ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Конспект лекций Гродно 2011 — презентация

ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Конспект лекций Гродно 2011

Изображение слайда

СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 1 ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛЫ 1.1 ОБОЗНАЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР 1.2 СИМВОЛЫ 2 ЛЕКЦИЯ №1. ВВЕДЕНИЕ. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ ЛИНИИ 2.1 МЕТОД ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ 2.2 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ. КООРДИНАТЫ ТОЧКИ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ 2.3 ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ 3 ЛЕКЦИЯ №2. ЧТЕНИЕ ЧЕРТЕЖА. МЕТРИЧЕСКИЕ И ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ 3.1 ЧТЕНИЕ ЧЕРТЕЖА 3.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ И ЕГО УГЛОВ НАКЛОНА К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ СПОСОБОМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА 3.3 СЛЕДЫ ПРЯМОЙ 3.4 ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ 3.5 ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ 4 ЛЕКЦИЯ № 3. ПЛОСКОСТЬ. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ 4.1 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ 4.2 СЛЕДЫ ПЛОСКОСТИ 4.3 ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ 4.4 ПРЯМАЯ И ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ 4.5 ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ

Изображение слайда

5 ЛЕКЦИЯ № 4. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ 5.1 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ 5.2 ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПЛОСКОСТИ 5.3 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ 5.4 ВЗАИМНО-ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ 6 ЛЕКЦИЯ №5. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ 6.1 ЦЕЛИ И СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ 6.2 СПОСОБ ПЕРЕМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ 6.3 СПОСОБ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕМЕЩЕНИЯ 7 ЛЕКЦИЯ № 6. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ ПЛОСКОСТЯМИ 7.1 ОБЩАЯ МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ТЕЛА ПЛОСКОСТЬЮ 7.2 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННОЙ, ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ И НАХОЖДЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СЕЧЕНИЯ

Изображение слайда

ПРЕДИСЛОВИЕ Знание инженерной графики позволяет специалисту выполнять и читать чертежи и схемы так же, как знание азбуки и грамматики позволяет человеку читать и писать тексты. Условиями успешного овладения техническими знаниями является умение читать чертежи и знание правил их выполнения и оформления. На чертеже форму предмета передают, как правило, несколькими изображениями. Каждое изображение дается только с одной стороны предмета. Чтобы представить себе, рассматривая чертеж, форму предмета в целом, надо мысленно объединить его отдельные изображения. Уметь читать чертеж – это значит по изображениям предмета уметь представить себе его пространственную форму. Инженерная графика формирует и развивает пространственное мышление. Инженерная графика является таким предметом, при изучении которого обучаемые знакомятся с широким кругом технических понятий. Это поможет им овладевать специальными учебными дисциплинами, расширит их технический кругозор и позволит осознанно читать любую техническую литературу, содержащую чертежи и схемы. Знание этой дисциплины в дальнейшем облегчает изучение общеинженерных и специальных дисциплин. Невозможно представить инженера, не знающего основ теории и практики построения изображений.

Изображение слайда

1 ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛЫ 1.1 ОБОЗНАЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР 1.1.1 Точка и прямая А, В, С или 1, 2, 3 – точки, расположенные в пространстве (прописные буквы латинского алфавита или арабские цифры); А 1, А 2, А 3 или 1 1, 1 2, 1 3 − последовательность точек; а,b, c,d,e,g − прямые и кривые линии пространства (строчные буквы латинского алфавита) h,,f, p – главные линии плоскости (горизонталь h, фронталь f, профильная прямая p ); (АВ) – прямая, проходящая через точку А и В ; [ АВ ] – отрезок прямой, ограниченный точками А и В ; | АВ | – длина отрезка АВ или расстояние между точками А и В ; А 1, А 2, А 3 – проекции точки А (горизонтальная А 1, фронтальная А 2, профильная А 3 ); – аксонометрическая проекция точки А ; а 1, а 2, а 3 – проекции линии (горизонтальная а 1, фронтальная а 2, профильная а 3 ); – аксонометрическая проекция прямой а ; [ А 1 В 1 ],[ А 2 В 2 ] – проекции отрезка прямой АВ (горизонтальная [ А 1 В 1 ], [ А 3 В 3 ] фронтальная [ А 2 В 2 ], профильная [ А 3 В 3 ]); M, N, P – следы прямой (горизонтальный М, фронтальный N, профильный Р); x, y, z – оси проекций; x 12, y 13, z 23 – оси проекций с добавлением индексов плоскостей проекций; s 14, s 25, s 45 – новые оси проекций; , – аксонометрические оси проекций; i, j – оси вращения

Изображение слайда

1.1.2 Плоскость П 1, П 2, П 3 – плоскости проекций (горизонтальная П 1, фронтальная П 2, профильная П 3 ); П 4, П 5 – новые плоскости проекций; П ΄ – плоскость аксонометрических проекций; Г, Θ, Ρ, Σ, Τ – плоскости и поверхности (прописные буквы греческого алфавита); Θ ( А, В, С ) – плоскость Θ задана тремя точками А, В и С ; Р ( а, А ) – плоскость Р задана прямой а и точкой А ; Σ ( b∩с ) – плоскость Σ задана двумя пересекающимися прямыми b и с ; Т ( d//е ) – плос Ф (∆ АВС ) – плоскость Ф задана плоской фигурой – треугольником АВС ; кость Т задана двумя параллельными прямыми d и е ; – следы плоскостей общего положения (горизонтальный Р П1, фронтальный Р П2, профильный Р П3 ); Г 1, Г 2, Г 3 – следы проецирующих плоскостей (горизонтальный Г 1, фронтальный Г 2, профильный Г 3 ). , , АВС – угол с вершиной в точке В ; α, β, γ – углы наклона к плоскостям проекций (строчные буквы греческого алфавита); угол наклона к горизонтальной плоскости проекций α, к фронтальной  β, к профильной  γ ; ∟ – прямой угол. 1.1.3 Угол

