Лектор: Парахин А.С., к. ф.-м. наук, доцент.
3.1. Распределение Максвелла по компонентам скоростей. Как было отмечено выше, тепловое движение представляет собой хаотическое движение. Однако, даже в таком беспорядочном движении, как мы видели раньше, наблюдаются определённые закономерности. К таким закономерностям относится и т.н. распределение молекул по скоростям.
Пусть общее число молекул в некотором объёме равно. Обозначим число молекул, компоненты скоростей которых заключены в пределах , , .
Тогда отношение представляет собой вероятность того, что наугад выбранная молекула обладает скоростью с компонентами в интервалах, указанных выше.
А отношение этой вероятности к произведению элементов компонентов скоростей, очевидно, представляет собой плотность вероятности и называется функцией распределения молекул по компонентам скоростей и обозначается. .
Отсюда . . и .
Из последнего равенства вытекает т.н. условие нормировки , т.е. функция распределения должна быть таковой, что интеграл от неё по всем возможным значениям аргументов должен быть равен единице.
Знание функции распределения позволяет найти средние значения термодинамических параметров, таких как давление, средняя кинетическая энергия и т.п. и их связь между собой.
Отыскание функции распределения основано на двух предположениях. Первое предположение касается равноправия направлений. Поскольку тепловое движение абсолютно хаотично, то движения молекул вдоль осей координат совершенно независимы.
С точки зрения теории вероятности это означает, что плотность вероятности события приобретения молекулами скорости с компонентами в указанных выше интервалах равно произведению плотностей вероятностей приобретения молекулами компонент вдоль осей координат по отдельности, .
Второе предположение состоит в равноправности отрицательного и положительного направлений осей координат. Это значит, что вероятность встретить молекулу со скоростью должна быть такой же, как и для молекулы со скоростью, т.е. функция распределения по компонентам скоростей должна быть чётной. Это в свою очередь означает, что функция распределения должна зависеть не от вектора скорости, а от его квадрата. .
Объединяя оба предположения вместе, получим функциональное уравнение . Но такому условию может удовлетворять только показательные функции, любую из которых можно представить экспонентой. Это значит, что функция распределения должна быть экспонентой .
Параметр всегда находится из условия нормировки, а параметр, во-первых, должен быть отрицателе, иначе бесконечно большим скоростям будут соответствовать бесконечно большие скорости. Чего быть не может. Во-вторых, он находится из сравнения результатов расчёта какого-либо из термодинамических параметров с помощью функции распределения с ранее известным его значением.
Например, можно найти среднее значение кинетической энергии молекул и сравнить полученное выражение с формулой связи кинетической энергии и температуры.
Из условия нормировки следует следует
Для отыскания параметра найдём среднее значение кинетической энергии
Этот интеграл можно разбить на три интеграла
Эти три интеграла отличаются только обозначениями, поэтому они равны, значит
Данный интеграл соответствует произведению трёх интегралов
Первый интеграл берётся по частям . Первое слагаемое в этом выражении равно нулю, т.к. экспонента с отрицательным показателем убывает на бесконечности быстрее, чем растёт любая степень аргумента.
Тогда средняя кинетическая энергия Здесь мы учли условие нормировки функции распределения. Сравнивая это с уравнением формулой связи средней кинетической энергии и температуры приходим к выводу, что .
Теперь можно найти и нормировочный коэффициент. Для этого нужно найти интеграл нормировки с учётом значения параметра
Все эти три интеграла заменой переменной сводятся к интегралу Пуассона .
Тогда Наконец из условия нормировки находим .
Подставляя все найденные константы в функцию распределения, получим Эта функция и называется функцией распределения Максвелла по компонентам скоростей. Progr D: Progr E: Progr F: Progr G: Progr H :
Часто бывает необходимо знать распределение молекул не только по компонентам скоростей, но и по модулю скорости. Для определения распределения Максвелла по модулю скоростей нужно найти количество молекул со скоростями в пределах от до и разделить его на интервал скоростей, а также на общее число молекул.
Для этого в свою очередь нужно, во-первых, перейти от декартовой системы координат к сферической и, во-вторых, проинтегрировать по всем значениям азимутального и полярного углов.
Для перехода к сферической системе координат нужно сделать замену и .
Тогда количество молекул со скоростями в интервале от до будет определяться следующим образом .
Вычислив оба интеграла, поучим . Разделив теперь на и на, получим функцию распределения молекул по модулю скорости . Это и есть функция распределения Максвелла молекул по модулю скорости.
Progr D: Progr E: Progr F: Progr G: Progr H:
Зная распределение Максвелла, можно найти средние значения всех величин, которые зависят от скорости молекул, в частности, средние значение разных степеней самой скорости.
Определение. Характеристическими скоростями распределения называются значения скоростей, определяющиеся из этого распределения.
К характеристическим скоростям относится, прежде всего, среднее значение модуля скорости. Оно определяется следующим образом .
Сделаем, прежде всего, в этом интеграле замену переменной .
Для вычисления интеграла используем интегрирование по частям . Первое слагаемое снова равно нулю из-за быстрого стремления экспоненты к нулю на бесконечном пределе, а на нулевом пределе из-за равенства аргумента нулю. Второе же слагаемое равно.
Поэтому . Это и есть средняя скорость движения молекул. Как видно из формулы, с ростом температуры средняя скорость возрастает. Для тяжёлых молекул она меньше, чем для лёгких. Progr D: Progr E: Progr F: Progr G: Progr H:
Среднее значение квадрата скорости мы, по сути дела, уже находили. Из связи между кинетической энергией и температурой следует . Отсюда и находим среднеквадратичную скорость .
Характеристической является также скорость, соответствующая максимуму функции распределения по модулю скорости. Для её нахождения нужно найти производную и приравнять к нулю . Решая уравнение, найдём т.н. наивероятнейшую скорость .
