Семестр 1
Принцип относительности в механике 1. Принцип относительности Галилея. Переход из одной инерциальной системы отсчета в другую. Преобразования Галилея. Инвариантность уравнения движения. 2. Неприменимость принципа относительности Галилея к описанию динамики электромагнитного поля. Опыты А. Майкельсона и Э. Морли по измерению скорости света. 3. Основные положения специальной теории относительно-сти. Преобразования Лоренца. Сокращение длины и замедление времени. Принцип относительности Галилея. Общефизический принцип относительности. 4. Импульс и энергия частицы в релятивистской механике. Формула Эйнштейна.Энергия покоя. Принцип соответствия. 5. Неинерциальные системы отсчёта. Силы инерции. 6. Релятивистская теория тяготения (общая теория относит.)
Динамика системы материальных точек 1.Система материальных точек. Центр масс (инерции). Аддитивность массы в нерелятивистской механике. 2. Полный импульс системы материальных точек. 3. Закон сохранения импульса. Внутренние и внешние силы. 4. Теорема о движении центра масс. Система центра масс. 5. Реактивное движение. Уравнение Мещерского. Формулы Циолковского.
Рассмотрим две инерциальные системы отсчета k и k '. Система k ' движется относительно k со скоростью ( << c) вдоль оси x. Точка М движется в двух системах отсчета:
Галилео Галилей (Galileo Galilei) Родился 15 февраля 1564 Пиза (Pisa) Италия Умер 8 января 1642 Арчетри ( Arcetri ) Италия астроном, философ и физик. важнейшие работы улучшение телескопа разнообразие астрономических наблюдений, первый закон движения 5
Запишем движение точки М в этих двух системах, задав это движение радиус-векторами и соответственно в системе k и k’ : - радиус-вектор, определяющий положение точки системы в системе отсчёта k. К моменту времени t (t=t’) : Спроецировав на координатные оси, запишем в скалярной форме: - преобразо - вания Галилея
Продифференцируем это выражение по времени, получим: закон сложения скоростей в классичес - кой механике ( нерелятивистской механике): или Скорость движения точки М (сигнала) в системе k ʹ и в системе k различны.
Ускорение в системе отсчета k Инвариантность ускорения (одинаковость во всех инерциальных системах отсчёта- ИСО) Изучение медленных ( ) механических движений показало, что =,. Таким образом, масса и сила также являются инвариантами при переходе из одной ИСО в другую.
Уравнения движения частицы имеют одинаковый вид во всех ИСО: и Обобщение полученных выше результатов фор-мулируется в виде принципа относительности Галилея (Г. Галилей, 1636 г.): законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта, поэтому никакими механическими опытами внутри ИСО, изолированных от внешних воздействий, невозможно обнаружить её движение с постоянной скоростью. К этому принципу Г. Галилей пришёл на основе опыта и мысленных экспериментов. Принцип относитель-ности Галилея утверждает равноправие всех ИСО
В 1881 – 1887 гг. Альберт Майкельсон и Эдуард Морли экспериментально исследовали влияние движения Земли на скорость распространения света, испущенного земным источником. Эти опыты показали независимость скорости света от скорости движения источника, что противоречит правилу сложения скоростей в классической механике.
Первый постулат теории относительности. Все законы природы одинаковы в инерциальных системах отсчета. Второй постулат теории относительности. Скорость света c=3· м/с в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и является макси- мальной для любого физического взаимодействия (сигнала). . Альберт Эйнштейн 1879-1955
Для систем отсчёта и преобразования Лоренца имеют вид ( V ~ c ) релятивистский случай: Лоренц
Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси xʹ и покоящийся относительно системы Kʹ. Длина его в этой системе равна Для определения длины стержня в системе K нужно отметить координаты концов стержня в один и тот же момент времени t.
