«Прямые и плоскости в пространстве». а
Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. С точки зрения геометрии плоскость следует представлять как простирающуюся неограниченно во все стороны. Плоскость изображается: В виде параллелограмма В виде овала(облачка) 1. Понятие плоскости.
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. А В А В С а А α 2. Аксиомы стереометрии.
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. О а в а А 3. Следствия из аксиом стереометрии.
а а А а
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. a 5. Параллельность прямой и плоскости.
a b α Признак параллельности прямой и плоскости.
Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости. a a b Свойства параллельности прямой и плоскости.
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. 6. Параллельность плоскостей.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Дано: α; β ; a b=M; a a 1 ;b b 1 ; a β; b β Доказать: β α Доказательство: Допустим, что плоскости α и β не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с. Мы получили, что плоскость α проходит через прямую а, параллельную плоскости β, и пересекает плоскость β по прямой с. Отсюда следует, что прямые а с. Но плоскость α проходит также через прямую b, параллельную плоскости β. Поэтому b c. Таким образом, через точку М проходит две прямые а и b, параллельные прямой с. Но это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых через точку М проходит только одна прямая, параллельная прямой с. Значит, наше предположение неверно, = > α β. a 1 b 1 а b M Признак параллельности плоскостей.
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. a b Свойства параллельных плоскостей.
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. А 7. Перпендикулярность прямой и плоскости.
1 свойство: 1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Дано: α а а 1 ; а α Доказать: а 1 α Доказательство: Проведем произвольную прямую x в плоскости α. Т.к. прямая а α, то а x = > а 1 х (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей) = > а 1 перпендикулярна любой прямой в плоскости α. = > а 1 α. a a 1 x Свойства перпендикулярности прямой и плоскости.
2свойство: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны Дано: α а α; b α Доказать: а b Доказательство: Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b 1 а. Из 1-го свойства получили прямая b 1 α. Докажем, что прямая b 1 совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что а b. Допустим, что b 1 и b не совпадают. Тогда в плоскости β, содержащей прямые b и b 1, через a b b 1 c M α β точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β. Но это невозможно, т.к. если b α и b 1 α, то эти прямые перпендикулярны любой прямой в этой плоскости(в данном случае прямой с), но согласно теореме, через точку, не лежащую на прямой можно провести только одну прямую перпендикулярную данной, следовательно, прямая а b. 2. Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. a b c Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикуляр-ная к данной плоскости, и притом только одна. O A c Теорема о перпендикулярности прямой и плоскости.
Расстояние, т.е. длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости α, называется расстоянием от точки А до плоскости α. Например, AH. А Н М Расстояние от точки до плоскости.
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. Дано: α ; AH- перпендикуляр к плоскости α ; АМ- наклонная; а- прямая, проведенная в плоскости α через точку М перпендикулярно к проекции НМ наклонной. Доказать: a AM Доказательство: Рассмотрим плоскость АМН. Прямая а перпендикулярна к этой плоскости, т.к. она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АН и МН, лежащим в плоскости АМН (а НМ по условию и a АН, т.к. АН α). Отсюда следует, что прямая а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АМН, в частности а АМ. А Н М а α Теорема о трех перпендикулярах.
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции. А Н М а α Обратная теорема о трех перпендикулярах.
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. М а А 8. Угол между прямой и плоскостью.
Определение 1. Двугранным углом называется часть пространства, ограниченная двумя полуплоскостями, границей каждой из которых служит их общая прямая. Двугранный угол также называют углом между данными плоскостями. Определение 2. Плоскости (полуплоскости), которые ограничивают двугранный угол, называются гранями двугранного угла. Определение 3. Линия пересечения граней двугранного угла называется ребром двугранного угла. Определение 4. Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный двумя полупрямыми, полученными при пересечении граней двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру этого двугранного угла. Значение линейного угла данного двугранного угла есть значение данного двугранного угла. 9. Двугранный угол.
10. Перпендикулярность плоскостей.
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 0.
Другое изображение перпендикулярных плоскостей:
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. А В С D Признак перпендикулярности плоскостей.
Другой рисунок. Если плоскость β проходит через прямую АВ, перпендикулярную к плоскости α, то β перпендикулярна α А В
Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой их этих плоскостей. a
