р(x) = a n x n + a n-1 x n-1 +…+ a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a o - стандартный вид многочлена р(х) a n x n – старший член многочлена р(х) a n – коэффициент при старшем члене Если a n = 1, то многочлен р(х) называется приведенным Если a n ≠ 1, то многочлен р(х) называется неприведенным a о – свободный член многочлена р(х) n – степень многочлена
р(x) = s(x) ⋅ q(x) Говорят, что многочлен р(х) делится на многочлен s(x), если существует такой многочлен q(x), что выполняется тождество p(x) – делимое (или кратное) s(x) – делитель q(x) – частное
частное делитель Деление многочленов х 2 + 5 х 3 + 5х − − 3х 2 − 15 х − 3х 2 − 15 0 т. к. х 3 − 3х 2 + 5х − 15 = (х 2 + 5)(х − 3), то многочлен х 3 − 3х 2 + 5х − 15 делится на многочлены х 2 + 5 и х − 3. Пример 1 − 3 − делимое х 3 − 3х 2 + 5х − 15
р(x) = s(x) q(x) + r(х) Для любых двух многочленов ненулевой степени р(х) и s(x) существует пара многочленов q(x) и r(x) такая, что степень многочлена r(x) меньше степени многочлена s(x) и выполняется тождество p(x) – делимое (или кратное) s(x) – делитель q(x) – неполное частное r(x) – остаток
остаток частное делитель делимое 2х 2 − х − 3 х − 2 2х 2 − 4х − 3х − 6 2х 3х − 3 3 т. к. 2х 2 − х − 3 = 2х 2 − 4х + 3х − 6 + 3 = = 2х(х − 2) + 3(х − 2) + 3 = (х − 2)(2х + 3) + 3, Пример 2 + 3 Деление многочленов с остатком то 2х 2 − х − 3 = (х − 2)(2х + 3) + 3 −
р(x) = (x − а) q(x) + r Остаток от деления многочлена р(х) ненулевой степени на двучлен x − а равен р(а) (т.е. значению многочлена р(x) при х = а ) p(x) – делимое (или кратное) q(x) – частное r – остаток (число) x − а – делитель
По теореме Безу: р(2) = 2⋅2 2 − 2 − 3 = 3 2х 2 − х − 3 х − 2 2х 2 − 4х − 3х − 6 2х 3х − 3 3 Найдем остаток от деления многочлена р(х) = 2х 2 − х − 3 на двучлен х − 2. Пример 2 + 3 Деление многочленов с остатком − остаток
Если число а является корнем многочлена р(х), то р(х) делится на двучлен x − а. Если при х = а многочлен р(х) обращается в нуль, т.е. выполняется равенство р(а) = 0, то число а называют корнем многочлена. Следствие Определение
Пусть р(x) = bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f. Разделим р(х) на x − а получим р(x) = (х − а )q(x) + r, где q(x) некоторый многочлен третьей степени q(x) = kx 3 + mx 2 + nx + s, коэффициенты которого вычисляются с помощью схемы Горнера : b c d e f a k = b m = ka + c n = ma + d s = na + e r = sa + f k = b m = ka + c n = ma + d s = na + e r = sa + f
Коэффициенты частного: 2, − 3, 3, − 4, 8, а остаток r = − 11. Значит, 2x 5 + x 4 − 3x 3 + 2x 2 + 5 = = (х + 2)(2x 4 − 3x 3 + 3x 2 − 4x + 8) − 11 Разделим р(x) = 2x 5 + x 4 − 3x 3 + 2x 2 + 5 на x + 2. Здесь a = − 2 ; Коэффициенты равны соответственно 2, 1, −3, 2, 0, 5. Строим таблицу для применения схемы Горнера: остаток Пример 3 2 1 −3 2 0 5 − 2 2 2 2⋅( − 2)+1 − 3 − 3⋅( − 2)+( − 3) 3 3⋅( − 2)+2 − 4 − 4⋅( − 2)+0 8 8⋅( − 2)+5 − 11
Разложение квадратного трехчлена на множители 4 Вынесение общего множителя за скобки 1 Способ группировки 2 Использование формул сокращенного умножения 3 Разложение многочлена на множители
Вынесение общего множителя за скобки Применяя распределительный закон умножения относительно сложения: (a + b)c = ac + bc В обратном порядке: ac + bc = c(a + b) Пример 4 8х 4 + 6х 3 − 4х 2 + 2х = 2х (4х 3 + 3х 2 − 2х + 1) 3х 3 + 6х 6 − 27х 4 = 3x 3 (1 + 2х 3 − 9x)
