АЛГЕБРА (3-й семестр) — презентация

2010-11 учебный год Доцент Мартынова Т. А.

Изображение слайда

ЛЕКЦИЯ 11 Доцент Мартынова Т.А.

Изображение слайда

Основными задачами этого раздела являются рассмотрение вопросов: Сопряжённые корни многочленов. Неприводимые над R многочлены. Отделение действительных корней многочлена и метод Штурма.

Изображение слайда

Уравнения степени выше 4 неразрешимы в радикалах. Поэтому большую роль играют приближенные методы решения алгебраических уравнений. Обычно при этом выделяют 3 этапа: 1. Нахождение границ действительных корней многочлена. 2. Отделение корней, т.е. нахождение таких интервалов ( a i, b i ), в каждом из которых лежит только один действительный корень. 3. Приближенное вычисление самих корней, т.е. построение последовательности, сходящейся к тому или иному корню.

Изображение слайда

Из леммы о модуле старшего члена следует, что все действительные корни многочлена f ( x ) из R (x) находятся в промежутке (–M,M), где Таким образом мы указали один из способов для нахождения границ действительных корней многочлена с действительными коэффициентами.

Изображение слайда

Для решения задачи об отделении действительных корней многочлена с действительными коэффициентами наиболее безупречным в теоретическом отношении является метод Штурма, имеющий чисто алгебраический характер.

Изображение слайда

Применим к многочлену f ( x ) и его производной f ’ ( x ) алгоритм Евклида, но при этом остатки будем брать с противоположными знаками:

Изображение слайда

Система многочленов называется системой функций Штурма для многочлена f ( x ). В дальнейшем будем рассматривать только многочлены, не имеющие кратных корней. Известно, что такие многочлены взаимно просты со своей производной и поэтому f m ( x ) =c (const). Обозначим через w ( a ) число перемен знаков в системе чисел: ( 6 )

Изображение слайда

Покажем на примере, как, используя теорему Штурма, можно определить корни многочлена. Замечание. Многочлены ряда Штурма можно находить с точностью до положительных множителей, т.е., при вычислениях можно умножать и делить многочлены на числа, но только на положительные, так как знак многочленов играет в этом методе существенную роль. Теорема Штурма. Если a < b, то w ( a )  w ( b ) и число действительных корней многочлена f ( x ) в промежутке [ a, b ] равно w ( a ) – w ( b ).

Изображение слайда

Пример 4. Отделить действительные корни многочлена f ( x )= x 3 – 10 x + 2. ◘ M = A / | a n | + 1 = 10/1 + 1 = 11. Т.образом, корни находятся в промежутке (-11,11). Далее находим производную f’ ( x )=3 x 2 – 10. Затем применяя алгоритм Евклида, находим систему многочленов Штурма: Таким образом, ряд функций Штурма: x 3 – 10 x + 2, 3 x 2 – 10, 10 x – 3, 1.

Изображение слайда

Составим таблицу: x f(x) f’(x) 10x-3 1 w(x) вывод -11 – + – + 3 На интервале (-11,11) есть три 11 + + + + 0 действительных корня 0 + – – + 2 На интервале (-11,0) есть один корень, а на (0,11) есть два корня 5 + + + + 0 На интервале (0,5) есть два корня, а на (5,11) корней нет 3 – + + + 1 На интервалах (0,3) и (3,5) есть по одному корню

Изображение слайда

Составим таблицу: x f(x) f’(x) 10x-3 1 w(x) вывод -11 – + – + 3 На интервале (-11,11) есть три 11 + + + + 0 действительных корня 0 + – – + 2 На интервале (-11,0) есть один корень, а на (0,11) есть два корня 5 + + + + 0 На интервале (0,5) есть два корня, а на (5,11) корней нет 3 – + + + 1 На интервалах (0,3) и (3,5) есть по одному корню

Изображение слайда

Составим таблицу: x f(x) f’(x) 10x-3 1 w(x) вывод -11 – + – + 3 На интервале (-11,11) есть три 11 + + + + 0 действительных корня 0 + – – + 2 На интервале (-11,0) есть один корень, а на (0,11) есть два корня 5 + + + + 0 На интервале (0,5) есть два корня, а на (5,11) корней нет 3 – + + + 1 На интервалах (0,3) и (3,5) есть по одному корню