Изображение слайда

Символы Наименование Пример символической записи и чтения 1.2.1 Символы, выражающие отношение между геометрическими фигурами = ≡ ~ //  → Результат Совпадение Подобны Параллельны Перпендикулярны Скрещиваются Отображение, замена Направление проецирования а ∩ Р = К – прямая а пересекает плоскость Р в точке К ( АВ ) ≡ ( СD ) – прямая, проходящая через точки А и В, совпадает с прямой, проходящей через точки С и D М ≡ М 1 – горизонтальный след М прямой совпадает со своей горизонтальной проекцией М 1 ∆ АВС ~ ∆ М N К – треугольники АВС и М N К подобны а// b – прямые а и b параллельны с Σ – прямая с перпендикулярна плоскости Σ а ^ b  прямые а и b скрещиваются П 2 → П 4 – плоскость проекций П 2 заменена плоскостью проекций П 4 1.2 СИМВОЛЫ 

Изображение слайда

Символы Наименование Пример символической записи и чтения 1.2.2 Символы теоретико-множественные   или  ∩ Принадлежность Включение Пересечение Объединение А  а – точка А принадлежит прямой а b  М – прямая b содержит точку М или прямая b проходит через точку М а  Р – прямая а принадлежит плоскости Р Θ  b – плоскость Θ проходит через прямую b или прямая b заключена в плоскость Θ с∩ d – прямые с и d пересекаются т∩ Т – прямая т пересекается с плоскостью Т АВС D = [ АВ ] [ ВС ] [ CD ] – ломаная линия АВС D есть объединение отрезков АВ, ВС и С D. 1.2.3 Символы, обозначающие логические операции     Конъюнкция, И Дизъюнкция, ИЛИ Импликация Эквивалентность А∩ В = х ; (х  А  х  В) – пересечение множеств А и В есть множество, состоящее из всех тех и только тех элементов х, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В. А В = х ; (х  А х  В) – объединение множеств А и В есть множество, состоящее из всех тех и только тех элементов х, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В, или обоим − «если …, то …» ( а // с )  ( b // c )  а // b  если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой − «тогда и только тогда, когда …», «если …, то…» а  Р  М  Р П1  N  Р П2 прямая а принадлежит плоскости Р тогда и только тогда, когда горизонтальный след М прямой а лежит на горизонтальном следе Р П1 плоскости Р и фронтальный след N прямой а лежит на фронтальном следе Р П2 плоскости Р     

Изображение слайда

2. ЛЕКЦИЯ №1. ВВЕДЕНИЕ. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ ЛИНИИ Основная цель учебной дисциплины «Инженерная графика» заключается в том, чтобы научиться правильно, в соответствии с требованиями стандартов «Единой системы конструкторской документации» (ЕСКД), изображать на чертежах и схемах различные изделия, читать чертежи и схемы, а также решать различные геометрические задачи. Изготовление различных предметов (изделий), строительство сооружений выполняется по чертежам. Чертежом называется плоское изображение фигуры (предмета), выполненное в соответствии с правилами начертательной геометрии. Начертательная геометрия – это раздел геометрии, изучающий способы построения изображений пространственных фигур на плоскости и алгоритмы решения метрических и позиционных задач по заданным изображениям этих фигур. Метрическими называют задачи по определению различных величин (расстояний, углов, длин отрезков и т.д.). Позиционными называют задачи по определению положения геометрической фигуры в пространстве и взаимного положения геометрических фигур. Важное прикладное значение начертательной геометрии состоит в том, что она учит грамотно владеть выразительным техническим языком  языком чертежа, создавать чертежи и свободно читать их.

Изображение слайда

Выдающийся русский ученый профессор Курдюмов В.И.(1853 1904) дал следующее образное определение начертательной геометрии: “Если чертеж является языком техники, одинаково понятным всем народам, то начертательная геометрия служит грамматикой этого языка, т.е. она учит, как правильно читать чужие и излагать наши собственные мысли, пользуясь в качестве слов одними только линиями и точками как элементами всякого изображения”. Основателем начертательной геометрии считается французский ученый Гаспар Монж (1746  1818). Правила построения изображений, рассматриваемые в начертательной геометрии, основаны на использовании метода проекций. Изучение метода проекций начинают с построения проекций точки и отрезка прямой, которые являются простейшими элементами пространственных фигур. 2.1 МЕТОД ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ Проецирование  процесс получения изображения предмета на плоскости (от латинского слова proectio  бросание вперед, вдаль). Плоскость, на которой получается изображение, называется плоскостью проекций, а полученное на ней изображение  проекцией. Пусть имеется какая-то плоскость П 1 и отрезок прямой АВ. Чтобы построить параллельную прямоугольную проекцию отрезка прямой АВ на плоскость П 1, надо через его концевые точки А и В провести параллельные прямые (проецирующие лучи) перпендикулярно плоскости П 1.Точки пересечения проецирующих лучей с плоскостью П 1 (А 1,В 1 ) являются параллельными прямоугольными проекциями точек А и В, а отрезок [ A 1 B 1 ]  параллельная прямоугольная проекция отрезка AB. А В Плоскость проекций Проецирующие лучи А 1 В 1 S  П 1 S - направление проецирования [A 1 B 1 ]  П 1 П 1 Показать

Изображение слайда

А В Плоскость проекций Проецирующие лучи А 1 В 1 S  П 1 S - направление проецирования [A 1 B 1 ]  П 1 П 1 [A 1 B 1 ] П 1 Точки пересечения проецирующих лучей с плоскостью П 1 (А 1,В 1 ) являются параллельными прямоугольными проекциями точек А и В, а отрезок [A 1,B 1 ] - параллельная прямоугольная проекция отрезка АВ. [AB] -отрезок прямой, ограниченный концевыми точками А и В Плоскость проекций  плоскость, на которой получают изображение Чтобы построить параллельную прямоугольную проекцию отрезка прямой АВ на плоскость П 1 надо через его концевые точки А и В провести параллельные прямые (проецирующие лучи) перпендикулярно плоскости П 1.

