1
2 Линейные дифференциальные уравнения n- го порядка Определение. Линейными дифференциальными уравнениями n- го порядка называют уравнения вида a 0 ( x ) y ( n ) + a 1 ( x ) y ( n- 1) + …+ a n- 1 ( x ) y ' + a n ( x ) y = b ( x ), (1) где a 0 ( x ), a 1 ( x ), …, a n ( x ) и свободный член b ( x ) – заданные функции аргумента x и a 0 ( x ) 0. Если a i ( x ) = const, i = 1,…, n, то уравнение называется линейным ДУ n - го порядка с постоянными коэффициентами. Если b ( x ) 0, то уравнение называется линейным однородным. Если b ( x ) 0, то уравнение называется линейным неоднородным (или уравнением с правой частью ). .
Так как a 0 ( x ) ≢ 0 , то уравнение ( 1 ) можно записать в виде: y ( n ) + p 1 ( x ) y ( n – 1) + … + p n – 1 ( x ) y + p n ( x ) y = f ( x ) . ( 2 ) Уравнение ( 2 ) называют приведенным. Уравнение (2) -линейное неоднородное уравнение. В дальнейшем будем работать только с приведенным уравнением. Кроме того, будем предполагать, что p i ( x ) ( i = 1, 2, …, n ) и f ( x ) непрерывны на некотором отрезке [ a ; b ]. Тогда для уравнения ( 2 ) будут выполняться условия теоремы существования и единственности решения. Следовательно, x 0 [ a ; b ] и y 0 , y 0 i ℝ существует един - ственное решение уравнения ( 2 ), удовлетворяющее условию y ( x 0 ) = y 0 , y ( x 0 ) = y 01 , y ( x 0 ) = y 02 , … , y ( n –1) ( x 0 ) = y 0 n –1 . 3
4 Линейные ДУ высшего порядка Если f ( x ) 0, то уравнение ( 1 ) принимает вид: y ( n ) + p 1 ( x ) y ( n- 1) + …+ p n- 1 ( x ) y ' + p n ( x ) y = 0 -ЛОДУ ( 3 ) Свойства решений ЛОДУ в п. 1. Если y 1 ( x ) – решение ЛОДУ в п y ( n ) + p 1 ( x ) y ( n- 1) + …+ p n- 1 ( x ) y ' + p n ( x ) y = 0, ( 3 ) то функция y = C y 1 ( x ), где С = const, тоже является решением этого ДУ. 2. Если y 1, y 2 – решения ЛОДУ в п (2), то функция ( y 1 + y 2 ) – тоже является решением этого ДУ. 3. Если y 1, y 2, …, y k – решения ЛОДУ в п (2), то функция ( С 1 y 1 + С 2 y 2 + С k y k ) – тоже является решением этого ДУ для любых постоянных С 1, С 2, …, С k.
5 Линейно зависимые и линейно независимые функции Пусть система из n функций y 1, y 2,…, y n – определена и непрерывна на интервале ( a, b ). Определение. Функции y 1, y 2,…, y n называются линейно зависимыми на ( a, b ) если существует числа 1, 2,…, n R такие, что на этом интервале выполняется тождество 1 y 1 + 2 y 2 +…+ n y n 0, ( 4 ) причем хотя бы одно i 0. Если тождество (4) справедливо лишь при 1 = 2 =…= n = 0, то функции y 1, y 2,…, y n называются линейно независимыми на ( a, b ).
6 ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВРОНСКОГО Определение. Определитель Вронского (вронскиан) функций y 1, y 2,…, y n, определенных и ( n -1) раз дифференцируемых на интервале ( a, b ) – это определитель порядка n следующего вида: .
7 Теорема 1. ( необходимые условия линейной зависимости функций ) Если функции y 1, y 2,…, y n линейно зависимые и имеют производные до ( n -1)-го порядка, то их определитель Вронского тождественно равен нулю. Теорема 2. Если n решений y 1, y 2,…, y n ЛОДУ высшего порядка (3) линейно независимы на ( a, b ), то их определитель Вронского не может обращаться в ноль ни в одной точке интервала ( a, b ). Следствие. Определитель Вронского системы функций y 1, y 2,…, y n, являющихся решениями ЛОДУ в. п. (3), либо тождественно равен нулю, если система решений линейно зависима, либо не обращаться в ноль ни в одной точке, если система решений линейно независима.
8 Структура общего решения ЛОДУ Определение. Система n линейно независимых решений ЛОДУ n – го порядка называется его фундаментальной системой. (Ф.С.Р.) Теорема 3. ( О с труктуре общего решения ЛОДУ ) Если функции y 1 ( x ), y 2 ( x ),…, y n ( x ), x ( a, b ) – образуют фундаментальную систему решений ЛОДУ (3) на интервале ( a, b ), то, y ( x ) = c 1 y 1 ( x ) + c 2 y 2 ( x ) +…+ c n y n ( x ) ( 5 ) где c i – const, является общим решением этого уравнения.
