Электричество и магнетизм Лекция 4 Теорема Гаусса. Поток и дивергенция векторного поля 2 2 сентября 20 2 1 года Лектор: доцент НИЯУ МИФИ, Ольчак Андрей Станиславович Курс общей физики НИЯУ МИФИ
Немного математики. Поток вектора Определение : Если площадка dS дифференциально мала (почти точечная), то элементарный поток вектора u через нее d Ф = ( u,dS ) – Вектор dS считаем направленным по нормали к площадке. Поток вектора Ф через большую поверхность S вычисляется как сумма (интеграл) элементарных потоков Δ Ф через все микроскопические площадки d S, составляющие большую. Δ S Ф=0 E
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Поток вектора Ф через большую поверхность S вычисляется как сумма (интеграл) элементарных потоков Δ Ф через все микроскопические площадки d S, составляющие большую. Поток пропорционален числу силовых линий, пронизыва.щих площадку (с учетом их направления) Немного математики. Поток вектора
Примеры задач Пример. Найдите поток однородного горизонтального электрического поля с напряжённостью через поверхность, показанную на рисунке. «Тень» поверхности на вертикальную плоскость образует прямоугольник с размерами a и b.
Геометрическая интерпретация потока Ф ~ N + - N - = 0 ( если N + = N - ) Поток через замкнутую поверхность Немного математики. Поток вектора
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: для поля E скалярное произведение Δ Ф=( E, Δ S ) – элементарный поток вектора поля E яерез площадку Δ S. Вектор Δ S направлен по нормали к площадке Поток Ф через большую поверхность S вычисляется как сумма (интеграл) элементарных потоков Δ Ф через все малые площадки, составляющие поверхность. В частности: поток вектора поля E через сферическую поверхность с центром в точке - источнике поля, очевидно равен Ф = SE=4πr 2 E = 4πr 2 kq/r 2 = 4πkq. А если заряд не в центре? Или если поверхность не сферическая? Число пронизывающих поверхность силовых линий останется тем-же = > поток останется тем-же. Ф = 4πkq = q / ɛ 0 ; ɛ 0 = 1/ 4πk – диэлектрическая постоянная Поток вектора напряженности эл. поля Δ S E
Интегральная форма теоремы Гаусса Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на электрическую постоянную ɛ 0 Если внутри поверхности несколько зарядов q i, то каждый создаст поток Ф i = 4πkq i, а общий поток будет равен Ф = 4πk Σ q i
Поле бесконечной заряженной плоскости т.к.
Поле бесконечной заряженной плоскости
Поле бесконечной заряженной плоскости Поле двух бесконечных параллельных противоположно заряженных плоскостей ( плоский конденсатор )
Поле бесконечного заряженного цилиндра Однородно заряженный полый бесконечный цилиндр радиуса
Поле бесконечного заряженного цилиндра φ ( r<R ) = φ 0 φ ( r>R ) = ( λ /2 πε 0 )ln(R/r) + φ 0
Поле заряженной сферы
Поле заряженных сферы и шара
Поле заряженных сферы и шара Поле однородно заряженного шара а)
Поле заряженных сферы и шара б)
Поле заряженных сферы и шара б) а) φ (r<R) = 3q/8 πε 0 R - - qr 2 /8 π ε 0 R 3 : φ (r>R) = q /4 πε 0 r Функция непрерывная и гладкая
Поток и дивергенция Сосчитаем поток вектора u через поверхность микро-кубика:
Поток и дивергенция Дивергенция вектора = объёмная плотность потока вектора.
Теорема Гаусса. Дифференц. форма Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на электрическую постоянную ɛ 0 = 4πk Дивергенция вектора напряженности электрического поля в точке равна плотности электрического заряда в данной точке, деленной на электрическую постоянную ɛ 0. div E = d Ф/ dV = = ( Σ q i / ɛ 0 ) dV = = ρ / ɛ 0 = Первое уравнение Максвелла
Га́усс И. К. Ф. (1777-1855) Острогра́дский М. В. (1801-1861) Теорема Остроградского-Гаусса Факт: поток через внешнюю поверхность группы микро-кубиков = сумме потоков через поверхности всех микро-кубиков
Примеры задач Пример. В некоторой области пространства дивергенция электрического поля равна нулю. Рассмотрим замкнутую поверхность, которая делится на две части и. Найдите отношение потоков вектора через поверхности и.
