1 Движение абсолютно твёрдого тела
2 Понятие абсолютно твёрдого тела Δ m 2 Δ m 3 Δ m 1 r jk Δ m i – элементарная масса - внешняя сила r jk – расстояние между точками j и k Абсолютно твёрдое тело – тело, расстояние между двумя любыми точками которого во время движения остаётся неизменным, т.е. тело не деформируется r jk = const
3 Поступательное движение абсолютно твердого тела А В А ´ В ´ АВ А ´ В ´ АА ´ = ВВ ´ Поступательное движение абсолютно твердого тела называется такое движение тела, при котором любая прямая, проведенная через две произвольные точки, перемещаются параллельно самой себе (АВ А ´ В ´ ) Скорости и ускорения при поступательном движении тела одинаковы для всех точек этого тела
4 - ускорение, одинаково для всех точек тела - внутренняя сила, действующая на точку i со стороны других точек - внешняя сила, действующая на точку i - масса тела - главный вектор внешних сил r r r е е е + = Ч D i i i i f F a i i m r r r i i F f a + = Ч D i m Закон движения центра масс тела Центр масс тела движется так, как движется материальная точка с массой, равной массе тела m, под влиянием силы, равной главному вектору внешних сил F F = m a
5 Центром масс называется такая воображаемая точка тела, радиус – вектор которой R, выражается через радиусы векторы r 1, r 2 … материальных точек тела по формуле R = m m 1 r 1 + m 2 r 2 + …+ m N r N m = m 1 + m 2 + …+m N – общая масса тела, состоящего из N материальных точек
6 Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси F 1 F 2 F 3 F О ´ О Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором материальные точки тела движутся по концентрическим окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. ОО ´ - ось вращения тела
7 Момент силы относительно точки Момент силы относительно оси М = [r · F] r ·sin = ℓ - плечо силы М = r· F· sin = ℓ·F M = ℓ ·F 3 M = ℓ·F ℓ МО+О F r α - линия действия силы Произвольная точка на оси вращения F ℓ F 1 F 2 F 3 О ` О Вращение тела вызывается составляющей F 3, перпендикулярной плоскости, в которой лежит ось вращения Модуль момента силы относительно оси ОО ´
8 Основное уравнение динамики вращательного движения F i = Δ m i ·a i a i = r i r i ∙F i = Δ m i ∙ ∙ r i 2 M i =I i ∙ M 1 +M 2 +…=J 1 +J 2 +… M=J Основное уравнение вращательного движения твердого тела i ==const Δ m i ∙r i 2 =J i – момент инерции материальной точки относительно оси вращения J 1 +J 2 +…=J – момент инерции тела относительно оси вращения
9 Моменты инерции некоторых тел относительно оси, проходящей через центр тяжести ( J o ) R R ℓ J o = m R 2 J o = 1/2m R 2 J o = 1/12m ℓ 2 R 4) Шар J o = 2 / 5 mR 2 1) Кольцо 2) Сплошной цилиндр 3) Стержень
10 Работа и энергия вращательного движения твёрдого тела При поступательном движении При вращательном движении Работа : A = F · d S A = M · d φ Кинетическая энергия: Е к = 1 2 m u 2 Е к = J ω 2 2 Если тело вращается и движется поступательно: Е к = J ω 2 2 + 2 m u 2 (Пример: движение колеса по дороге)
11 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ТЕЛА - основное уравнение вращательного движения твёрдого тела - угловое ускорение М – момент силы, J – момент инерции, ε = d ω d t М = d ω d t J · ; M · d t = J · d ω ; М · d t = d (J ω ) – момент импульса тела, или интеграл движения L = J ω M = J · ε Импульс момента внешних сил, действующих на тело, равен изменению момента импульса тела. - если ось вращения не изменяет своего положения – импульс момента внешних сил М · d t
12 Закон сохранения момента импульса Если система замкнутая, то внешние силы не действуют, и момент внешних сил М = 0. d ( J· ω ) = 0; J· ω = const J· ω = L Если система замкнутая, то момент импульса системы сохраняется. Сохраняется не только величина момента импульса, но и направление. Если J – уменьшается, то ω – увеличивается и наоборот. момент импульса M · dt = d(J· ω ) ;