9 ЛОДУ с постоянными коэффициентами Определение. Линейными однородными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами называют уравнения вида y ( n ) + p 1 y ( n- 1) + …+ p n- 1 y ' + p n y = 0, (6) где коэффициенты p 1, p 2, …, p n- 1, p n – const. Частные решения будем искать в виде: y = e kx (7) Определение. Уравнение k n + p 1 k n- 1 + …+ p n- 1 k + p n = 0 (8) называется характеристическим уравнением ЛОДУ с постоянными коэффициентами, а многочлен k n + p 1 k n- 1 + …+ p n- 1 k + p n – характеристическим многочленом.
y ( n ) + p 1 y ( n- 1) + …+ p n- 1 y ' + p n y = 0, (6) Решения уравнения ( 6 ) будем искать в виде y = e k x , где k – некоторая постоянная. Имеем: y = k e k x , y = k 2 e k x , y = k 3 e k x , …, y ( n ) = k n e k x . Подставляем y , y , y , … , y ( n ) в уравнение ( 6 ) и получаем: k n e k x + p 1 k n – 1 e k x + … + p n – 1 k e k x + p n e k x = 0 k n + p 1 k n – 1 + … + p n – 1 k + p n = 0- ( 8 ) характеристическое уравнение ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 10
11 Алгоритм решения ЛОДУ n -го постоянными коэффициентами 1. Составить характеристическое уравнение k n + p 1 k n – 1 + … + p n – 1 k + p n = 0 2. Найти его корни k 1, k 2, … k n. 3. По характеру корней найти частные линейно независимые решения y 1 ( x ), y 2 ( x ),…, y n ( x ) (Ф.С.Р.) согласно таблице 4. 4. Записать общее решение y ( x ) = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) +…+ C n y n ( x ).
12
13
14
15
16
17
18 ЛНДУ с произвольными коэффициентами Пусть ЛНДУ имеет вид y ( n ) + p 1 ( x ) y ( n- 1) + …+ p n- 1 ( x ) y ' + p n ( x ) y = f ( x ), (2) где p 1 ( x ), p 2 ( x ), …, p n ( x ), f ( x ) – заданные функции аргумента x, причем f ( x ) 0. Теорема 4. ( О с труктуре общего решения ЛНДУ ) Общее решение ЛНДУ есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. При n = 2, ЛНДУ 2-го порядка y '' + p 1 ( x ) y ' + p 2 ( x ) y = f ( x ).
19 ЛНДУ с произвольными коэффициентами Теорема 5. ( Принцип суперпозиции решений ) Если функции y i ( x ) – являются решениями ЛНДУ y ( n ) + p 1 ( x ) y ( n- 1) + …+ p n- 1 ( x ) y ' + p n ( x ) y = f i ( x ), ( 9 ) то функция y = 1 y 1 + 2 y 2 +…+ k y k является решением уравнения y ( n ) + p 1 ( x ) y ( n- 1) + …+ p n ( x ) y = 1 f 1 ( x ) + 2 f 2 ( x ) +…+ k f k ( x ). ( 1 0 ) При n = 2, ЛНДУ 2-го порядка y'' + p 1 ( x ) y' + p 2 ( x ) y = 1 f 1 ( x ) + 2 f 2 ( x ).
20 ЛНДУс постоянными коэффициентами Рассмотрим ЛНДУ с постоянными коэффициентами y ( n ) + p 1 y ( n- 1) + …+ p n- 1 y ' + p n y = f ( x ), (11) где коэффициенты p 1, p 2, …, p n- 1, p n – const. Метод неопределенных коэффициентов можно применить, если правая часть имеет вид f ( x ) = e px [ P m ( x ) cos q x + Q l ( x ) sin q x ], где P m ( x ) и Q l ( x ) – многочлены степени m и l соответственно, p и q – некоторые числа.
21 Форма частного решения
22 ЛНДУ n - го порядка Замечание 1. Степени многочленов P m ( x ) и Q l ( x ) в случаях 3,4 таблицы 5 можно считать одинаковой ( max { m, l }). В этом случае коэффициенты при недостающих степенях одного из многочленов можно считать равными нулю. Замечание 2. Правая часть уравнения может содержать несколько слагаемых; в этом случае частное решение также составляется из нескольких слагаемых в соответствии с теоремой 5.
Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения: 23
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение y ( n ) + p 1 ( x ) y ( n- 1) + …+ p n- 1 ( x ) y ' + p n ( x ) y = b ( x ), (2) Если известно общее решение соответствующего ЛОДУ y ( n ) + p 1 ( x ) y ( n- 1) + …+ p n- 1 ( x ) y ' + p n ( x ) y = 0, ( 3 ), то можно найти и общее решение ЛНДУ ( 2 ). Действительно, пусть y 1 , y 2 , … , y n – ф.с.р. уравнения ( 3 ). Тогда его общее решение будет иметь вид y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + … + C n y n , ( 12) где C 1 , C 2 , … , C n – произвольные постоянные. Полагаем, что РЕШЕНИЕ ЛНДУ ПО СТРУКТУРЕ совпадает с решением соответствующего ЛОДУ, т.е. имеет вид y = C 1 ( x ) y 1 + C 2 ( x ) y 2 + … + C n ( x ) y n , ( 1 3 ) где C 1 ( x ) , C 2 ( x ) , … , C n ( x ) – некоторые функции. 24
Функции C 1 ( x ) , C 2 ( x ) , … , C n ( x ) должны удовлетворять системе ( 1 4 ) ( 14 ) – система n линейных уравнений с n неизвестными. Ее определитель – определитель Вронского W [ y 1 , y 2 , … , y n ] . 25
Так как y 1 , y 2 , … , y n образуют ф.с.р. однородного уравнения, то по теореме2 W [ y 1 , y 2 , … , y n ] 0 , x [ a ; b ]. система ( 14 ) совместна и имеет единственное решение: Откуда получаем где C̃ i – произвольные постоянные. Общее решение неоднородного уравнения тогда имеет вид y = C 1 ( x ) y 1 + C 2 ( x ) y 2 + … + C n ( x ) y n , (1 3 ) Изложенный выше метод нахождения решения линейного неоднородного уравнения n -го порядка получил название метода вариации произвольных постоянных. 26
27 Алгоритм решения ЛНДУ n -го порядка методом вариации произвольных постоянных 1. Найти ФСР ЛОДУ соответствующего ЛНДУ и записать его общее решение: y ( x ) = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) +…+ C n y n ( x ). 2. Записать решение ЛНДУ в форме общего решения ЛОДУ, считая C i = C i ( x ), i = 1, 2, …, n : y ( x ) = C 1 ( x ) y 1 ( x ) + C 2 ( x ) y 2 ( x ) +…+ C n ( x ) y n ( x ). 3. Построить систему для определения C i ' ( x ) и решить ее согласно ( 14). 4. Найти C i ( x ) и подставить их в общее решение ЛНДУ ( 13).
28
29
30
31
32
33
34
Глава 10, параграф 52. Системы дифференциальных уравнений. 35
36
37
38
39
40
41
Пусть z 1 = x 1 + i y 1 , z 2 = x 2 + i y 2 . z 1 = z 2 если 42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
Z = x + i y, Пример. Представить в тригонометрической форме комплексное число: Z= 1+i. x=1, y=1. 57
Представить в тригонометрической форме комплексное число: Z= 1+i - алгебраическая форма к.ч. Решение. -тригонометрическая форма комплексного числа. 58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
Основные понятия теории функций – предел функции, непрерывность функции и соответствующие им теоремы переносятся на функции комплексной переменной. Отличия начинаются в понятии производной. 79
Смотри подробнее самостоятельно в книге: Письменный Конспект лекций по Высшей математике. Пункт 74.2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. ( стр. 526-527). 80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 90
91
92
Общая степенная функция 93
Arcsin z , Arccos z , Arctg z , Arcctg z , Arcsh z , Arcch z , Arcth z , Arccth z (САМОСТОЯТЕЛЬНО!!!)