Изображение слайда

Параллельное прямоугольное (ортогональное) проецирование обладает следующими инвариантными (независимыми) свойствами: а ) точка проецируется в точку; б ) прямая проецируется в прямую; в ) если точка принадлежит прямой, то и проекции точки принадлежат проекциям этой прямой; г ) если прямые пересекаются в какой-то точке, то проекция этой точки определяется пересечением проекций этих прямых; д ) если прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны; е ) отношение отрезков прямой равно отношению проекций этих отрезков; ж ) отношение отрезков параллельных прямых равно отношению проекций этих отрезков; и ) если фигура принадлежит плоскости, параллельной плоскости проекций, то она проецируется на эту плоскость проекций в натуральную величину. Параллельное прямоугольное (ортогональное) проецирование лежит в основе выполнения всех чертежей. А a ) А 1 а а 1 d d 1 б) в) С С 1 а а 1 b b 1 С С 1 г) П 1 П 1 П 1 П 1 П 1 А В В 1 А 1 С С 1 П 1 В П П 1 В 1 В С D А 1 D 1 С 1 А П 1 А С В 1 А 1 С 1 а а 1 b b 1 е) ж) д) и)

Изображение слайда

ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ а ) точка проецируется в точку; б ) прямая проецируется в прямую; в ) если точка принадлежит прямой, то и проекции точки принадлежат проекциям этой прямой; г ) если прямые пересекаются в какой-то точке, то проекция этой точки определяется пересечением проекций этих прямых; А a ) А 1 а а 1 d d 1 б) в) С С 1 а а 1 b b 1 С С 1 г) П 1 П 1 П 1 П 1

Изображение слайда

|А C| | BC| |А 1 C 1 | | B 1 C 1 | |АВ | |С D| |А 1 В 1 | |С 1 D 1 | ΔАВС  П  П 1 ∆ АВС=А 1 В 1 С 1 П 1 А В В 1 А 1 С С 1 П 1 В П П 1 В 1 В С D А 1 D 1 С 1 А П 1 А С В 1 А 1 С 1 е) отношение отрезков прямой равно отношению проекций этих отрезков; д) если прямые параллельны, то их проекции параллельны; ж) отношение отрезков параллельных прямых равно отношению проекций этих отрезков; и) если фигура лежит в плоскости параллельной плоскости проекций, то она проецируется на эту плоскость в натуральную величину. д) а а 1 b b 1 е) ж) и) а  b  a 1  b 1

Изображение слайда

2.2 ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ. КООРДИНАТЫ ТОЧКИ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ Имея одну проекцию точки, нельзя определить ее положение в пространстве. Для этого нужны ее проекции на две, три и более плоскостей. В техническом черчении в качестве плоскостей проекций берут три взаимно-перпендикулярные плоскости: горизонтальная плоскость проекций П 1, фронтальная плоскость проекций П 2, профильная плоскость проекций П 3. Для построения проекций точки на эти плоскости проекций из заданной точки проводят проецирующие лучи перпендикулярно плоскостям проекций. В результате получают три проекции точки: А 1  горизонтальная проекция точки А; А 2  фронтальная проекция точки А; А 3  профильная проекция точки А. z А 2 А 3 А 1 A x A y A z o П 1 П 3 П 2 x y A

Изображение слайда

А 2 А 3 А 1 A x A y A z o П 1 П 3 П 2 x z y П 1 -горизонтальная плоскость проекций. A П 2 -фронтальная плоскость проекций. П 3 -профильная плоскость проекций. о x, о y, oz- оси проекций (ох=П 1 ∩П 2 ; oy= П 1 ∩П 3 ; oz= П 2 ∩П 3 А 1,А 2,А 3 -горизонтальная, фронтальная, профильная проекции точки А.

Изображение слайда

Взаимно-перпендикулярные плоскости П 1, П 2, П 3 называются координатными плоскостями, а расстояния между ними и заданной точкой  координатами точек. Линии пересечения двух плоскостей проекций образуют оси координат (ox,oy,oz). Начало координат  точка пересечения трех плоскостей проекций (о). Показанное изображение проекций точки наглядно, но неудобно. В начертательной геометрии проекции точки изображают в одной плоскости (плоскости листа). Для этого плоскость проекций П 1 поворачивают вокруг оси ox, а плоскость проекций П 3  вокруг оси oz до совмещения с плоскостью проекций П 2. В результате получают трехплоскостной чертеж, известный еще под названием эпюр (эпюр Монжа, комплексный чертеж или просто чертеж). z А 1 90 0 П 1 П 3 А 2 А 3 А 1 A x A y A z o П 1 П 3 П 2 x y А 3 y y 90 0 A

Изображение слайда

А 1 90 0 П 1 П 3 А 2 А 3 А 1 A x A y A z o П 1 П 3 П 2 x z y А 3 y y 90 0 П 1 -горизонтальная плоскость проекций. A П 2 -фронтальная плоскость проекций. П 3 -профильная плоскость проекций. о x, о y, oz- оси проекций (ох=П 1 ∩П 2 ; oy= П 1 ∩П 3 ; oz= П 2 ∩П 3 А 1,А 2,А 3 -горизонтальная, фронтальная, профильная проекции точки А.

