбера = a = e > 1 ряд расходится
10 Признак Коши Теорема. Если существует предел То ряд сходится при L < 1 и расходится при L > 1. Пример 1 : Пример 2 :
11 Знакопеременные ряды - знакочередующийся ряд Признак Лейбница: Если последовательность абсолютных величин членов знакопеременного ряда является невозрастающей и общий член ряда стремится к нулю, то ряд сходится.
12 Доказательство: - последовательность монотонно возрастающая - последовательность ограничена
13 Замечание. В признаке Лейбница существенны оба условия!! Сложим каждые два члена и получим расходящийся ряд:
14 Следствие: Погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося знакочередующегося ряда, по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена. Пример : Какое число членов ряда необходимо взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,001?
15 Абсолютная и условная сходимость (1) - Абсолютно сходящийся ряд, если сходится (2) (1) – условно сходящийся ряд, если ряд (2) расходится Примеры:
16 Различие свойств абсолютно и условно сходящихся рядов Абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы, их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. Пример.