Пусть в одной и той же точке xʹ 1 = xʹ 2 = xʹ системы Kʹ происходят два события в моменты времени tʹ 1 и tʹ 2. Этим событиям соответствуют в системе K моменты времени t 1 и t 2 :
Принцип относительности в трактовке Эйнштейна: “ Законы природы, по которым изменяются состояния физических систем, не зависят от того, к какой из инерциальных систем отсчёта относятся эти изменения ”. В релятивистской механике импульс частицы: где для сохранения классической формулы вводят понятие релятивистской массы : - масса покоя (при V = 0 )
Релятивистская энергия частицы в отсутствие действия внешних физических полей: Связь между импульсом и энергией : - формула Эйнштейна - энергия покоя частицы ( V = 0 ) Кинетическая энергия частицы K определяется выражением: В области малых скоростей, где и, кинетическая энергия:
В специальной теории относительности уравнение движения имеет тот же вид, что и в механике Ньютона: но:
Суть этого принципа в том, что любая новая теория, претендующая на более глубокое описание физической действительности и на более широкую область применимости, чем старая теория, должна включать в себя эту старую теорию как предельный случай. В полном согласии с принципом соответствия преобразования Лоренца переходят в преобразо - вания Галилея, а релятивистский закон динамики переходит в классический закон Ньютона.
Для описания механического движения можно также использовать неинерциальные системы отсчета (НСО), построенные на телах, которые движутся ускоренно. Нерелятивистский второй закон Ньютона в НСО имеет вид: где - относительное ускорение частицы, измеряемое в НСО, - обычная сила взаимодействия данной частицы с другими частицами или внешними физическими полями и - сила инерции. Силы инерции обусловлены не взаимодействием тел, а свойствами самих неинерциальных систем отсчета.
Силы инерции неинвариантны относительно перехода из одной системы отсчета в другую. Они не подчиняются закону действия и противодействия. Движения тела под действием сил инерции аналогично движению во внешнем силовом поле. Силы инерции всегда являются внешними по отношению к любому движению системы материальных тел. Допустим, что НСО движется поступательно с ускорением относительно некоторой ИСО. В этом случае сила инерции (поступательная сила инерции) в уравнении принимает вид:
Ускорение, с которым движется НСО, обычно называется переносным ускорением и обозначается как. Ускорение частицы, измеряемое в ИСО, называется абсолютным ускорением и обозначается как. Все три перечисленные выше ускорения связаны простым соотношением: Уравнение относительного движения частицы:
Если НСО и рассматриваемая частица вращаются с одинаковой постоянной угловой скоростью ω вокруг оси Z неподвижной ИСО, то на частицу действует центробежная сила инерции - радиус-вектор час- тицы в НСО, лежащий в плоскости, перпендикуляр- ной оси вращения.
где φ – широта местности Сила тяжести есть результат сложения и g (а значит и mg ) завис я т от широты местности g = 9,80665 м/с 2 – ускорение свободного падения тела. Направлено g к центру только на полюсе и на экваторе.
При движении тела относительно вращающейся системы отсчета, кроме центростремительной и центробежной сил, появляется еще одна сила, называемая силой Кориолиса или кориолисовой силой инерции (Г. Кориолис (1792 – 1843) – французский физик).
Это приводит к тому, что у рек подмывается всегда правый берег в севером полушарии и левый – в южном. Эти же причины объясняют неодинаковый износ рельсов железнодорожных путей. Сила Кориолиса, действует на тело, движущееся вдоль меридиана в северном полушарии вправо и в южном – влево.
Силы Кориолиса проявляются и при качаниях маят-ника ( маятник Фуко ). П лоскость качаний маятника вследствие вращения Земли поворачивается, и проекция траектории маятника на поверхность Земли имеет вид розетки. Для простоты предположим, что маятник расположен на полюсе.
Колебания маятника Фуко зависит от того, как они были возбуждены. Если маятник отклонить на максимальный угол, а затем отпустить его без начальной скорости, то маятник будет колебаться, как изображено на верхней анимации. Скорость движения маятника в положении максимального отклонения будет равна нулю Несколько иной характер траектории получится, если маятник приводится в движение коротким толчком из положения равновесия. Этому случаю соответствует нижняя анимация. Скорость маятника в положении максимального отклонения соответствует скорости вращения Земли на широте наблюдения.
