Какие числа называются натуральными? Числа, которые используют при подсчёте предметов, называют натуральными числами. Натуральные числа один, два, три, четыре, пять и так далее, записанные в порядке возрастания и без пропусков, образуют ряд натуральных чисел. С амое маленькое натуральное число – единица. В натуральном ряду каждое следующее число на 1 больше предыдущего. Натуральный ряд бесконечен, наибольшего числа в нём нет. Множество всех натуральных чисел принято обозначать латинской буквой N.
Какие числа называются целыми ? Целые числа — это натуральные числа, противоположные им и число нуль. Сумма, разность и произведение целых чисел в результате дают целые числа. Этот ряд бесконечен. Наибольшего и наименьшего целых чисел не бывает. Множество целых чисел обозначают Z.
Какие числа называются рациональными? Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел. Всякое рациональное число, как целое, так и дробное, можно представить в виде дроби, где – целое число, – натуральное. Например,,,,, Множество рациональных чисел имеет специальное обозначение – Q.
Какие числа называются иррациональными? Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в виде рациональной дроби. Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби. Примеры: π = 3,1415926... √2 = 1,41421356... e = 2,71828182… √8 = 2,828427... -√11= - -3.31662… Обозначение множества иррациональных чисел: латинская буква I.
Какие числа называются действительными? Множество действительных (вещественных) чисел состоит из множества рациональных и множества иррациональных чисел. Оно обозначается буквой R, а также его можно записать как (-∞; +∞). Можно записать так, что R есть объединение двух множеств: рациональных и иррациональных чисел: R = Q∪I.
При решении практических задач иногда невозможно указать точный результат. Если число a 1 мало отличается от числа a, то пишут: a ≈ a 1. Говорят, что число a приближённо равно числу a 1 или a 1 –это приближение числа a. Если a 1 < a, то a 1 называют приближением с недостатком. Если a 1 > a, то a 1 называют приближением с избытком. Действительные числа, задаваемые бесконечными десятичными дробями, заменяют конечными десятичными дробями.
Пример1. Пусть a = 2,3(28) или a = 2,32828... Отбросим все цифры, начиная со второй после запятой, получим 2,32. Увеличим дробь на 0,01, получим 2,33. Число a находится между ними: 2,32 < a < 2,33 Таким образом, a ≈ 2,32 или a ≈ 2,33. 2,32 – приближение числа с недостатком; 2,33 – приближение числа с избытком, с точностью до 0,01. Более точное приближение числа a получим при приближении с точностью до 0,001. Тогда, 2,328 < a < 2,329
Пример 2. Если число отрицательное: пусть b = - 2,3(28) = -2,32828..., отбросим все цифры, начиная со второй после запятой, тогда – 2,33 < b < -2,32. -2,33 – приближение числа с недостатком; -2,32 – приближение числа с избытком, с точностью до 0,01 или до единицы второго разряда.
Значащей цифрой десятичной дроби называют её первую (слева направо), отличную от нуля, цифру, а также все следующие за ней цифры. В числе 235000 все цифры значащие, в числе 0,302 значащие – три цифры после запятой. Значащими цифрами являются: – все ненулевые цифры; – нули, содержащиеся между ненулевыми цифрами; – нули, являющиеся представителями сохраненных десятичных разрядов при округлении.
Округлить число с точностью до значащей цифры – это значит, округлить число до того разряда, где находится значащая цифра, заменив следующие цифры нулями. Пример: 3,7523… округлите с точностью до 0,01. 3,75|23 ≈ 3,7500 ≈ 3,75. Незначащие цифры, нули, нужно отбросить. При этом помним правило округления: Если правее разряда, до которого округляем, стоит цифра 5, 6, 7, 8, 9, то цифру в разряде увеличиваем на 1. Если правее разряда, до которого округляем, стоит цифра 0, 1, 2, 3, 4, то цифру в разряде не изменяем.
что все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т.д.). Арифметические операции над действительными числами обычно заменяются операциями над их приближениями.
Пусть: а = 23,1834567 и b = -4,2375. Найдите сумму и разность с точностью до одной сотой. Решение: Чтобы вычислить приближённую сумму, разность двух чисел, надо округлить эти числа с одинаковой точностью, затем выполнить сложение или вычитание. Решение: округляем до 0,01. а = 23,18|34567 ≈ 23,18 и b = -4,23|75 ≈ -4,24. Находим: а + b ≈ 23,18 + (-4,24) = 18,94. а – b ≈ 23,18 – (-4,24) = 23,18 + 4,24 = 27,42. Ответ: 18,94; 27,42.
Пусть: а = 23,1834567 и b = -4,2375. Найдите сумму и разность с точностью до одной сотой. Решение: Чтобы вычислить приближённую сумму, разность двух чисел, надо округлить эти числа с одинаковой точностью, затем выполнить сложение или вычитание. Решение: округляем до 0,01. а = 23,18|34567 ≈ 23,18 и b = -4,23|75 ≈ -4,24. Находим: а + b ≈ 23,18 + (-4,24) = 18,94. а – b ≈ 23,18 – (-4,24) = 23,18 + 4,24 = 27,42. Ответ: 18,94; 27,42.
На рулоне обоев имеется надпись, гарантирующая, что длина полотна обоев находится в пределах 10 ± 0,05 м. Какую длину не может иметь полотно при этом условии? В ответе укажите номер правильного варианта. 1) 10,23 2) 10,05 3) 9,96 4) 10,03 Решение. Запись, приведённая в условии, указывает на то, что длина рулона обоев находится в пределах от 9,95 м до 10,05 м. В этот интервал не попадает значение 10,23. Правильный ответ указан под номером: 1.