Изображение слайда

А 2 А 3 А 1 A x A y A z o П 1 П 3 П 2 x z y y A y Вертикальная линия связи Горизонтальная линия связи оА х -расстояние от точки А до плоскости П 3, координата х, абсцисса ; оА y -расстояние от точки А до плоскости П 2, координата y,ордината ; оА z -расстояние от точки А до плоскости П 1, координата z, аппликата. X А Y А Z А

Изображение слайда

А 2 А 3 А 1 A x A y A z o П 1 П 3 П 2 z y y A y x Эпюр (очищенный чертеж, комплексный чертеж, чертеж)  изображение проекций геометрической фигуры на совмещенных плоскостях проекций Постоянная линия чертежа 45 0 [ A x O ]  расстояние от точки А до плоскости П 3  координата x (абсцисса). [ A y O ]  расстояние от точки А до плоскости П 2  координата Y (ордината). [ A z O ]  расстояние от точки А до плоскости П 1  координата Z (аппликата). А( x, y, z )  точка А задана координатами x, y, z. Вертикальная линия связи Горизонтальная линия связи На чертеже проекции точки лежат на вертикальных и горизонтальных линиях связи (проекционная связь)

Изображение слайда

2.3 ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ Ранее мы установили, что для построения проекции отрезка прямой надо построить проекции его концевых точек и соединить их. В зависимости от положения отрезка прямой относительно плоскостей проекций различают прямые общего и частного положения. 2.3.1 Прямые общего положения Прямой общего положения называется прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, а ее проекции  не параллельны ни одной из осей проекций. y A 2 B 2 A 1 В 1 В 3 A 3 A В П 2 П 1 П 3 z x x y z A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 В 3 y

Изображение слайда

2.3.2 Прямые частного положения Прямые частного положения - это прямые, параллельные (прямые уровня) или перпендикулярные (проецирующие прямые) плоскостям проекций. 2.3.2.1 Прямые уровня Прямой уровня называется прямая, параллельная одной из плоскостей проекций. Различают три типа прямых уровня. 1 Горизонтальная прямая  это прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций П 1. y x y z A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 |AB|   y В 3 A 2 B 2 A 1 В 1 A 3 A В П 2 П 1 П 3 z x  

Изображение слайда

2 Фронтальная прямая  это прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций П 2. С 2 С 1 D 3 С 3 С П 2 П 1 П 3 z  y D 2 D D 1 x  y x C 2 z C 1 D 1 D 2 |CD|  C 3 D 3 y  

Изображение слайда

3 Профильная прямая  это прямая, параллельная профильной плоскости проекций П 3. y [EF] || П 3  [E 3 F 3 ]=|EF| z x y F 1 E 1 F 2 E 2 F 3 E 3  |EF| y  E 3 П 2 П 1 П 3  F 2 F E 1 x  E F 1 E 2 F 3 z

Изображение слайда

2.3.2.2 Проецирующие прямые Проецирующей прямой называется, прямая перпендикулярная одной из плоскостей проекций. Различают три типа проецирующих прямых. 1 Горизонтально-проецирующая прямая  это прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций П 1 и параллельная двум другим плоскостям проекций A 2 B 2 A 1  В 1 В 3 A 3 A В П 2 П 1 y x z П 3 x y y z A 1  В 1 A 2 B 2 B 3 A 3 |AB| |AB| [AB]  П 1  [A 2 B 2 ] ^ [A 3 B 3 ]=|AB|

Изображение слайда

2 Фронтально-проецирующая прямая  это прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций П 2 и параллельная двум другим плоскостям проекций  С D  y z П 2 П 1 П 3 C 2  D 2 D 1 C 1 D 3 D C x y C 1 x z D 1 C 2  D 2 D 3 C 3 | С D| С 3 [CD]  П 2  [C 1 D 1 ] ^ [C 3 D 3 ]=  CD|

Изображение слайда

3 Профильно-проецирующая прямая  это прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций П 3 и параллельная двум другим плоскостям проекций. [EF]  П 3  [E 1 F 1 ] ^ [E 2 F 2 ]=|EF| П 2 П 1 E 3  F 3 П 3 E 2 F 2 E F E 1 F 1 x y z x y y z E 3  F 3 E 1 F 1 E 2 |AB| F 2

Изображение слайда

y A 2 B 2 A 1 В 1 В 3 A 3 A В П 2 П 1 П 3 z x ПРЯМАЯ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ Прямой общего положения называется прямая не параллельная ни одной плоскости проекций, а ее проекции не параллельны ни одной оси проекций. x y z A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 В 3 y

Изображение слайда

[AB] || П 1  [A 1 B 1 ]=|AB| y x y z A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 |AB|   ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ПРЯМАЯ Горизонтальной называется прямая параллельная горизонтальной плоскости проекций. y В 3 A 2 B 2 A 1 В 1 A 3 A В П 2 П 1 П 3 z x  

Изображение слайда

[CD] || П 2  [C 2 D 2 ]=|CD| С 2 С 1 D 3 С 3 С П 2 П 1 П 3 z  y D 2 D D 1 x  y x C 2 z C 1 D 1 D 2 |CD|  C 3 D 3 y   Фронтальной называется прямая параллельная фронтальной плоскости проекций.