Изображение слайда

Составим таблицу: x f(x) f’(x) 10x-3 1 w(x) вывод -11 – + – + 3 На интервале (-11,11) есть три 11 + + + + 0 действительных корня 0 + – – + 2 На интервале (-11,0) есть один корень, а на (0,11) есть два корня 5 + + + + 0 На интервале (0,5) есть два корня, а на (5,11) корней нет 3 – + + + 1 На интервалах (0,3) и (3,5) есть по одному корню

Изображение слайда

Составим таблицу: x f(x) f’(x) 10x-3 1 w(x) вывод -11 – + – + 3 На интервале (-11,11) есть три действительных корня 11 + + + + 0 0 + – – + 2 На интервале (-11,0) есть один корень, а на (0,11) есть два корня 5 + + + + 0 На интервале (0,5) есть два корня, а на (5,11) корней нет 3 – + + + 1 На интервалах (0,3) и (3,5) есть по одному корню

Изображение слайда

Составим таблицу: x f(x) f’(x) 10x-3 1 w(x) вывод -11 – + – + 3 На интервале (-11,11) есть три действительных корня 11 + + + + 0 0 + – – + 2 На интервале (-11,0) есть один корень, а на (0,11) есть два корня 5 + + + + 0 На интервале (0,5) есть два корня, а на (5,11) корней нет 3 – + + + 1 На интервалах (0,3) и (3,5) есть по одному корню

Изображение слайда

Составим таблицу: x f(x) f’(x) 10x-3 1 w(x) вывод -11 – + – + 3 На интервале (-11,11) есть три действительных корня 11 + + + + 0 0 + – – + 2 На интервале (-11,0) есть один корень, а на (0,11) есть два корня 5 + + + + 0 На интервале (0,5) есть два корня, а на (5,11) корней нет 3 – + + + 1 На интервалах (0,3) и (3,5) есть по одному корню

Изображение слайда

Составим таблицу: x f(x) f’(x) 10x-3 1 w(x) вывод -11 – + – + 3 На интервале (-11,11) есть три действительных корня 11 + + + + 0 0 + – – + 2 На интервале (-11,0) есть один корень, а на (0,11) есть два корня 5 + + + + 0 На интервале (0,5) есть два корня, а на (5,11) корней нет 3 – + + + 1 На интервалах (0,3) и (3,5) есть по одному корню

Изображение слайда

Составим таблицу: x f(x) f’(x) 10x-3 1 w(x) вывод -11 – + – + 3 На интервале (-11,11) есть три действительных корня 11 + + + + 0 0 + – – + 2 На интервале (-11,0) есть один корень, а на (0,11) есть два корня 5 + + + + 0 На интервале (0,5) есть два корня, а на (5,11) корней нет 3 – + + + 1 На интервалах (0,3) и (3,5) есть по одному корню

Изображение слайда

Составим таблицу: x f(x) f’(x) 10x-3 1 w(x) вывод -11 – + – + 3 На интервале (-11,11) есть три действительных корня 11 + + + + 0 0 + – – + 2 На интервале (-11,0) есть один корень, а на (0,11) есть два корня 5 + + + + 0 На интервале (0,5) есть два корня, а на (5,11) корней нет 3 – + + + 1 На интервалах (0,3) и (3,5) есть по одному корню

Изображение слайда

Составим таблицу: x f(x) f’(x) 10x-3 1 w(x) вывод -11 – + – + 3 На интервале (-11,11) есть три действительных корня 11 + + + + 0 0 + – – + 2 На интервале (-11,0) есть один корень, а на (0,11) есть два корня 5 + + + + 0 На интервале (0,5) есть два корня, а на (5,11) корней нет 3 – + + + 1 На интервалах (0,3) и (3,5) есть по одному корню

Изображение слайда

Таким образом, корни находятся на промежутках (–11,0), (0,3), (3,5). Для приближенного вычисления корней можно сузить эти промежутки, учитывая, что на концах промежутка, имеющего корни, f ( x ) принимает значения с противоположными знаками. 1. Сузим промежуток (-11, 0) f (–5)= –125+50+2<0, f (0)>0 – корень принадлежит (–5,0); f (–3)= –27+30+2>0 – корень принадлежит (–5,–3); f (–4)=–64+40+2<0 – корень принадлежит (–4,–3). ◙

Изображение слайда

2. Сузим промежуток (0, 3). f (2) = 8 – 20 + 2 < 0, f (0)>0 – корень принадлежит (0, 2); f (1) = 1 – 10 + 2 < 0, f (0)>0 – корень принадлежит (0, 1) ; 3. Сузим промежуток (3, 5). f (4) = 64 – 40 +2 > 0, f (3) = 27 – 30 + 2 < 0 – корень принадлежит (3, 4). Ответ. f ( x )= x 3 – 10 x + 2 имеет три действительных корня находящихся в промежутках (–4,–3), (0, 1) и (3, 4).

