1 Рациональные уравнения 10 класс Учитель математики МБОУ СОШ им. А.М. Селищева Шалобаева Е.Н.
2 Уравнение, левая и правая части которого есть рациональные выражения относительно х, называют рациональным уравнением с неизвестным х. Например, уравнения 5х 6 - 9х 5 + 4х - Зх + 1 = 0, являются рациональными.
3 Корнем (или решением) уравнения с неизвестным х называют число, при подстановке которого в уравнение вместо х получается верное числовое равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни или показать, что их нет. При решении рациональных уравнений приходится умножать и делить обе части уравнения на не равное нулю число, переносить члены уравнения из одной части в другую, применять правила сложения и вычитания алгебраических дробей. В результате будет получаться уравнение, равносильное предшествующему, т. е. уравнение, имеющее те же корни, и только их.
4 Уравнение вида А( х )•В( х ) = О, где А( х ) и В( х ) — многочлены относительно х, называют распадающимся уравнением.
5 ПРИМЕР 1. Решим уравнение (х 2 - 5х + 6) (х 2 + х - 2) = 0. Уравнение распадается на два уравнения. х 2 - 5х + 6 = 0 х 1 = 2 и х 2 = 3 х 2 + х - 2 = 0. х 3 = -2 и х 4 = 1 Значит, уравнение исходное имеет корни х 1 = 2, х 2 = 3, х 3 = -2, х 4 =1. Ответ. -2; 1; 2; 3.
6 Уравнение вида , где А( х ) и В( х ) — многочлены относительно х. Сначала решим уравнение х 2 + 4х - 21 = 0. х 1 = 3 и х 2 = -7 Подставив эти числа в знаменатель левой части исходного уравнения, получим х 1 2 - х 1 -6 = 9-3-6 = 0, х 2 2 - х 2 - 6 = 49 + 7 - 6 = 50 ≠0. Это показывает, что число х 1 = 3 не является корнем исходного уравнения, а число х 2 =- 7 — корень этого уравнения. Ответ. -7. ПРИМЕР 2. Решим уравнение
7 Уравнение вида где А( х ), В( х ), С( х ) и D( х ) — многочлены относительно х, обычно решают по следующему правилу. Решают уравнение А( х )•D( х ) - С( х )·В( х ) = 0 и отбирают из его корней те, которые не обращают в нуль знаменатель уравнения.
8 ПРИМЕР 3. Решим уравнение Решим уравнение х 2 - 5х + 6 - (2х + 3) ( х - 3) = 0. х 2 + 2х - 15 = 0 х 1 = -5 и х 2 = 3. Число х 1 не обращает в нуль знаменатель х - 3, а число х 2 обращает. Следовательно, уравнение имеет единственный корень = -5. Ответ. -5.
9 ПРИМЕР 4. Решим уравнение х 8 + 4х 6 -10х 4 + 4х 2 + 1 = 0. Число х 0 = 0 не является корнем уравнения, поэтому уравнение равносильно уравнению х 4 + 4х 2 - 10 + + =0 Обозначим t = , тогда х 4 + получаем t 2 + 4t - 12 = 0, х 1 = 2 и х 2 = -6. Следовательно, корни уравнения найдем, объединив все корни двух уравнений: =2, и Первое уравнение имеет два корня -1 и 1, а второе уравнение не имеет действительных корней, поэтому уравнение имеет только два корня: -1 и 1. Ответ. -1; 1. = t 2 -2, =-6,