Изображение слайда

ПРОФИЛЬНАЯ ПРЯМАЯ [EF] || П 3  [E 3 F 3 ]=|EF| Профильной называется прямая параллельная профильной плоскости проекций. z x y F 1 E 1 F 2 E 2 F 3 E 3  |EF| y  E 3 П 2 П 1 П 3  y F 2 F E 1 x  E F 1 E 2 F 3 z

Изображение слайда

[AB]  П 1  [A 2 B 2 ] ^ [A 3 B 3 ]=|AB| A 2 B 2 A 1  В 1 В 3 A 3 A В П 2 П 1 y x z П 3 x y y z A 1  В 1 A 2 B 2 B 3 A 3 |AB| |AB| ГОРИЗОНТАЛЬНО-ПРОЕЦИРУЮЩАЯ ПРЯМАЯ Горизонтально-проецирующей называется прямая перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций

Изображение слайда

[CD]  П 2  [C 1 D 1 ] ^ [C 3 D 3 ]=  CD|  С D  y z П 2 П 1 П 3 C 2  D 2 D 1 C 1 D 3 D C x y y C 1 x z D 1 C 2  D 2 D 3 C 3 | С D| ФРОНТАЛЬНО-ПРОЕЦИРУЮЩАЯ ПРЯМАЯ Фронтально-проецирующей называется прямая перпендикулярная фронтальной плоскости проекций С 3

Изображение слайда

[EF]  П 3  [E 1 F 1 ] ^ [E 2 F 2 ]=|EF| П 2 П 1 E 3  F 3 П 3 E 2 F 2 E F E 1 F 1 x y z x y y z E 3  F 3 E 1 F 1 E 2 |AB| F 2 ПРОФИЛЬНО-ПРОЕЦИРУЮЩАЯ ПРЯМАЯ Профильно-проецирующей называется прямая перпендикулярная профильной плоскости проекций

Изображение слайда

3. Лекция №2. ЧТЕНИЕ ЧЕРТЕЖА. МЕТРИЧЕСКИЕ И ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ 3.1 ЧТЕНИЕ ЧЕРТЕЖА Под чтением чертежа понимают извлечение полезной информации о форме, размерах и положении в пространстве предмета по заданным его проекциям. Например, на чертеже задан отрезок прямой АВ своими проекциями. Из рассмотрения проекций видно, что фронтальная проекция параллельна оси х, следовательно, прямая АВ  это прямая, параллельная плоскости П 1, и горизонтальная ее проекция А 1 В 1 по длине равна натуральной величине отрезка прямой АВ. Угол   угол наклона прямой АВ к плоскости П 2. В результате чтения чертежа получена информация о размерах и положении в пространстве прямой АВ. А 1 А 2 В 2 В 1 |АВ|  x [ А 1 В 1 ] =  АВ  [AB]  П 1

Изображение слайда

3.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ И ЕГО УГЛОВ НАКЛОНА К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ СПОСОБОМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА Ни одна из проекций отрезка прямой общего положения не равна его истинной (натуральной) величине. Для определения натуральной длины отрезка общего положения используют способ прямоугольного треугольника. Натуральная длина отрезка прямой общего положения определяется как гипотенуза прямоугольного треугольника, один катет которого  проекция отрезка на плоскость проекций, а второй – разность расстояний концов отрезка до этой же плоскости проекций. A 1 A 2 B 2 B 1  Z |AB|  Y  Y |AB|   х  Z Z В Z А A 2 B 2 A 1 B 1 П 2 B   Z П 1 A D  Z=Z B Z A [AD]=[A 1 B 1 ]

Изображение слайда

A 1 A 2 B 2 B 1  Z |AB|  Y  Y |AB|   х  Z Z В Z А A 2 B 2 A 1 B 1 П 2 B   Z П 1 A СПОСОБ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА Натуральная длина отрезка прямой общего положения определяется как гипотенуза прямоугольного треугольника, один катет которого  проекция отрезка на плоскость проекций, а второй – разность расстояний концов отрезка до этой же плоскости проекций. D  Z=Z B Z A [AD]=[A 1 B 1 ]

Изображение слайда

3.3 СЛЕДЫ ПРЯМОЙ Положение прямой в пространстве однозначно определяют следы прямой. Нахождение следов прямой – это пример решения позиционной задачи. Следом прямой называется точка ее пересечения с плоскостью проекций. Графический алгоритм построения следа прямой Для построения горизонтального следа прямой нужно продлить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью х (точка М 2 ) и из этой точки провести перпендикулярную прямую к оси х до пересечения с продолжением горизонтальной проекции отрезка (точка М  М 1 ). Для построения фронтального следа прямой нужно продлить ее горизонтальную проекцию до пересечения с осью х (точка N 1 ) и из этой точки провести перпендикулярную прямую к оси х до пересечения с продолжением фронтальной проекции отрезка (точка N N 2 ). A 2 B 2 B 1 П 2 B П 1 A M N N 1 M 2 A 1 A 2 B 2 B 1 N  N 2 N 1 M  M 1 M 2 x x  M 1  N 2 А 1

Изображение слайда

М 1, N 1  горизонтальные проекции горизонтального и фронтального следов. M 2, N 2  фронтальные проекции горизонтального и фронтального следов. A 2 B 2 B 1 П 2 B П 1 A M N N 1 M 2 A 1 A 2 B 2 B 1 N  N 2 N 1 M  M 1 M 2 x СЛЕДЫ ПРЯМОЙ Следом прямой называется точка, в которой прямая пересекает плоскость проекций x (AB)∩ П 1 =М, М  П 1  (АВ) М горизонтальный след прямой (АВ)∩П 2 = N, N  П 2  (АВ) N фронтальный след прямой  M 1  N 2 А 1

Изображение слайда

3.4 ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекаться и скрещиваться. 3.4.1 Параллельные прямые Если две прямые параллельны, то их одноименные проекции тоже параллельны. A 1 D 1 B 1 A 2 B 2 C 2 D 2 x [AB] || [CD]  [A 1 B 1 ] || [C 1 D 1 ] [A 2 B 2 ] || [C 2 D 2 ] C 1

Изображение слайда

[AB] || [CD]  [A 1 B 1 ] || [C 1 D 1 ] ^ [A 2 B 2 ] || [C 2 D 2 ] A 2 A 1 B 2 B A C 2 D 2 C 1 C D D 1 B 1 П 2 П 1 x ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ Если прямые параллельны, то их одноименные проекции тоже параллельны A 1 D 1 B 1 A 2 B 2 C 2 D 2 x C 1