Спасибо за внимание! Курс общей физики НИЯУ МИФИ
Электричество и магнетизм Из лекции 05 Электрическое поле в диэлектриках 22 сентября 2021 года Лектор: доцент НИЯУ МИФИ, Ольчак Андрей Станиславович
Проводники и диэлектрики Диэлектрик – вещество, где нет свободных электрических зарядов, способных перемещаться под действием приложенного электрического поля (= проводить электрический ток). Проводник – вещество, где способные перемещаться заряды есть и электрический ток (упорядоченное направленное движение электрических зарядов) существовать может.
Полярные (в частности - вода) – молекулы о бладают дипольным электрическим моментом, ориентируются против приложенного внешнего поля.. + - + - Неполярные (инертные газы, органика, пластик и др.) – могут приобретать дипольный момент в эл. поле (поляризуемость ). + - Диэлектрики Заряды, создающие внешнее поле, называются сторонними. Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика, называются связанными.
(а) электронная и ионная поляризация в ионных кристаллах, Празные формы поляризации диэлектриков (б) Электронная поляризация в ковалентных кристаллах ( в ) Ориентационная поляризация в полярных диэлектриках c ) а) b )
Поляризация диэлектриков Эффект поляризации – см. «Физика в опытах»!
Поляризация диэлектриков Вектор поляризованности – дипольный момент единицы объема поляризованного вещества Σ P i =0 Σ P i =0 / Δ V Опыт показывает, что в изотропном диэлектрике P = ε 0 ξ E ξ ( >0 ) – диэлектрическая восприимчивость. Диэлектрик называется однородным, если во всех его точках диэлектрическая восприимчивость одинакова : ξ = Const
Характеристики диэлектриков Вектор поляризованности – дипольный момент единицы объема поляризованного вещества В изотропном диэлектрике P = ε 0 ξ E ξ – диэлектрическая восприимчивость В однородном диэлектрике ξ = Const >0 ; ε = Const >1 ε = 1 + ξ (>1) – относительная диэлектрическая проницаемость (безразмерный фактор, показывающий, во сколько раз снижается поле в поляризованном диэлектрике; ε = Е 0 / Е ; ξ = ε - 1 ε эл = (1 + ξ ) ε 0 – диэлектрическая проницаемость (размерная, Ф/м)
Теорема Гаусса для поляризованности | Σ p | = h σ dS = PdV = + - + - + - + - + - + - + - + - + - + - + σ - σ h n -n P dS σ = PhdScos θ = ( P,n )hdS Плотность приповерхностного заряда σ = ( P,n ) Сонаправленные дипольные моменты суммируются Цепочки последовательно выстроенных. диполей имеют Момент, равный заряду, умноженному на длину цепочки.
Теорема Гаусса для поляризованности σ = ( P,n ) n ds P S, V Q S = ∫ σ ds = ∫ ( P,n )ds = ∫ ( P,dS ) v v Полный связанный приповерхностный заряд равен потоку вектора поляризованности через поверхность. Q V = ∫ ρ ’dV – полный объемный связанный заряд внутри поверхности. Q V + Q S = 0 - условие электронейтральности вещества Если диэлектрик поляризован неоднородно, Q V = - Q S = 0 / - ∫ ρ ’dV = ∫ ( P,dS ) = ∫div P dV => div P = - ρ ’ v В однородно поляризованном диэлектрике P = Const, ρ ’ = 0 .
Электрическая индукция (смещение) В изотропном диэлектрике.
Теорема Гаусса для вектора электрического смещения в интегральной форме Доказательство По аналогии: Электрическая индукция (смещение)
Спасибо за внимание! Курс общей физики НИЯУ МИФИ Следующая лекция 29 сентября