w = f ( z ) Доказательство w = u + iv w = z n w = e z w = Lnz заполнить w = z p, p C заполнить w=sinz w=cosz заполнить w=tgz w=ctgz w=shz w=chz заполнить w=Arcsinz w=Arccosz заполнить w=Arctgz w=Arcctgz Основные элементарные функции w = | z | n ( cos n j + i sin n j ) w = e x e iy = e x ( cos y + i sin y ) ln | z |+ i ( argz +2 p k ) 95
Опр. Пусть однозначная функция w = f ( z ) определена в точке z и некоторой ее окрестности. Тогда предел е сли он существует, наз. производной функции f ( z ) в точке, а функция f ( z ) наз. дифференцируемой в точке z. 96
Дифференцирование функции комплексной переменной Пусть однозначная функция w = f ( z ) определена в точке z и некоторой ее окрестности. Этот предел называется производной функции w = f ( z ) в точке z и обозначается 97
Теорема. (Достаточные условия дифференцируемости) Если действительная u ( x, y ) и мнимая v ( x, y ) части функции w = f ( z ) в точке z имеют полные дифференциалы и удовлетворяют условиям Коши – Римана, то функция f ( z ) = u ( x, y ) + i v ( x, y ) дифференцируема в точке z. Теорема. Условия Коши-Римана. (Необходимые условия дифференцируемости ) Если функция w = f ( z ) дифференцируема в точке z, то её действительная и мнимая части обладают частными производными первого порядка, которые удовлетворяют условиям Коши – Римана: и (4.2) Доказать ОПР. Функция f ( z ) называется дифференцируемой в области D, если она дифференцируема в каждой точке этой области. Все правила и формулы дифференцирования функций действительного переменного остаются в силе и для функций комплексного переменного. 98
99
Пример 100
Аналитическая функция ОПР. Функция w = f ( z ) называется аналитической в точке z, если существует окрестность этой точки, в которой f ( z ) аналитична. ОПР. Функция w = f ( z ), однозначная и дифференцируемая во всех точках области D, называется аналитической в этой области. Обратить внимание!!! D В области аналит.=дифф. В точке аналит. > дифф. 101
Теорема. Действительная и мнимая части аналитической функции в области D являются гармоническими в этой области. ДОКАЗАТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО Гармонические функции ОПР. Уравнение вида называется уравнением Лапласа. ОПР. Действительная функция двух действительных переменных j ( x, y ), непрерывная в области D, имеющая непрерывные частные производные второго порядка, являющаяся решением уравнения Лапласа, называется гармонической в области D. 102
103
104
105
106
107
Теорема. Если в точке z 0 производная аналитической функции не равна нулю, то все бесконечно малые дуги, выходящие из точки z 0, при отображении поворачиваются на один и тот же угол, равный аргументу производной, и получают одно и то же растяжение, равное модулю производной. 108
Отображение f достаточно малой окрестности точки z 0 сводится к повороту на угол равный arg ( f ’( z 0 )) и к преобразованию подобия с коэффициентом подобия k = | f ’( z 0 ) |. Геометрический смысл модуля и аргумента производной Показать f g 1 g 2 Q z 0 g 1 g 2 Q z 0 j = arg ( f ’( z 0 )) 109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
Вычислить интеграл. 121
122
123
1. 2. 124
125
Пример. Вычислить интегралы: 1. 2. 126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
а) Г: { А = z 0, z 1, z 2, …, z n = В }, б) z k ∊ ( z k, z k +1 ) в) г) d = max | z k, z k +1 | Предел комплексной интегральной суммы при d → 0 называется интегралом от функции f ( z ) вдоль кривой Г и обозначается § 5. И нтегрирование функции комплексной переменной z 1 z 2 z k z k+1 z n-1 z n А = z 0 В = z n z 1 z 2 z k z n-1 ОПР. Пусть в области D задана однозначная и непрерывная ф. к. п. w = f ( z ) и пусть Г ( АВ ) – произвольная кусочно-гладкая ориентированная кривая ( Г ∊ D ). D (5.1 ) 164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
Р ассмотрим уравнение y + a 1 ( x ) y + a 2 ( x ) y = 0 . Пусть y 1 ( x ) любое ненулевое решение этого уравнения Тогда его общее решение имеет вид ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения если известно, что его решением является функция ( С амостоятельно). 175
Уравнение ( 8 ) называется характеристическим уравнением (для) уравнения ( 6 ). М ногочлен в левой части ( 8 ) называется характеристичес - ким многочленом, К орни уравнения ( 8 ) называются характеристическими корнями уравнения ( 6 ). Замечани я. 1) Формально характеристическое уравнение ( 8 ) получается из ( 6 ) заменой производных искомой функции на соответ - ствующие степени k, а самой функции – на k 0 = 1 . 2) Уравнение ( 8 ) – алгебраическое уравнение n -й степени. оно имеет n корней, но 1) каждый корень считается столько раз, какова его кратность; 2) корни могут быть комплексными (причем, комплексные корни попарно сопряжены). Следовательно, функции вида e x в общем случае не дадут всю ф.с.р. уравнения ( 6 ). 176
Для линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка ф ундаментальная система решений (Ф.С.Р.) с остоит из двух линейно независимых решений Его общее решение находится по формуле: 177
178
179
180
181
182
183
184 ДУ в.п., допускающие понижение порядка № Вид ДУ Замена Решение 1. F ( x, y ( n ) ) = 0 а) – Последовательное понижение порядка ДУ ( n - кратное интегрирование) б) ДУ нельзя разрешить относительно y ( n ) 2. (1 k n ) ( нет y, y ', …, y ( k -1) ) Понижение порядка ДУ на ( n - k ) Если решение ДУ, то ( k -кратное интегрирование ) 3. (нет x ) Понижение порядка ДУ на 1 ,, …
Пример. Представить в тригонометрической форме комплексное число: Z= 1+i. 185
Z = x + i y, 186
187
188
189
190