Изображение слайда

3.4.2 Пересекающиеся прямые Две прямые пересекаются, если их одноименные проекции пересекаются и проекции точек пересечения лежат на одной линии связи. A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 D 1 D 2 K 2 K 1 x [AB]∩[CD]

Изображение слайда

[AB] [CD]= К K 1 A 1 A 2 B 1 B 2 C 1 C 2 D 1 D 2 K 2 x ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ Если две прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются, а проекции точки пересечения лежат на одной линии связи.  A 1 A 2 B 1 K 2 x C 2 D 2 K 1 B 2 C 1 D 1 B A D C П 2 П 1 К

Изображение слайда

3.4.3 Скрещивающиеся прямые Две прямые скрещиваются, если их одноименные проекции не параллельны, а если пересекаются, то проекции точек пересечения не лежат на одной линии связи. A 1 A 2 B 2 B 1 C 2 C 1 D 1 D 2 x [AB] [CD]  Таким образом, по взаимному положению одноименных проекций двух прямых можно определить их относительное положение в пространстве.

Изображение слайда

A 1 A 2 B 1 x C 2 D 2 B 2 C 1 D 1 B A D C П 2 П 1 A 1 A 2 B 2 B 1 C 2 C 1 D 1 D 2 x СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ Если две прямые скрещиваются, то их одноименные проекции не параллельны, а если пересекаются, точки пересечения проекций не лежат на одной линии связи.

Изображение слайда

3.4.4 Взаимно-перпендикулярные прямые Если две прямые в пространстве пересекаются под прямым углом, то их проекции, в общем случае, образуют не прямой угол. Для того чтобы прямой угол проецировался на плоскость проекций в натуральную величину необходимо, чтобы одна его сторона была параллельна этой плоскости проекций, а другая  не перпендикулярна этой плоскости. x c 2 c 1 d 2 d 1 e 2 e 1 f 2 f 1 x с  d  c || П 1  с 1  d 1 е  f  e || П 2  e 2  f 2

Изображение слайда

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПРЯМОГО УГЛА с  d ^ c || П 1  с 1  d 1 c 2 x c 1 d 2 d 1 е  f ^ e || П 2  e 2  f 2 e 2 e 1 f 2 f 1 x Для того, чтобы прямой угол проецировался на плоскость проекций в натуральную величину, необходимо, чтобы одна его сторона была параллельна этой плоскости проекций, а другая- не перпендикулярна этой плоскости.

Изображение слайда

3.5 ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ В соответствии со свойствами параллельных проекций отношение отрезков прямой равно отношению проекций этих отрезков. На основании этого задача деления отрезка прямой в заданном отношении на чертеже решается путем деления в этом же отношении проекций этого отрезка. Рассмотрим пример деления отрезка прямой CD в отношении 2:5. Проведем через точку С 1 вспомогательную прямую под любым углом к горизонтальной проекции C 1 D 1 и отложим на ней семь равных отрезков произвольной длины. Отметим точку К 0, делящую вспомогательную прямую в отношении 2:5. C 2 C 1 D 1 K 1 K 2 D 0 K 0 x D 2 Соединив точку D 0 с точкой D 1 и проведя через точку К 0 прямую, параллельную прямой D 0 D 1, получим точку К 1, которая делит горизонтальную проекцию C 1 D 1 в заданном отношении. Фронтальную проекцию К 2 находим с помощью вертикальной линии связи.

Изображение слайда

C 2 C 1 D 1 K 1 K 2 D 0 K 0 x D 2 ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ЗАДАННОМ ОТНОШЕНИИ (2/5)

Изображение слайда

4. ЛЕКЦИЯ № 3. ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО И ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ. ПРЯМАЯ И ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ 4.1 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ На чертеже плоскость может быть задана :  проекциями трех точек, не лежащими на одной прямой Р(А,В,С);  проекциями прямой и точки, не лежащей на данной прямой Q ( b, A );  проекциями двух параллельных прямых Σ(с|| d );  проекциями двух пересекающихся прямых T ( e ∩ f );  проекцией любой плоской фигуры  (  ABC );  следами плоскости. А 1 А 2 В 2 В 1 С 2 С 1 х b 1 b 2 А 2 А 1 c 2 c 1 d 1 d 2 х e 1 e 2 f 1 f 2 х х х А 1 А 2 В 1 В 2 С 1 С 2 Р(А,В,С) ; Q(b, A) Σ(с ||d) T(e ∩ f)  (  ABC) Каждый из рассмотренных способов можно преобразовать в любой другой.

Изображение слайда

c 2 c 1 d 1 d 2 х Σ( с || d ) e 1 e 2 f 1 f 2 х T (e ∩ f ) СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ 1. Тремя точками не лежащими на одной прямой - Р(А,В,С). 2. Прямой и точкой не лежащей на этой прямой - Q(b, A ). 3. Двумя параллельными прямыми - Σ(с ||d). 4. Двумя пересекающимися прямыми - T (e ∩ f ). 5. Любой плоской геометрической фигурой -  (  ABC). 6. Следами. В 2 А 1 А 2 В 1 С 2 х С 1 Р(А,В,С) b 1 b 2 А 2 А 1 х Q( b, A ) С 1 х А 1 А 2 В 1 В 2 С 2  (  ABC)

Изображение слайда

Р п 2 п 3 Р Р п 1 4.2 СЛЕДЫ ПЛОСКОСТИ Следом плоскости называется прямая линия, по которой плоскость пересекает плоскость проекций.  горизонтальный след плоскости Р  фронтальный след плоскости Р  профильный след плоскости Р z П 2 П 1 П 3 y x Р х Р y Р z п 1 Р п 3 Р Р Р п 2