Изображение слайда

Основными задачами этого параграфа являются рассмотрение вопросов: Целые и рациональные корни многочленов из Q[x]. Примитивные многочлены и связь между приводимостью многочленов над полем Q и над кольцом Z. Признаки приводимости и неприводимости в кольце Q [ x ] (критерий Эйзенштейна и метод Кронекера).

Изображение слайда

Пусть - некоторый многочлен из Q [ x ]. Умножив его на общий знаменатель q всех его коэффициентов, мы получим новый многочлен с целыми коэффициентами, который имеет те же корни, что и f ( x ). Таким образом, достаточно рассмотреть вопрос о целых и рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами. Поэтому в дальнейшем считаем что многочлен f ( x ) имеет целые коэффициенты.

Изображение слайда

Теорема 1. Если несократимая дробь l / m ( m >0) является корнем многочлена f ( x ) с целыми коэффициентами, то a 0  l и a n  m. ◘ Так как l/m – корень f ( x ), то Умножая обе части этого равенства на m n, имеем: Отсюда: Так как НОД( l, m ) = 1, то из равенства (1) и (2) заключаем, что a n  m и a 0  l. ◙ ( 1 ) ( 2 ) 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q [ x ]

Изображение слайда

Следствие 1. Целый корень многочлена f ( x ) с целыми коэффициентами является делителем свободного члена. ◙ Следствие 2. Если старший коэффициент a n многочлена f ( x ) с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни этого многочлена целые. ◙ 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q [ x ] Теорема 1. Если несократимая дробь l / m ( m >0) является корнем многочлена f ( x ) с целыми коэффициентами, то a 0 ÷l и a n ÷m.

Изображение слайда

Так как число делителей целых чисел a 0 и a n конечно, то и число несократимых дробей вида l/m, где a 0  l и a n  m, тоже конечно. Следовательно, все дроби l/m можно выписать и путём конечного числа испытаний проверить, какие из этих дробей будут корнями, а какие нет. Тем самым мы найдем все рациональные корни многочлена f ( x ), или убедимся, что их нет. Следствия 1 и 2 в некоторых случаях упрощают эту задачу. 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q [ x ]

Изображение слайда

Пример 1. Найти рациональные корни многочлена f(x) =3 x 4 +5 x 3 + x 2 +5 x -2. ◘ l = 1, 2 – делители свободного члена; m = 1,3 – положительные делители старшего коэффициента; l/m= ±1, ± 2, ±1/3, ± 2/3 – кандидаты в корни. Непосредственной проверкой (используя схему Горнера) убеждаемся, что рациональные корни данного многочлена исчерпываются числами –2 и 1/3. ◙ 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q [ x ]

Изображение слайда

Однако число испытаний может оказаться большим и задача громоздкой. Чтобы уменьшить число испытаний и отсеять лишних кандидатов, мы укажем еще одно необходимое (но недостаточное) условие того, что несократимая дробь l/m является корнем многочлена (1). Теорема 2. Если несократимая дробь l/m ( m >0 ) является корнем многочлена f ( x ) с целыми коэффициентами, то для любого целого числа k, такого, что l - km 0, f ( k ) делится на l – km. 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q [ x ]

Изображение слайда

◘ Умножим многочлен f ( x ) на m n и запишем в виде: Положим mx = y. Тогда причём число x 0 является корнем многочлена f ( x ) тогда и только тогда, когда число y 0 =mx 0 является корнем φ (y). Значит, если x 0 = l/m – корень f ( x ), то число y 0 = m ∙(l/m) = l – целый корень многочлена φ (y), и, следовательно, φ (y) =( y-l)q(y). Заметим, что q ( y ) имеет целые коэффициенты, так как они могут быть получены делением φ (y) на y-l с помощью схемы Горнера, а φ (y) и y-l из Z [x]. 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q [ x ]

Изображение слайда

Так как φ (y) =( y-l)q(y) и q(y)  Z [ x ], значит, целым будет и число Докажем, что НОД( m, l – km )=1. Если бы это было не так, то дробь была бы сократимой, т.е., m 1 < m. Отсюда: 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q [ x ] ( 3 )

