2022 ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ И НЕЯВНО. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА БФУ имени И. Канта
2 2022 Рассмотрим приращение функции в точке : Если это приращение может быть записано в виде где – некоторая константа, а – бесконечно малая более высокого порядка, чем, при, то функция называется дифференцируемой в точке. ДИФФЕРЕНЦИАЛ
3 2022 Теорема. Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда она имеет производную в этой точке. Если функция дифференцируема в точке, то линейная часть приращение называется дифференциалом функции в точке и обозначается где.
4 2022 СВОЙСТВА
5 2022 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Теорема Ф ерма. Если функция определена на интервале, в точке принимает наибольшее (наименьшее) значение и имеет в этой точке производную, то. Теорема Ролля. Пусть функция : непрерывна на отрезке ; имеет в каждой точке интервала производную; имеет на концах отрезка равные значения: тогда существует точка такая, что.
6 2022 Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет производную в каждой точке интервала. Тогда существует точка такая, что Теорема о пределе производной. Пусть функция : непрерывна на ; дифференцируема на ; существует. Тогда существует правая производная и И наоборот.
7 2022 Теорема о постоянстве функции. Пусть функция непрерывна на и существует хотя бы на, равная на нем нулю. Тогда. Теорема о монотонности функции. Пусть функция непрерывна на и дифференцируема на. Функция монотонно возрастает (убывает) на тогда и только тогда, когда. Если, то строго возрастает (убывает) на.
8 2022 Теорема Коши. Пусть функция и : непрерывны на отрезке ; дифференцируема на интервале производная во всех точках интервала Тогда существует такая точка что имеет место
9 2022 ДИФЕРЕНЦИАЛ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Пусть производная дифференцируема в точке. Тогда дифференциал в этой точке функции, если рассматривать его как функцию только от переменной при фиксированной второй переменной, имеет вид (обозначим его, в отличие от для первого дифференциала.
10 2022 Вторым дифференциалом функции в точке называется дифференциалом от, то есть дифференциал от первого дифференциала как функции от переменной при фиксированной переменной : Примечание: Аналогично определяется интеграл более высоких порядков:
11 2022 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАНОЙ НЕЯВНО Пусть задана неявно уравнением, если для всех из некоторого интервала. Для вычисления производной функции, заданной неявно, необходимо продифференцировать по уравнение считая функцией от, и из полученного уравнения выразить производную
12 2022 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЯ ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ Пусть функции определены, непрерывны на некотором промежутке а функция строго монотонна на нем. Тогда для функции существует обратная функция, определенная на некотором промежутке и, следовательно, имеет смысл сложная функция Эта функция называется функцией, параметрически заданной системой.
13 2022 Теорема. Пусть системой функцией параметрически задана функция. Если функция и имеют в точке производные и, то параметрически заданная функция имеет в точке производную, и она вычисляется по формуле
14 2022 ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Пусть называется производная от логарифма этой функции, то есть Пусть тогда
15 2022 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ПО ПРАВИЛУ ЛОПИТАЛЯ. Первое правило Лопиталя. Пусть и : дифференцируемы в выколотой окрестности точки ; существует предел ; Тогда существует и предел и имеет место равенство
16 2022 Второе правило Лопиталя. Пусть и : дифференцируемы на интервале ; существует предел ; Тогда существует и предел и имеет место равенство
2022 Спасибо за внимание! МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА БФУ имени И. Канта