Изображение слайда

z П 2 П 1 П 3 y x СЛЕДЫ ПЛОСКОСТИ Р п 1 Р п 2 Р п 3 Р x Р y Р y Р z x y z y Следом плоскости называется прямая, по которой плоскость пересекает плоскость проекций. п 1 Р - горизонтальный след плоскости. п 1 Р П 1 п 2 Р - фронтальный след плоскости. п 2 Р П 2 Р п 3 Р - профильный след плоскости. п 3 П 3 Р x,Р y,P z – точки схода следов. Р х Р y Р z п 1 Р п 3 Р Р Р п 2

Изображение слайда

Плоскость Р называется плоскостью общего положения, так как она не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций. Точки Р х, Р y, Р z, в которых следы плоскости пересекают оси проекций, называются точками схода следов. Р Р Р п 1 п 2 п 3 Р x Р y Р y Р z x y z y Из анализа следов видно, что горизонтальная проекция горизонтального следа совпадает с самим следом, а фронтальная проекция – с осью х. Фронтальная проекция фронтального следа совпадает с самим следом, а горизонтальная  с осью х. Следы плоскости можно построить при любом из способов ее задания. Для построения следа плоскости достаточно построить две точки, принадлежащие одновременно заданной плоскости и плоскостям проекций. Такими точками могут быть следы прямой, принадлежащей этой плоскости.

Изображение слайда

4.3 ПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ В зависимости от положения плоскости относительно плоскостей проекций различают: а) плоскости общего положения; б) проецирующие плоскости; в) плоскости уровня, или дважды проецирующие плоскости. 4.3.1 Проецирующие плоскости Проецирующими называются плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций. Существует три типа проецирующих плоскостей: горизонтально-проецирующая плоскость, фронтально-проецирующая плоскость и профильно-проецирующая плоскость. 1 Горизонтально-проецирующей называется плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций. Горизонтально-проецирующая плоскость имеет горизонтальный собирательный след. Это значит, что горизонтальные проекции всех фигур, лежащих в этой плоскости, будут находиться на ее горизонтальном следе. y Г 1 Г 2 Г x Г 3 Г y Г y A 1 B 1 C 1 Собирательный след A 3 B 3 C 3 x z П 2 П 1 П 3 y Г х Г y x Г 2 Г 1 Г 3 A 2 B 2 C 2 Г A B C Г П 1 A 1 B 1 C 1 A 2 В 2 С 2 A 3 В 3 С 3

Изображение слайда

y y  ABC  Г  П 1  [A 1 B 1 C 1 ]  Г 1 z Г 1 Г 2 Г x Г 3 Г y Г y A 1 B 1 C 1 Собирательный след A 3 B 3 C 3 x z П 2 П 1 П 3 y Г х Г y x Г 2 Г 1 Г 3 ГОРИЗОНТАЛЬНО-ПРОЕЦИРУЮЩАЯ ПЛОСКОСТЬ A 2 B 2 C 2 Горизонтально-проецирующей называется плоскость перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций Г A B C Г П 1 A 1 B 1 C 1 y A 2 В 2 С 2 A 3 В 3 С 3

Изображение слайда

z 2 Фронтально-проецирующей называется плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций. [AB]  Ф  П 2  [A 2 B 2 ]  Ф 2 y z x y Ф 2 Ф z Ф 1 Ф x Ф 3 A 1 A 2 B 2 B 1 B 3 A 3 C обирательный след x y Ф Ф 2 Ф 1 Ф 3 Ф x Ф z П 1 П 2 П 3 z Ф П 2 A B A 1 B 1 A 3 B 3 A 2 B 2

Изображение слайда

[AB]  Ф  П 2  [A 2 B 2 ]  Ф 2 y z x y Ф 2 Ф z Ф 1 Ф x Ф 3 A 1 A 2 B 2 B 1 B 3 A 3 C обирательный след x y Ф Ф 2 Ф 1 Ф 3 Ф x Ф z П 1 П 2 П 3 z Ф П 2 ФРОНТАЛЬНО-ПРОЕЦИРУЮЩАЯ ПЛОСКОСТЬ Фронтально-проецирующей называется плоскость перпендикулярная фронтальной плоскости проекций A B A 1 B 1 A 3 B 3 A 2 B 2

Изображение слайда

3 Профильно-проецирующей называется плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций. Важным свойством проецирующей плоскости является то, что она имеет собирательный след. y A  Σ  П 3  А 3  Σ 3 Собирательный след z x Σ y Σ 2 Σ y A 1 A 2 A 3 y Σ 3 Σ 1 Σ z x П 1 П 2 П 3 z  Σ 2 Σ 3 Σ 1 Σ z Σ y П 3 A A 3 y А 1 А 2

Изображение слайда

y A  Σ  П 3  А 3  Σ 3 Собирательный след z x Σ y Σ 2 Σ y A 1 A 2 A 3 y Σ 3 Σ 1 Σ z x П 1 П 2 П 3 z  Σ 2 Σ 3 Σ 1 Σ z Σ y П 3 A A 3 Профильно-проецирующей называется плоскость перпендикулярная профильной плоскости проекций y ПРОФИЛЬНО-ПРОЕЦИРУЮЩАЯ ПЛОСКОСТЬ А 1 А 2

Изображение слайда

4.3.2 Плоскости уровня, или дважды проецирующие плоскости Существует три типа плоскостей уровня : горизонтальная, фронтальная, профильная. 1 Горизонтальной называется плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций, она же перпендикулярная фронтальной и профильной плоскостям проекций. Горизонтальная плоскость имеет два собирательных следа: фронтальный и профильный. На горизонтальную плоскость проекций фигура, лежащая в горизонтальной плоскости, проецируется в натуральную величину. x y A 1 A 2 B 1 B 2 C 2 C 1 A 3 B 3 C 3 Г z Г 2 Г 3 НВ z y x П 1 П 2 П 3 z Г 2 Г Г 3 Г z A 2 B 2 C 2 A 3 B 3 C 3 A 1 C 1 B 1 НВ Собирательные следы АВСГА 1 В 1 С 1  | АВС | A B C Г  П 1

