Лекции по линейной алгебре для студентов 1 курса ИЭФ 1-ый семестр
Определители n- го порядка Определитель 2-го порядка Пример: Определитель 3-го порядка
Пример: Минор ( n-1)- го порядка M ij Алгебраическое дополнение элемента a ij
Свойства определителей: Транспонирование
Пример:
2. Матрицы и действия над ними 2.1. Виды матриц Квадратная матрица
Верхняя (нижняя) треугольная матрица: Диагональная матрица: Единичная матрица: Нулевая маерица:
2.2. Сложение матриц и умножение на число Пример: Пример:
2. 3. Свойства линейных операций 2.4. Линейная комбинация Если -- числа, и -- матрицы одного порядка, то определена
2. 5. Умножение матриц Свойства операции умножения:
Пример: 2.6. Обратная матрица Т.
Определение: A -- квадратная и невырожденная Присоединенная матрица
Основное свойство присоединенной матрицы
Примеры:
2.7. Матричные уравнения
Пример:
2.8. Ранг матрицы Определение минора. Определение ранга. Базисный минор. Базисные столбцы и строки. Теорема о базисном миноре.
Элементарные преобразования Транспонирование Изменение порядка строк Умножение строки на число отличное от нуля Вычеркивание нулевой строки Вычеркивание одной из двух пропорциональных строк Прибавление к какой-либо строке линейной комбинации остальных строк Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
Пример:
Система линейных уравнений 3.1. Матричная запись
3.2. Теорема Крамера Пусть m = n.
Пример:
3.3. Общая теория линейных систем Опр. решения, совместности Пусть m -- число уравнений, n -- число неизвестных r -- ранг системы
Т. Кронекера-Калелли Система совместна 1. Система совместна. 2.
3.4. Метод Гаусса Пусть
Прямой ход Обратный ход Пример:
Пример
Векторная алгебра 4.1. Основные определения Коллинеарность, ортогональность, нулевой вектор, равенство векторов A B a AB c d e e↑↑d e ↑↓c • f o o ||f o f
4.2. Линейные операции над векторами Сложение a b c= a+b Умножение на число a λ a, λ >0 μ a, μ <0
a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) λ (a+b)= λ a+ λ b 0a=O λ O=O a-b=a+(-b) a b a+b a-b
4.3. Теоремы разложения 1. Всякий вектор на плоскости можно разложить и притом единственным образом по двум неколлинеарным векторам. p q a
Определение компланарности. 2. Всякий вектор в пространстве можно разложить и притом единственным образом по трем некомпланарным векторам a p q r
4. 4. Проекция вектора на ось Определение оси, угол между вектором и осью, компонента вектора по оси, проекция вектора на ось • O 1 l A B A 1 B 1 φ A 1 B 1 -- компонента вектора AB по оси l |A 1 B 1 |= Пр l AB -- проекция вектора на ось l
Теоремы о проекциях a b a+b a λ a
A B y y 2 y 1 0 x 1 x 2 x 0 x y z M(x,y,z) Ось, система координат на плоскости и в пространстве. 4.5. Векторы в системе координат
i j k M(x,y,z) O |i|=|j|=|k|=1 P Q R
4.5.1. Сложение
4.5.2. Умножение на число 4.5.3. Линейная комбинация
4.6. Скалярное произведение Свойства:
Пример.
2. В тр-ке ABC найти вектор BK идущий по высоте и угол A
4.7, Векторное произведение c a b φ
Свойства векторного произведения:
Используем i j k i 0 -k j j k 0 -i k -j i 0
Пример: Найти пл. тр-ка с вершинами
4.8. Смешанное произведение трех векторов Свойства:
Пример: Даны вершины тетраэдра. Найти объем B A D C
Аналитическая геометрия 5.1. Основные задачи аналитической геометрии 5.1.1. Расстояние между двумя точками 5.1.2. Деление отрезка в заданном отношении • • •
Пример: Найти точку пересечения медиан в тр-ке A B C K • M
5.1.3. Площадь треугольника (на плоскости) A B C
5.2. Прямая на плоскости 5.2.1. Уравнение линии. Линия n- го порядка. Т. Прямая задается уравнением 1-го порядка. И всякая линия первого порядка – прямая. • • N(A,B) M 0 (x 0,y 0 ) M(x,y)
5.2.2. Каноническое уравнение прямой • p(m,n) M 0 (x 0,y 0 ) M(x,y)
5.2. 3. Уравнение прямой, проходящей через две точки • M 1 (x 1,y 1 ) M(x,y) M 2 (x 2,y 2 )
5.2.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение пучка прямых Если прямая не пар-на оси 0x, то φ y 0 b x
y 0 x • M 0 (x 0,y 0 ) x 0
Пример. Написать уравнения стороны AC медианы BM высоты BK и биссектрисы BD в тр-ке ABC
5. 2.5. Угол между прямыми l 1 l 2 N 1 N 2 l 1 l 2 p 1 p 2
φ 2 φ 2 φ
Пример: Написать ур-ния прямых пар-ной и перп-ной l и проходящих через т. М(3,-1) 5.2.6. Точка пересечения прямых
Пример:
5.3. Плоскость в пространстве 5.3.1. Уравнение поверхности. Поверхность n -го порядка. Т. Плоскость задается уравнением 1-го порядка. Всякое уравнение 1-го порядка -- уравнение плоскости • N(A,B,C) M 0 (x 0,y 0,z 0 ) M(x.y,z)
Пример. Написать ур-ние плоскости, проход. через данную точку параллельно векторам
5.3.2. Угол между плоскостями
Условие параллельности Условие перпендикулярности 5.3.3. Точка пересечения трех плоскостей
5.4. Прямая в пространстве 5.4.1. Общие уравнения прямой 5.4.2. Канонические уравнения прямой
5.4. 3. Угол между прямыми Условие параллельности Пример. Через т. М провести прямую парал. прямой Условие перпендикулярности
5.4.4. Скрещивающиеся прямые
Пример. Найти точку пересечения прямых
5.5. Прямая и плоскость 5.5.1. Проекция прямой на плоскость -- геом. место осн. пер-ров π l φ p N
5.5.2. Угол между прямой и плоскостью 5.5.3. Точка пересечения прямой и плоскости
Пример: Найти точки, симметричный т. M(4,7,-5) относительно прямой l и плоскости π • • l M M’ K •
M • L • M’’ • π