Способ группировки Применяя переместительный или сочетательный законы сложения, можно группировать члены многочлена любым способом: a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) = а + b + c Пример 5 3х 3 + 6х 2 − 27х − 54 = 3(х 3 + 2х 2 − 9х − 18) = = 3(х 2 (х + 2) − 9(х + 2)) = 3(х + 2)(х 2 − 9) = = 3(х + 2)(х − 3)(х + 3)
Использование формул сокращенного умножения (a + b)(а − b) = a 2 − b 2 – разность квадратов (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 – квадрат суммы (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 – квадрат разности (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = а 3 + b 3 – сумма кубов (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = а 3 − b 3 – разность кубов (a − b) 3 = a 3 − 3ab 2 + 3a 2 b − b 3 – куб разности (a + b) 3 = a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3 – куб суммы Пример 6 х 6 − 1 = = (х + 1)(х 2 − х + 1)(х − 1)(х 2 + х + 1) (х 3 ) 2 − 1 2 = (х 3 + 1)(х 3 − 1) =
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители Если х 1 и х 2 – корни квадратного трехчлена aх 2 + bх + с, то aх 2 + bх + с = а (х − х 1 )(х − х 2 ) Пример 7 2х 2 − 3х − 5 = 2 (х + 1)(х − 2,5) = (х + 1)(2х − 5)
Теорема Пусть все коэффициенты многочлена р(х) – целые числа. Если целое число а является корнем многочлена р(х), то а – делитель свободного члена многочлена р(х). Д о к а з а т е л ь с т в о проведем для случая, когда р(х) – многочлен третьей степени: р(х) = bх 3 + сх 2 + dx + т, где все коэффициенты b, с, d, т – целые числа. По условию, целое число а является корнем многочлена р(х). Это значит, что р(а) = 0, т. е. bа з + ca 2 + da + m = 0. Преобразуем полученное равенство к виду т = а(– bа 2 – са – d) и обозначим целое число (– bа 2 – са – d) буквой k. Тогда последнее равенство можно переписать в виде т = ak, а это и означает, что число а – делитель числа т, т. е. делитель свободного члена многочлена р(х). Аналогично проводится доказательство теоремы для случая, когда р(х) – многочлен четвертой, пятой и вообще n -й степени.
Пример 8 х 3 − 3х 2 − 10х + 24 = (х – 2)(х 2 − х − 12) = = (х – 2)(х − 4)(х + 3) Разложить многочлен: х 3 − 3х 2 − 10х + 24 Будем искать корни среди делителей свободного коэффициента 24 : ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24. р(1) = 12 ≠ 0, р(−1) = 30 ≠ 0, р(2) = 0. Значит х = 2 – корень многочлена р(х). С помощью схемы Горнера найдем частное q(x) : 1 −3 −10 24 2 1 1 2⋅1+(−3) −1 2⋅(−1)−10 −12 2⋅(−12)+24 0
х 2 – у 2 = (х – у)(х + у) х 3 – у 3 = (х – у)(х 2 + ху + у 2 ) x 4 – у 4 = (x – y)(x 3 + x 2 у + xy 2 + у З ) x 5 – у 5 = (x – y)(х 4 + х з y + х 2 y 2 + хy 3 + y 4 ) … x n – у n = (x – y)(х n−1 + х n−2 y + х n−3 y 2 + … + + х 2 y n−3 + xy n−2 + y n−1 ) Многочлены от нескольких переменных
х 3 + у 3 = (х + у)(х 2 – ху + у 2 ) x 5 + у 5 = (x + y)(х 4 – х 3 y + х 2 y 2 – хy 3 + y 4 ) … x 2n+1 + у 2n+1 = (x + y)(х 2n – х 2n−1 y + х 2n−2 y 2 – – х 2n−3 y 3 + … + x 2 y 2n−2 – xy 2n−1 + y 2n ) Многочлен Р(х; у) называют однородным многочленом п -ой степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна п. Если Р(х; у) однородный многочлен, то уравнение Р(х; у) = 0 называют однородным уравнением.
х 3 + 2х 2 – 7х – 12 = 0 Делители числа 12 : ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12. Пусть Р(х) = х 3 + 2х 2 – 7х – 12, тогда Р(1) = −16, Р(−1) = −4, Р(2) = −10, Р(−2) = 2, Р(3) = 12, Р(−3) = 0. Значит х = −3 – корень многочлена Р(х). Теорема. Если приведенное уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то этот корень обязательно является целым числом. Пример 9
