Предикат можно рассматривать как расширение понятия высказывания. Определение: Предложение с переменной, которое превращается в высказывание при замене переменной некоторым значением из множества Х, называется одноместным предикатом. Р(х) – одноместный предикат.
Определение: Множество Х, из которого выбираются значения переменной, называется областью определения предиката. Определение: Множество Т, элементы которого превращают предикат в истинное высказывание, называется множеством истинности предиката.
Пример 1: Вместо трех высказываний «Маша любит кашу», «Даша любит кашу», «Саша любит кашу» можно написать один предикат «Икс любит кашу» и договориться, что вместо неизвестного «Икс» могут быть либо Маша, либо Даша, либо Саша. Подстановка вместо Икс имени конкретного ребенка превращает предикат в обычное высказывание. Р(х ) – «Икс любит кашу» – одноместный предикат ; Х = Маша, Даша, Саша – область определения одноместного предиката.
Пример 2: Р(х ): – одноместный предикат. X = R – область определения одноместного предиката. – множество истинности одноместного предиката, так как х = – 2 является корнем данного уравнения.
Количество переменных, на которых задаётся предикат, может быть любым. Существуют одноместные, двухместные, трехместные и другие предикаты. Определение: Предложение с n переменными, которое превращается в высказывание при замене переменных некоторыми значениями из множества Х, называется n - местным предикатом. Р(х 1, х 2, …, х n ) – n -местный предикат.
Пример 1: Рассмотрим три высказывания: А: «Рубль – валюта России»; В: «Доллар – валюта России»; С: «Доллар – валюта США ». Высказывания А и С истинны, а В – ложно. Если вместо конкретных наименований валюты в выражениях А и В подставить переменную х и определить ее на множестве наименований денежных единиц х рубль, доллар, фунт стерлингов, …, марка , то получим одноместный предикат: Р(х): « х – валюта России»; Х = рубль, доллар, фунт стерлингов, …, марка ; Т = рубль .
Пример 1: Если в выражениях А, В, С вместо конкретных наименований валюты и государства подставить соответственно переменные х и у, где у Россия, США, Англия, …, Германия , то получим двухместный предикат: Р(х, у) – « х – валюта у». Х = рубль, доллар, фунт стерлингов, …, марка ; У = Россия, США, Англия, …, Германия . Т = (рубль, Россия), (доллар, США), (фунт стерлингов, Англия), …, (марка, Германия) .
Пример 2: Р(х, у): – двухместный предикат. Пример 3: Р(х, у, z ): – трехместный предикат.
Различают элементарные и составные предикаты. Определение: Если из предиката нельзя выделить другие предикаты, то такой предикат называется элементарным, в противном случае он называется составным. Пример: Р(х): «Город Х находится на территории России и в нем более 1000000 жителей» – составной предикат; А(х): «Город Х находится на территории России»; В(х): «В городе Х более 1000000 жителей». Оба предиката А(х) и В(х) имеют одну и ту же область определения – множество городов России, а области истинности у них различны.
Задание 1.
Задание 2.
С помощью логических связок (и скобок) предикаты могут объединяться в разнообразные логические формулы – предикатные формулы. Исследование предикатных формул и способов установления их истинности является основным предметом логики предикатов. Логика предикатов вместе с входящей в нее логикой высказываний является основой логического языка математики. С ее помощью удается формализовать и точно исследовать основные методы построения математических теорий. Логика предикатов является важным средством построения развитых логических языков и формальных систем (формальных теорий ).
Операции над предикатами. Конъюнкция Из двух предикатов, заданных на одном и том же множестве Х, можно образовать конъюнкцию Это предложение будет обращаться в истинное высказывание при тех и только тех значениях х Х, при которых обращается в истинное высказывание каждый из предикатов.
Операции над предикатами. Дизъюнкция Из двух предикатов, заданных на одном и том же множестве Х, можно образовать дизъюнкцию Это предложение будет обращаться в истинное высказывание при тех и только тех значениях х Х, при которых обращается в истинное высказывание хотя бы один из предикатов.
Операции над предикатами. Отрицание Отрицанием предиката А(х) называется новый предикат, который принимает значение «истина» при всех значениях х Х, при которых предикат А(х) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь » при тех значениях х Х, при которых предикат А(х) принимает значение «истина».
Множеством истинности предиката является разность множеств Х и T A, где T A – множество истинности предиката А(х ). (дополнение)
Операции над предикатами. Импликация Импликацией предикатов называется новый предикат А(х) В(х ), который является ложным при тех значениях переменной х, при которых предикат А(х ) принимает значение «истина», а предикат В(х ) – значение «ложь», и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.
