Определения и признаки Перпендикуляр и наклонная, теорема о трех перпендикулярах Ортогональное проектирование Двугранный угол Измерение расстояний и углов в пространстве
Перпендикулярность в пространстве Определения Признаки Прямых в пространстве О: Две прямые в пр-ве, если они под прямым углом а ав в Пр-к: Две пересекающиеся прямые, параллельные соответственно двум перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны Прямой и плоскости О: Прямая, пересекающая плоскость, ей, если она любой прямой, лежащей в плоскости, проходящей через точку пересечения Пр-к: Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, перпендикулярна и самой плоскости d
1.Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и второй прямой свойства 2.Прямые, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны 3.Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и второй плоскости 4. Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой
Плоскостей О: Две пересекающиеся плоскости перпендикулярны между собой, если третья плоскость, проведенная перпендикулярно линии их пересечения, пересекает их по перпендикулярным прямым Пр-к: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то данные плоскости перпендикулярны α =с, с, =а, =в, ав, ( b α, b β ) α β
Если плоскости перпендикулярны, то прямая лежащая в одной из них перпендикулярно линии пересечения плоскостей, будет перпендикулярна и другой плоскости = b, α β, а α, a b, а β
Перпендикуляр и наклонная Перпендикуляр АВ Наклонная АС проекция АС на пл-ть А C B D AD=AB DC=CD АВ > AC AC>AD CB>BD
Теорема о трех перпендикулярах Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной, если она перпендикулярна ее проекции Первое утверждение : если прямая m перпендикулярна наклонной АС, то она перпендикулярна и ее ортогональной проекции ВС. И обратно : если прямая m перпендикулярна ортогональной проекции ВС, то она перпендикулярна и наклонной АС.
Ортогональная проекция
Ортогональной проекцией точки А на данную плоскость называется проекция точки на эту плоскость параллельно прямой, перпендикулярной этой плоскости. Ортогональная проекция фигуры на данную плоскость p состоит из ортогональных проекций на плоскость p всех точек этой фигуры. Ортогональная проекция часто используется для изображения пространственных тел на плоскости, особенно в технических чертежах. Она дает более реалистическое изображение, чем произвольная параллельная проекция, особенно круглых тел. Ортогональная проекция Ортогональная проекция точки и фигуры. Ортогональная проекция детали.
Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции
Измерение расстояний в пространстве
Измерение углов в пространстве Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость. Если прямая параллельна плоскости, то угол между ней и плоскостью считается равным нулю. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ней и плоскостью прямой, т. е. равен 90°.
Пусть и — данные плоскости, пересекающиеся по прямой с. Проведем плоскость , перпендикулярную прямой с. Она пересечет плоскости и по прямым а и b. Угол между плоскостями и равен углу между прямыми а и b. Угол между плоскостями Угол между параллельными плоскостями равен 0 0 Угол между перпендикулярными плоскостями равен 90 0
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a, не принадлежащими одной плоскости. Планиметрия Стереометрия Углом на плоскости называется фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки. Двугранный угол А В С а Прямая a – ребро двугранного угла Две полуплоскости – грани двугранного угла
Двугранный угол может быть острым, прямым, тупым
O Угол Р DEK Двугранный угол АВ N М, В N – ребро, точки А и М лежат в гранях двугранного угла А В N Р M К D E Угол SFX – линейный угол двугранного угла S X F
Угол РОК – линейный угол двугранного угла Р DE К. D E Р К O Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
Все линейные углы двугранного угла равны А В O А 1 В 1 O 1 Лучи ОА и О 1 А 1 – сонаправлены Лучи ОВ и О 1 В 1 – сонаправлены Углы АОВ и А 1 О 1 В 1 равны как углы с сонаправленными сторонами