Изображение слайда

Таким образом, вопреки условию теоремы, дробь l/m оказалась сократимой (ведь m 1 < m ). Полученное противоречие доказывает, что НОД( m, l – km )=1. Из равенства (3) заключаем теперь, что что и требовалось доказать. ◙ 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q [ x ] ( 3 )

Изображение слайда

Замечание. Обычно теорему 2 используют при k=±1. При этом дроби и называют контрольными. Согласно теореме 2, в случае когда несократимая дробь l/m ( m >0 ) является корнем многочлена f ( x ) с целыми коэффициентами и l ± m  0, обе контрольные дроби обязаны быть целыми числами. Это позволяет отсеивать значительное число кандидатов в корни, которые определяются на основании теоремы 1. 1. Целые и рациональные корни многочленов из Q [ x ]

Изображение слайда

Пример 2. Найти рациональные корни многочлена f ( x )=2 x 4 - x 3 +3 x 2 - x -12. ◘ Имеем:

Изображение слайда

Составим таблицу: l/m 2 -2 3 -3 4 -4 6 -6 12 -12 1/2 -1/2 3/2 -3/ 2 -9/( l-m ) Ц Ц Д Д Ц Д Д Д Д Д Ц Ц Ц Д -5/( l+m ) Д Ц - - Ц - - - - - Д Ц Ц -

Изображение слайда

Составим таблицу: l/m 2 -2 3 -3 4 -4 6 -6 12 -12 1/2 -1/2 3/2 -3/ 2 -9/( l-m ) Ц Ц Д Д Ц Д Д Д Д Д Ц Ц Ц Д -5/( l+m ) Д Ц - - Ц - - - - - Д Ц Ц -

Изображение слайда

Составим таблицу: l/m 2 -2 3 -3 4 -4 6 -6 12 -12 1/2 -1/2 3/2 -3/ 2 -9/( l-m ) Ц Ц Д Д Ц Д Д Д Д Д Ц Ц Ц Д -5/( l+m ) Д Ц - - Ц - - - - - Д Ц Ц -

Изображение слайда

Составим таблицу: l/m 2 -2 3 -3 4 -4 6 -6 12 -12 1/2 -1/2 3/2 -3/ 2 -9/( l-m ) Ц Ц Д Д Ц Д Д Д Д Д Ц Ц Ц Д -5/( l+m ) Д Ц - - Д - - - - - Д Ц Ц -

Изображение слайда

Данные таблицы показывают, что рациональные корни многочлена f ( x ) находятся среди чисел –2, – 1/2 и 3/2. С помощью схемы Горнера вычисляем значения f ( –2 ), f( – 1/2) и f(3/2) и убеждаемся что число 3/2 является единственным рациональным корнем данного многочлена. ◙

Изображение слайда

Определение 1. Содержанием многочлена f ( x )  Z [ x ] называется НОД его коэффициентов. Если коэффициенты многочлена f ( x ) взаимно простые, то он называется примитивным многочленом. Пример 3. Содержанием многочлена f ( x )=3 x 3 -18 x +6 является число 3. Многочлен g ( x )= x 3 -6 x +2 является примитивным.

Изображение слайда

Теорема 3. Если f ( x )  Z [ x ], то он единственным образом представим в виде: где d – содержание f ( x ), а f 1 ( x ) - примитивный. ◘ Вынеся НОД коэффициентов многочлена f ( x ) за скобки, мы и получим разложение (4). Единственность вытекает из единственности НОД. ◙ ( 4 )

Изображение слайда

Теорема 4 (лемма Гаусса). Произведение примитивных многочленов - тоже примитивный многочлен. ◘ Пусть – примитивные многочлены из кольца Z [ x ] и Если h ( x ) не является примитивным, то его содержание d имеет в своем разложении по крайней мере один простой делитель p  Z.

Изображение слайда

Так как f и g примитивны, не все их коэффициенты делятся на p. Пусть a i и b j – первые коэффициенты в f и g, которые не делятся на p. Поскольку где a k = 0 при k > n и b k = 0 при k > m Учитывая, что и все слагаемые как слева так и справа от a i b j тоже делятся на p, мы приходим к выводу, что a i b j  p. Но это невозможно, так как a i и b j не делятся на p, а p – простое число. Таким образом, h ( x ) – примитивный многочлен, что и требовалось доказать. ◙

Изображение слайда