С учетом всех сил инерции, уравнение Ньютона для неинерциальной системы отсчета примет вид: – сила инерции, обусловленная поступательным движением неинерциальной системы отсчета; – две силы инерции, обусловленные вращательным движением системы отсчета;
Релятивистская теория тяготения (общая теория относительности) Теория тяготения Ньютона неприменима для описания движения частиц вблизи массивных тел (в частности, для описания траектории движения света в поле тяготения). Неприменима теория тяготения Ньютона и для описания переменных полей тяготения, создаваемых движущимися телами. Обобщение теории тяготения на основе специальной теории относительности было сделано А. Эйнштейном в 1908 – 1916 гг. Эта теория была названа им общей теорией относительности (ОТО). Потенциальная энергия тела массы m в поле тяготения равна: где φ – потенциал поля тяготения.
. Если величина U мала по сравнению с энергией тела т.е. если и тело движется со скоростью, много меньшей скорости света то мы имеем дело с классическим гравитационным полем для которого справедлив закон всемирного тяготения Ньютона. В полях тяготения обычных небесных тел это условие выполняется: на поверхности Солнца на поверхности белых карликов,
Теория тяготения Ньютона предполагает мгновенное распространение полей тяготения, что не согласуется с принципами специальной теории относительности, основанной на том экспериментальном факте, что любое взаимодействие распространяется со скоростью, меньшей или равной скорости света. Поэтому теорию тяготения Ньютона нельзя применять к сильным полям тяготения, разгоняющим частицы до скорости, близкой к скорости света:
В ОТО описываются сильные гравитационные поля и движение в них с большими скоростями В ОТО учитывается воздействие материи на свойства пространства и времени (искривление пространства массив- ным телом ), а эти из- мененные свойства пространства –времени влияют на сам характер физических процессов.
Важнейшей особенностью полей тяготения является то, что тяготение совершенно одинаково действует на разные тела, сообщая им одинаковые ускорения, независимо от свойств тел. Между силами инерции, пропорциональными инертной массе тела, и силой всемирного тяготения, пропорциональной гравитационной массе, есть глубокое сходство, основанное на равенстве этих масс для любого тела с относительной погрешностью 10 -12.
Тождественность инерциальной и гравитационной масс, является следствием эквивалентности сил инерции и сил тяготения. Этот факт называется принципом эквивалентности Эйнштейна. Согласно этому принципу, все физические процессы в истинном поле тяготения и в ускоренной системе отсчета, в отсутствии тяготения, протекают одинаковым образом. Это фундаментальный закон природы. В отношении механического движения в достаточно малой области, где, переход в НСО, движущуюся с постоянным ускорением, позволяет компенсировать силу всемирного тяготения.
Принцип эквивалентности был использован А. Эйнштейном при создании релятивистской теории гравитации (общей теории относительности) в 1915 – 1916 гг., в основу которой были положены два постулата: 1) все физические процессы в поле тяготения и в НСО в достаточно малой пространственно-временной области, где, протекают по одинаковым законам ( принцип эквивалентности сил инерции и сил гравитации); 2) максимальная скорость распространения любых физических взаимодействий, включая гравитационные, равна скорости света в вакууме.
Ярчайшим доказательством равенства сил инерции и гравитации является состояние невесомости космонавтов в космическом корабле (падают под действием гравитационных сил и отлетают под действием центробежных сил инерции). Принцип эквивалентности – основополагающий в ОТО Эйнштейна.
