2022 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА БФУ имени И. Канта
2 2022 ЭКСТРЕМУМЫ Функция называется неубывающей (невозрастающей) на множестве, если для любых значений из этого множества таких, что, справедливо неравенство (соответственно ). Невозрастающие и неубывающие функции называются монотонными.
3 2022 Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве, если для любых значений из этого множества таких, что, справедливо неравенство (соответственно ). Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.
4 2022 Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки, в которой для всех выполняется неравенство Если для всех из некоторой окрестности точки выполняется строгое неравенство тогда точка называется точкой строгого максимума (минимума) функции.
5 2022 Точка максимума и минимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции. Теорема о необходимом условие точки экстремума. Если точка является точкой экстремума функции, то либо, либо не существует. Примечание: Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют точками, подозрительными на экстремум (или точками возможного экстремума). Точки экстремума функции следует искать только среди точек, подозрительных на экстремум.
6 2022 Теорема о достаточном условие точки экстремума через первую производную. Если существует производная в окрестности точки и при переходе через эту точку она меняет знак, то точка является точкой экстремума функции, причем если то – точка минимума, а если то – точка максимума.
7 2022 ВЫПУК Л ОСТЬ И ТОЧКА ПЕРЕГИБА Функция называется выпуклой вниз (вверх) на, если на любом график функции лежит не выше (не ниже) хорды, соединяющие концы этого графика. Точка на графике функции называется точкой перегиба, если при переходе через эту точку меняется направление выпуклости.
8 2022 Теорема о необходимом условие точки перегиба. Пусть точка при является точкой перегиба функции, тогда если в этой точке есть вторая производная, то она равна нулю. Теорема о критерии выпуклости через вторую производную. Пусть функция имеет на производную второго порядка. Для того чтобы была выпуклой вниз (вверх) на, необходимо и достаточно, чтобы. Производная второго порядка представляя собой скорость изменения наклона кривой вторая производная дает указание на то, как изогнута кривая.
9 2022 АСИМПТОТЫ Если, то прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции. Аналогично при. Если или, то прямая называется вертикальной асимптотой.
10 2022 Прямая, где называется наклонной асимптотой при. Если хотя бы один из перечисленных пределов бесконечен, то наклонная асимптота отсутствует.
11 2022 ПОЛНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ 1. Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва ). Область определения : Точки разрыва: Рациональные функции, тангенс (неограниченный), котангенс (неограниченный).
12 2022 2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения. Вертикальные асимптоты: Если и, то является разрывом второго рода и прямая – вертикальная асимптота.
13 2022 3. Найти точки пересечения с осями координат. Пусть, тогда найдутся или нет точки пересечения с осью. Пусть, тогда найдутся или нет точки пересечения с осью.
14 2022 4. Установить, является ли функция чётной или нечётной. Четная функция, если. Нечетная функция, если. Функция общего вида, если функция ни четная и ни нечетная.
15 2022 5. Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций). Пусть, тогда период ищется по формуле Если, то. Если, то.
16 2022 6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности. Критические точки: находим корни. Определяем монотонность и находим локальные минимумы или максимумы: Если, то интервал монотонно возрастает, значит знак «+». Если, то интервал монотонно убывает, значит знак «-».
17 2022 Точка и являются локальными максимумами, так как слева знак «+», а справа «-». Точка является локальным минимум, так как слева знак «-», а справа «+». Подставляем найденные локальные точки в, тем самым получим точки экстремум.
18 2022 7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости. Точки перегиба: находим корни. Определяем выпуклость: Если, то интервал выпукла верх, значит знак «+». Если, то интервал выпукла вниз, значит знак «-».
19 2022 Точка и показывают сначала вогнутость, а затем выпуклость функции. Точка показывают сначала выпуклость, а затем вогнутость. Подставляем найденные локальные точки в, тем самым получим точки перегиба.
20 2022 8. Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности. Горизонтальная асимптота: Наклонная асимптота :
21 2022 9. Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты. 10. Построить график и асимптоты. График сплошной линии, а асимптоты пунктирной линией.
2022 Спасибо за внимание! МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА БФУ имени И. Канта