Множество истинности импликации определяется из следующих рассуждений: Следовательно
Операции над предикатами. Эквиваленция Эквиваленцией предикатов А(х ) и В(х) называется предикат, который имеет значение «истина» при тех значениях переменной x, при которых значения истинности А(х) и В(х) совпадают. Множество истинности: )
Задание 3: На множестве М = {1, 2, 3, …,20} заданы предикаты: A ( x ): « x не делится на 4»; B ( x ): « x – нечетное число»; C ( x ): « x – число простое»; D ( x ): « x кратно 5». Определить предикаты A ( x ) & D ( x ); С ( x ); ( x ); D ( x ) и найти их множества истинности.
Задание 4:
Рассматривая понятие предиката, был указан один из способов получения высказывания. Для этого достаточно в предикат подставить какое-нибудь значение переменной. Существуют и другие способы получения высказываний из предикатов.
Рассмотрим предикат Р(х): «Число х кратно 4». При х = 8 получим высказывание Р(8): «Число 8 кратно 4» – истинное высказывание. О предикате нельзя сказать, истинный он или ложный. Поставим перед предикатом слово «любое», получим предложение «Любое число х кратно 4». Относительно этого предложения уже можно сказать, истинно оно или ложно. Таким образом, «Любое число х кратно 4» – это уже высказывание и оно ложно. Поставим перед Р(х) слово «некоторые». Опять получим высказывание «Некоторые числа х кратны 4». Это высказывание истинно. В математике слова «все», «некоторые» и их синонимы называют кванторами.
Символ - называют квантором всеобщности (общности), а присоединение этого символа к предикату P ( x ) – «навешивание квантора всеобщности ». Квантор общности выражается с помощью слов «каждый», «всякий», «любой ». х Р(х ) – для всех (любого) х истинно Р(х).
Символ - называют квантором существования, а присоединение этого символа к предикату P ( x ) – «навешивание квантора c уществования ». Квантор существования выражается словами «некоторые», «найдётся», «существует» и др. х Р(х ) – существует х, такой что истинно Р(х).
Пример: «Х любит кашу» – предикат. «Все любят кашу» – ложное высказывание. «Некоторые любят кашу» – истинное высказывание. Замечание: Квантор общности произошел от английского слова All и обозначается буквой A, перевернутой вверх ногами. Квантор существования произошел от английского Exist и обозначается буквой E, которую вверх ногами переворачивать бесполезно, поэтому ее повернули кругом.
Определение: Переменная, на которую навешен квантор, называется связанной переменной, несвязанная квантором переменная называется свободной. Определение: Выражение, на которое навешивается квантор х или х, называется областью действия квантора.
Пример 1: X – это множество людей; P ( x ) : «Рост человека x меньше 180см ». Рассмотрим все варианты навешивания кванторов, определим их истинность : ( " x ) P ( x ) – «У всех людей рост меньше 180 см» - Л ( $ x ) P ( x ) – «У некоторых людей рост меньше 180 см» - И
Пример 2 : Q ( x ): «2 x +3=9», x R ; ( " x ) Q ( x ) – «Любое действительное число является корнем уравнения 2 x +3=9» - Л ( $ x ) Q ( x ) –«Существует действительное число, которое является корнем уравнения 2 x +3=9» - И
Пример 3: Запишите высказывание для символичной записи ( х)( y ): ( x 2 + y 2 > 25). Определите истинность высказывания, считая, что все переменные принадлежат множеству действительных чисел. Данную запись можно представить высказыванием: «существует х и существует y, такие что x 2 + y 2 > 25». Высказывание является истинным, т.к. можно найти пару чисел х и y, для которых будет выполняться выражение x 2 + y 2 > 25 ( например, х = 3 и y = 5 ).
Пример 4: Запишите высказывание «На каждой улице будет праздник» в символичной форме, введя предикаты. х – множество всех улиц y – множество всех праздников Введем предикат P ( x, y ): « x имеет свой y ». Данное высказывание в символичной форме запишется в виде: ( x )( y ) P ( x, y )
К предикату от двух переменных P ( x, y ) кванторные операции можно применить к одной переменной или к двум переменным. Получаем следующие высказывания: При этом два квантора одного наименования можно менять местами, истинность высказывания при этом не изменится. При навешивании разноименных кванторов нельзя менять местами их порядок, т.к. может измениться истинность высказывания.
Пример 5: Пусть предикат Р(х, у) описывает отношение «х является матерью у» на множестве людей. Тогда: y x P ( x, y ) – «у каждого человека есть мать» ; x y P ( x, y ) – «существует мать для всех людей».
Задание 5:
Задание 6:
Задание 7: Рассмотрите все варианты навешивания кванторов на предикат P( x,y ) и опишите в словесной форме полученные высказывания. P( x,y ) определен на множестве людей: а) «x является родителем y» ; б) «x является сыном y».
