Двоичная система: от перевода до вычислений
02. Перевод чисел 03. Сложение в двоичной системе 04. Вычитание и заём 05. Итоги и переход к новым системам 01. Зачем компьютеру двоичный код CONTENTS
01 Зачем компьютеру двоичный код
Двоичная система — язык компьютера Арифметические операции в двоичной системе сведены к минимуму правил, что делает логические схемы компьютера простыми и быстрыми в обработке данных. Основание 2 и состояния Двоичная система использует основание 2, что позволяет компьютерам работать с элементами, имеющими два состояния: включено и выключено. Это упрощает создание надёжных и дешёвых электронных устройств. Простота арифметики Все данные в компьютере хранятся и обрабатываются в виде двоичных чисел. Это обеспечивает единый язык для всех видов данных, от текста до изображений. Универсальность двоичного кода 01 03 02
Достоинства и недостатки для человека Достоинства для компьютера Двоичная система идеальна для компьютеров из-за простоты аппаратной реализации и надёжности. Однако для человека она имеет существенные недостатки. Недостатки для человека Двоичная запись больших чисел становится громоздкой и однородной, что затрудняет чтение и увеличивает вероятность ошибок. Поэтому для человека используются другие системы счисления. 01 02
02 Перевод чисел
Метод развёрнутой формы Для перевода двоичного числа в десятичную систему используется развёрнутая форма записи. Каждый разряд умножается на 2 в степени его позиции. Пример перевода Например, число 1101₂ переводится как 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13. Индекс 2 указывает на основание системы. Общая формула Общая формула перевода двоичного числа в десятичную систему: ∑(цифра × 2^позиция). Это позволяет перевести любое двоичное число. Проверка перевода Перевод можно проверить, обратно переведя десятичное число в двоичную систему и сравнив результаты. Из двоичной в десятичную: развёрнутая форма
Из десятичной в двоичную: деление на 2 Метод деления на 2 Для перевода числа из десятичной системы в двоичную, нужно делить число на 2, записывая остатки на каждом шаге, пока не получится 0. Затем остатки записываются в обратном порядке.
Признаки чётности и делимости Если двоичное число заканчивается на два нуля, оно делится на 4. Это свойство используется для быстрой проверки делимости. Делимость на 4 Общие признаки делимости на 2ⁿ: число делится на 2ⁿ, если его последние n цифр равны нулям. Это упрощает анализ чисел. Общие признаки Последняя цифра двоичного числа показывает его чётность: 0 — чётное, 1 — нечётное. Это позволяет быстро определить свойства числа без перевода. Чётность числа
03 Сложение в двоичной системе
Правила сложения и переноса Основные правила сложения Сложение в двоичной системе выполняется по простым правилам: 0+0=0, 1+0=1, 1+1=10₂ (записываем 0, перенос 1), 1+1+1=11₂ (записываем 1, перенос 1). Перенос в следующий разряд Перенос происходит, когда сумма в текущем разряде превышает 1. Это аналогично десятичной системе, когда сумма превышает 9. 01 02
1 2 3 Пример сложения и проверка Сложим числа 1011101₂ и 110111₂ столбиком, учитывая переносы. Результат будет 10010100₂. Пример сложения Переведём слагаемые в десятичную систему: 93 + 55 = 148. Перевод результата 10010100₂ также даёт 148, подтверждая правильность. Проверка в десятичной системе Проверка перевода и вычислений в обеих системах счисления помогает избежать ошибок и подтверждает правильность алгоритма. Важность проверки
04 Вычитание и заём
Основные правила вычитания Вычитание в двоичной системе выполняется по правилам: 0-0=0, 1-0=1, 1-1=0, 10₂-1=1. Если в разряде 0, а вычитаем 1, берём заём. Механизм займа При заёме старший разряд уменьшается на 1, промежуточные нули становятся единицами, а текущий разряд получает 10₂=2. Аналогия с десятичной системой Механизм займа аналогичен десятичной системе, но проще, поскольку возможны только два состояния разряда. Пример займа Например, при вычитании 1000₂ - 1₂, заём превращает 1000₂ в 0110₂, и результат становится 111₂. Правила вычитания и случаи займа
Пример вычитания и контроль Пример вычитания Вычтем 110111₂ из 1011101₂ столбиком, учитывая займы. Результат будет 100110₂. Проверка в десятичной системе Переведём числа в десятичную систему: 93 - 55 = 38. Перевод результата 100110₂ также даёт 38, подтверждая правильность.
Если уменьшаемое меньше вычитаемого, инвертируем знак и вычитаем наоборот. Например, 10111₂ - 110101₂ становится -(110101₂ - 10111₂), результат -11110₂. Вычитание из меньшего большего Вычитание с инверсией знака
05 Итоги и переход к новым системам
Ключевые выводы о двоичной арифметике Правила арифметики Сложение и вычитание в двоичной системе выполняются по простым правилам с переносом и займом, аналогичным десятичной системе. Признаки свойств чисел Последняя цифра двоичного числа показывает его чётность, а два младших нуля — делимость на 4. Эти признаки упрощают анализ чисел. Универсальность двоичной системы Двоичная система обеспечивает универсальный способ хранения и обработки данных в компьютерах, используя только два символа: 0 и 1. Методы перевода Перевод из двоичной в десятичную систему осуществляется через развёрнутую форму, а из десятичной в двоичную — через деление на 2.
Длинные цепочки нулей и единиц в двоичной системе неудобны для человека из-за их громоздкости и однородности, что увеличивает вероятность ошибок. От двоичной к восьмеричной и шестнадцатеричной Недостатки двоичной системы для человека Для упрощения работы с данными используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы, которые сокращают запись и сохраняют простоту перевода. Переход к восьмеричной и шестнадцатеричной системам
THANK YOU FOR READING！