СТО оперирует плоским пространством-временем, а ОТО – искривленным. Любая масса, искривляет пространство-время, другая масса, попадая в область искривления, испытывает силу притяжения. Замедление времени в гравитационных полях. Общая теория относительности предсказывает замедление хода часов в гравитационных полях. С точки зрения неподвижного наблюдателя промежутки времени dt в неподвижной и dt 0 в подвижной системах отсчета связаны соотношением: ( dt > dt 0 )
Уже есть достаточно веские доказательства существования чёрных дыр. Основная трудность состоит в том, что они поглощают все и почти ничего не излучают. Поэтому об их существовании можно судить по косвенным данным: поглощению вещества и испусканию в этом процессе излучения. Пространство внутри чёрных дыр сворачивается, время практически останавливается. М ожно оценить размеры r g и массу М космического объекта, способного стать черной дырой. Если то свет не сможет покинуть данный космический объект.
А Черная дыра (схема) Джет Диск аккреции и з л у ч е н и е
ОТО предполагает наличие во Вселенной черных дыр - космических объектов, поглощающих все частицы, в том числе фотоны, подходящие к их поверхности. Они образуются в результате взрыва гигантских звезд массой более 3 масс Солнца. Вблизи черной дыры газ сильно разогревается и становится источником высокоэнер - гичного элек - тромагнитного излучения в рентгеновском и гамма - диапазоне.
Согласно современным экспериментальным данным лишь 5% всей массы Вселенной составляет известное нам вещество. При этом примерно для 30% массы Вселенной справедлив закон гравитационного притяжения, а для ~70% (так называемой “ темной энергии ” ) наблюдается гравитационное отталкивание. Благодаря гравитационному отталкиванию материи в виде “ темной энергии ” наша Вселенная расширяется ускоренно. Роль антигра - витации в динамике Вселенной со временем будет только возрастать, поэтому именно неизвестная нам “ темная энергия ” определяет будущее Вселенной.
Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек с заданными массами, где - номер частицы. Состояние системы материальных точек задаётся путём определения состояния всех материальных точек, входящих в данную систему: Центром масс (или центром инерции ) системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы. Ее радиус-вектор равен:
Воображаемую точку С с радиус-вектором X Y Z С O r c где i - номер точки, n - количество точек, m i - масса i -ой точки и m - масса всей системы точек называют центром масс системы материальных точек
- радиус-вектор центра масс
Полная масса системы материальных точек: в области малых скоростей находится путём сложения масс всех частиц систем (здесь используется аддитивность массы в нерелятивистской механики). В релятивист-ской механике масса системы частиц зависит от энергии взаимодействия между частицами, поэтому последняя формула не справедлива.
Взяв производную по времени, получим скорость центра масс: где - скорость i -ой материальной точки системы
В нерелятивистской механике полный импульс системы материальных точек равен сумме импульсов всех частиц системы: где - импульс i –ой частицы. Так как, где - скорость ц.м. то импульс системы частиц можно определить по формуле:
- импульс центра масс Импульс системы материальных точек (импульс центра масс) равен произведению массы системы на скорость ее центра масс. Таким образом связь импульса p c со скоростью υ c такая же, как для материальной точки с массой m (масса системы).
Тела, не входящие в состав рассматриваемой системы, называют внешними телами, а силы, действующие на систему со стороны этих тел – внешними силами. Силы взаимодействия между телами внутри системы, называют внутренними силами. Результирующая всех внутренних сил действующих на i - ое тело: где – т.к. i - ая точка не может действовать сама на себя.
Обозначим – результирующая всех внешних сил приложенных к i -ой точке системы. По второму закону Ньютона можно записать систему уравнений: ...............................,
Сложим эти уравнения и сгруппируем попарно силы и По третьему закону Ньютона, поэтому все выражения в скобках в правой части уравнения равны нулю. Тогда получаем: Назовем – главным вектором всех внешних сил, тогда :
Скорость изменения импульса системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на эту систему. Это уравнение называют основным уравнением динамики поступательного движения системы тел. Так как импульс системы то: Тогда можно записать основное уравнение динамики поступательного движения системы тел в виде: где – ускорение центра масс.
Центр механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы, и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил, приложенных к системе: На основании третьего закона Ньютона, силы, действующие на тела системы со стороны других тел системы ( внутренние силы), взаимно компенсируют друг друга. Остаются только внешние силы. В общем случае движение тела можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного со скоростью и вращательного вокруг центра масс.
