Пусть точка М движется относительно системы отсчета которая в свою очередь, движется относительно неподвижной системы отсчета Такое движение точки М называется составным или сложным. Движение точки М относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным, а траектория, скорость и ускорение точки М в этом движении – абсолютными. Обозначения: Движение точки М относительно подвижной системы отсчета называется относительным, а траектория, скорость и ускорение точки М в этом движении – относительными. Обозначения: Движение точки М вместе с подвижной системой отсчета относительно неподвижной системы отсчета называется переносным, а скорость и ускорение той точки подвижной системы отсчета, с которой совпадает движущаяся точка М в данный момент времени – переносными. Обозначения: Основной задачей кинематики сложного движения точки является установление зависимостей между скоростями и ускорениями абсолютного, относительного и переносного движений. 1
АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЕКТОРА Пусть вектор задан в подвижной системе отсчета Определим правило нахождения производной этого вектора в неподвижной системе отсчета (абсолютной производной), учитывая, что единичные векторы меняют свое направление вследствие движения подвижной системы отсчета. Обозначим относительная производная вектора По формуле Эйлера поэтому выражение Окончательно получим: Абсолютная производная вектора равна сумме относительной производной и векторного произведения угловой скорости подвижной системы отсчета на этот вектор. 2
Пусть точка М движется относительно подвижной системы отсчета которая совершает произвольное движение относительно неподвижной системы отсчета Положение точки М в подвижной системе отсчета радиусом – вектором Положение начала подвижной системы отсчета задается радиусом – вектором отсчета задается радиусом – вектором, а в неподвижной системе Тогда: Вектор абсолютной скорости точки М: где - скорость начала подвижной системы отсчета. . Переносную скорость точки М можно получить из (*), если зафиксировать положение точки в подвижной системе отсчета: положить Заметим, что это скорость точки свободного твердого тела. Окончательно Абсолютная скорость точки равна векторной сумме переносной и относительной скорости. 3
ω v отн v пер v 4
Для нахождения абсолютного ускорения точки М продифференцируем по времени выражение (*) учитывая, что векторы и заданы в подвижной системе отсчета. где - ускорение начала подвижной системы отсчета; Переносное ускорение точки М можно получить из выражения (**) положив в нем 5
Слагаемое называется Кориолисовым (поворотным) ускорением. Окончательно получим: Теорема Кориолиса Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме ее переносного, относительного и Кориолисова ускорений. относительное ускорение точки характеризует изменение относительной скорости в относительном движении; переносное ускорение точки характеризует изменение переносной скорости в переносном движении; ускорение Кориолиса характеризует изменение относительной скорости точки в переносном движении и переносной скорости точки в относительном движении. Оно возникает вследствие взаимного влияния движений, в которых участвует точка. 6
Модуль ускорения Кориолиса вычисляется по правилу нахождения модуля векторного произведения векторов: Правило Жуковского Для определения направления ускорения Кориолиса необходимо: - спроектировать вектор относительной скорости точки на плоскость, перпендикулярную вектору угловой скорости переносного вращательного движения и - повернуть проекцию в ее плоскости на угол в сторону переносного вращения Из данной формулы следует, что ускорение Кориолиса обращается в нуль в следующих случаях: а) - подвижная система отсчета совершает поступательное движение; б) - точка находится в покое в подвижной системе отсчета; в) - векторы и коллинеарны. 7
S(t) φ (t) O M ω O M 8
ω O M ε 9
10 ПРИМЕР 3 O A C L R M j Решение Определим положение точки М на диске в момент t 1. O A C L R M j a
2. Абсолютную скорость точки найдем по теореме о сложении скоростей: O A C L R M j w a 11
12 O A C L R M j w a b x y ПРИМЕР 3 (продолжение)
13 O A C R j w a x y b ПРИМЕР 3 (продолжение) 3. Абсолютное ускорение точки определим по теореме Кориолиса: e М
14 O A C R j w a x y b e М ПРИМЕР 3 (продолжение)
15 O 1 A C L R M j O 2 ПРИМЕР 4 Относительное движение остается прежним. a К A C L R M j O 2 O 1 a w
16 ПРИМЕР4 (продолжение) A C R M j O 2 O 1 a w e w 2. Переносное ускорение 3. Ускорение Кориолиса x y z K
Никола́й Его́рович Жуко́вский (5 (17) января 1847 с. Орехово, ныне Владимирской области – 17 марта 1921, Москва) Р усский ученый-механик, создатель аэродинамики как науки. Заслуженный профессор Московского университета, профессор теоретической механики Императорского Московского технического училища (с 1918 г. — МВТУ). В 1894 г. Жуковский был избран членом-корреспондентом Академии наук по разряду математических наук. При его активном участии были созданы Центральный аэрогидродина- мический институт (ЦАГИ), Московский авиатехникум ( Военно-воздушная академия). 17
Гюстав Гаспар Кориолис (Coriolis G.G., 21.05.1792 – 19.09.1843) Родился в Париже в 1792г. В 1810 г. окончил Политехничес- кую школу, а в 1812 г. Школу мостов и дорог. С 1816 г. начал преподавать в Политехнической школе, где вскоре стал профессором, а в 1831 г. – директором учебной части школы. Преподавал также в Центральной школе искусств и ремесел и в Школе мостов и дорог. В 1836 г. был избран в Парижскую академию наук 18 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ НАУКИ
