Векторы. Линейные операции над векторами. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора. Скалярное произведение. Аналитическая геометрия на плоскости.
Вектор – направленный отрезок. Обозначение. Длина вектора – длина отрезка АВ. Обозначение длины или. Обозначения: – векторы сонаправлены; – векторы противоположно направлены; – в общем случае (без указания взаимной направленности).
Равные векто ры – векторы, удовлетворяющие условиям : 1) имеют одинаковую длину; 2) коллинеарны; 3) сонаправлены. Коллинеарные векторы – векторы, параллельные одной прямой.
Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения вектора на число. Сумма векторов a и b определяется по правилу треугольника или параллелограмма. Обозначение суммы или.
Произведением вектора ā на число λ называется вектор, удовлетворяющий следующим условиям: 1) ; 2) при λ >0 и при λ <0. Обозначение.
Два неколлинеарных вектора и образуют базис на плоскости. Три некомпланарных вектора, и образуют базис в пространстве. Ортонормированный ( декартовый ) базис – это базис составляющие векторы которого взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Будем обозначать декартовый базис на плоскости -, ; в пространстве -,,.
Разложить вектор по базису – значит представить его в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. в форме Числа α, β, γ, (коэффициенты линейной комбинации) называются координатами вектора в данном базисе. Вектор может быть задан в координатной форме: – на плоскости; – в пространстве. - на плоскости, - в протранстве.
Линейным операциям над векторами и 1. 2. 3. Если заданы координаты начала и конца вектора тогда координаты вектора вычисляются: и
Условия коллинеарности и компланарности векторов в координатной форме выглядит следующим образом: 1. Два вектора коллинеарны, если 2. Три вектора компланарны, если
Пример. Даны четыре вектора: Показать, что три первых вектора образуют базис в трехмерном пространстве и разложить четвертый вектор по этому базису. Δ≠ 0, а значит это базис.
Разложим четвертый вектор по этому базису: Запишем в координатном виде:
Запишем систему уравнений:
Осталось решить систему из 3-х уравнений на 3-и неизвестные:
29 1. Расстояние d между точками M 1 (x 1,y 1 ) и M 2 (x 2,y 2 ) на плоскости: 2. Деление отрезка в заданном отношении λ. Даны точки M 1 (x 1,y 1 ) и M 2 (x 2,y 2 ). Тогда координаты точки N(x,y), делящей отрезок М 1 М 2 в отношении определяется по формуле: При λ =1:
30 б) уравнение прямой с угловым коэффициентом - нормальный вектор прямой, 3. Основные виды уравнений прямой на плоскости: а) общее уравнение: - угловой коэффициент, равный тангенсу угла α, который образует прямая с положительным направлением оси Ox, b – ордината точки пересечения прямой с осью Oy;
31 г) уравнение прямой, проходящей через две точки M 1 (x 1,y 1 ) и M 2 (x 2,y 2 ) д) уравнение прямой, проходящей через данную точку M0(x0,y0) в данном направлении - угловой коэффициент. в) уравнение прямой в отрезках где а – абсцисса, b – ордината точек пересечения прямой с осями Ох и Оу соответственно;
4. Взаимное расположение двух прямых y=k 1 x+b 1 и y=k 2 x+b 2 : а) угол между прямыми: 32 – угол, на который нужно повернуть первую прямую против часовой стрелки до совпадения со второй прямой; где k 1 и k 2 – угловые коэффициенты этих прямых;
33 б) признак параллельности двух прямых: k 1 =k 2 ; в) признак перпендикулярности двух прямых: 5. Расстояние от точки M 0 (x 0,y 0 ) до прямой Ax+By+C=0 находиться по формуле:
34 Даны координаты вершин треугольника АВС : А (–2,1), В (2,9), С (-7,8). Hайти: 1) систему неравенств, определяющих множество точек треугольника АВС ; 2) угол С в радианах с точностью до двух знаков; 3) уравнение высоты AD и ее длину; 4) уравнение медианы СE и координаты точки F пересечения этой медианы с высотой AD ; 5) уравнение окружности, для которой высота AD есть диаметр. Решение: Каждая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости: под прямой и над прямой – это обозначается в уравнении прямой знаком неравенства. Построим прямые проходящие через точки А, В и С по формуле:
35 А (–2,1), В (2,9), С (-7,8)
36 А (–2,1), В (2,9), С (-7,8)
37 А (–2,1), В (2,9), С (-7,8)
38 Уравнения АС и ВС имеют вид: 2) угол С в радианах с точностью до двух знаков; А (–2,1), В (2,9), С (-7,8) Соответственно коэффициенты К А =-7/5, К В =1/9. Мы знаем, что
39 3) уравнение высоты AD и ее длину; Вспомним признак перпендикулярности прямых: В нашем случае Т.е. К=-9, тогда уравнение прямой будет записываться по формуле: А (–2,1)
Расстояние от точки до прямой вычисляется 40 А (–2,1)
4) уравнение медианы СE и координаты точки F пересечения этой медианы с высотой AD. Чтобы найти уравнение медианы С Е, определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны АВ. 41 А (–2,1), В (2,9)
42 С (-7,8), Е(0,5)
43 Для нахождения координат точки пересечения медианы и высоты, решим систем уравнений составленную их уравнения медианы и уравнения высоты:
44 5) уравнение окружности, для которой высота AD есть диаметр.
Осталось записать уравнение окружности 45