Рассмотрим подробнее силы, действующие на частицы механической системы Силы, действующие на каждую точку системы, разобьем на два типа – внутренние силы - результирующая всех внешних сил В общем виде это можно записать так: m 1 m i m 2 m 3 F 12 F 13 F 1 i ( F 1 ) вш По 3 закону Ньютона: И теорема о движении центра масс принимает вид: Если система находится во внешнем стационарном и од-нородном поле, то никакими действиями внутри систе-мы невозможно изменить движение центра масс системы
Механическая система называется замкнутой (или изолированной), если на неё не действуют внешние силы, т.е. она не взаимодействует с внешними телами или. Строго говоря, каждая реальная система тел всегда не замкнута, т.к. подвержена, как минимум воздействию гравитационных сил. Однако если внутренние силы гораздо больше внешних, то такую систему можно считать замкнутой (например – Солнечная система). Для замкнутой системы равнодействующий вектор внешних сил тождественно равен нулю:
отсюда Это есть закон сохранения импульса : импульс замкнутой системы не изменяется во времени. Импульс системы тел может быть представлен в виде произведения суммарной массы тел на скорость центра инерции: тогда При любых процессах, происходящих в замкнутых (изолированных) системах, скорость центра масс сохраняется неизменной. Закон сохранения импульса является одним из основных законов природы. Он был получен как следствие законов Ньютона, но он справедлив и для микрочастиц и для релятивистских скоростей, когда.
Система отсчёта, движущаяся со скоростью центра масс, называется системой центра масс. В этой системе отсчёта полный импульс системы частиц равен нулю и наблюдается только относительное движение частиц, поэтому она удобна для анализа столкновения частиц.
Абсолютно упругий центральный удар шаров. Нецентральное упругое соударение шаров одинаковой массы, d – прицельное расстояние.
Нецентральное соударение шаров разных масс: 1 – импульсы до соударения; 2 – импульсы после соударения; 3 – диаграмма импульсов и закон сохранения импульса.
Отскок мяча от шероховатой стенки и диаграмма импульсов. Баллистический маятник (неупругий удар).
При стрельбе из орудия возникает отдача – снаряд движется вперед, а орудие – откатывается назад. Снаряд и орудие – два взаимодействующих тела. Скорость, которую приобретает орудие при отдаче, зависит только от скорости снаряда и отношения масс.
( движение тел с переменной массой) Движение тела, возникающее вследствие отделения от него части его массы с некоторой скоростью, называют реактивным. Масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива. Получим уравнение движения тела переменной массы на примере дви - жения ракеты.
Если в момент времени масса ракеты, а ее скорость, то по истечении времени ее масса уменьшится на и станет равной, а скорость станет равной
где - скорость истечения газов относительно ракеты. Запишем изменение импульса за отрезок времени Тогда (при этом пренебрегли слагаемым) Если на систему действуют внешние силы, то , тогда или
Второе слагаемое в правой части называют реактивной силой: Получено уравнение движения тела с переменной массы ( уравнение Мещерского ): где реактивная сила Если противоположен по направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с, то тормозится.
ИВАН ВСЕВОЛОДОВИЧ МЕЩЕРСКИЙ (1859—1935) И. В. Мещерский является основоположником механики тел переменной массы.
Применим уравнение к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая и считая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно) и в начальный момент скорость ракеты равна нулю, а масса равна, получим: В проекции на ось Х :
Значение постоянной интегрирования определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса, то , следовательно, - формула Циолковского Чем больше конечная масса ракеты, тем больше должна быть стартовая масса ракеты. Чем больше скорость истечения газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.
К.Э.Циолковский разработал принципы реактивного движения, Константин Эдуардович Циолковский (1857-1835) ученый и изобретатель, основоположник современной космонавтики и ракетной техники.
Реактивный самолёт-амфибия
ЛЕКЦИЯ ЗАКОНЧЕНА!