Изображение слайда

x y A 1 A 2 B 1 B 2 C 2 C 1 A 3 B 3 C 3 Г z Г 2 Г 3 НВ z y x П 1 П 2 П 3 z Г 2 Г Г 3 Г z A 2 B 2 C 2 A 3 B 3 C 3 A 1 C 1 B 1 НВ Собирательные следы ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ Горизонтальной называется плоскость параллельная горизонтальной плоскости проекций y АВСГА 1 В 1 С 1  | АВС | A B C Г  П 1

Изображение слайда

2 Фронтальной называется плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций, она же перпендикулярная горизонтальной и профильной плоскостям проекций. Фронтальная плоскость имеет два собирательных следа: горизонтальный и профильный. На фронтальную плоскость проекций фигура, лежащая в фронтальной плоскости, проецируется в натуральную величину. Собирательные следы y x z A 2 A 1 B 3 B 1 B 2 A 3 Ф 1 Ф 3 Ф y Ф y |AB| y y x П 1 П 2 П 3 z Ф A B A 2 B 2 A 1 B 1 A 3 B 3 Ф y Ф 3 Ф 1 |AB| [ АВ ] Ф [ А 2 В 2 ]  | АВ | Ф  П 2

Изображение слайда

Собирательные следы y x z A 2 A 1 B 3 B 1 B 2 A 3 Ф 1 Ф 3 Ф y Ф y |AB| y y x П 1 П 2 П 3 z Ф A B A 2 B 2 A 1 B 1 A 3 B 3 Ф y ФРОНТАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ Фронтальной называется плоскость параллельная фронтальной плоскости проекций Ф 3 Ф 1 |AB| [ АВ ] Ф [ А 2 В 2 ]  | АВ | Ф  П 2

Изображение слайда

3 Профильной плоскостью называется плоскость, параллельная профильной плоскости проекций, она же перпендикулярна горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций. Профильная плоскость имеет два собирательных следа: горизонтальный и фронтальный. На профильную плоскость проекций фигура, лежащая в профильной плоскости, проецируется в натуральную величину. y x y z A 1 A 2 A 3 Σ 2 Σ 1 Σ x Собирательные следы y x П 1 П 2 П 3 Σ Σ x Σ 1 Σ 2 А А 1 А 2 А 3 АА 1  1 ^ А 2  2  || П 3

Изображение слайда

y x y z A 1 A 2 A 3 Σ 2 Σ 1 Σ x Собирательные следы y x П 1 П 2 П 3 z Σ Σ x Σ 1 Σ 2 А А 1 А 2 А 3 ПРОФИЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ Профильной называется плоскость параллельная профильной плоскости проекций АА 1  1 ^ А 2  2  || П 3

Изображение слайда

4.4 ПРЯМАЯ И ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ Для того чтобы построить точку, лежащую в заданной плоскости, необходимо построить прямую, принадлежащую этой же плоскости, и на ней построить точку. Существует два признака принадлежности прямой плоскости: 1. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в данной плоскости. Точками, лежащими на прямой и одновременно принадлежащими плоскости, могут быть следы прямой. Таким образом, можно утверждать, что прямая принадлежит плоскости, если ее следы лежат на одноименных следах плоскости. c b B A Р M 1 ≡M N 2 ≡N M 2 N 1 x a 1 a 2 А  b ^ B  c  (АВ)  Р( b∩c) Р x п 1 Р

Изображение слайда

c b B A Р M 1 ≡M N 2 ≡N M 2 N 1 x a 1 a 2 А  b ^ B  c  (АВ)  Р( b∩c) Р п 2 Р x  (М N)  Р ^ N  Р М  Р п 1 п 2 п 1 Р ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ПРЯМОЙ ПЛОСКОСТИ Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки лежащие в этой плоскости. Если плоскость задана следами, то такими точками могут быть следы этой прямой.

Изображение слайда

2. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости, и параллельна прямой, лежащей в этой плоскости. При задании плоскости следами из определения следует, что прямая принадлежит плоскости, если она параллельна одному из следов этой плоскости и имеет с другим следом общую точку. F 2 c 2 с 1 b 2 a 1 a 2 b 1 F 1 F  a ^ c  b  c  P( a ∩ b ) x c а b F Р F  а; с  b

Изображение слайда

F 2 c 2 с 1 b 2 a 1 a 2 b 1 F 1 F  a ^ c  b  c  P( a ∩ b ) x ВТОРОЙ ПРИЗНАК ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ПРЯМОЙ ПЛОСКОСТИ Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости, и параллельна прямой, лежащей в этой плоскости. c а b F Р F  а; с  b

Изображение слайда

4.5 ГЛАВНЫЕ ЛИНИИ ПЛОСКОСТИ Важное значение при решении задач начертательной геометрии имеют главные линии плоскости (линии особого положения), к которым относятся горизонталь плоскости ( h ), фронталь плоскости ( f ), линия наибольшего ската плоскости ( c ). 4.5.1 Горизонталь плоскости Горизонталью плоскости называется прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций. y x П 1 П 2 П 3 z Р Р х Р z Р y Р х х h 2 h 1 N  N 2 N 1 h h 1 h 2 N  N 2 Р п 2 п 1 Р Р п 2 п 1 Р п 3 Р N 1 N  фронтальный след прямой h N 2  фронтальная проекция фронтального следа прямой h N 1  горизонтальная проекция фронтального следа прямой h Р п 2 N  ^ h || п 1 Р  h  P N  P п 2 h  Р п 1

Изображение слайда

Прямая принадлежит плоскости, если она параллельна одному из следов этой плоскости и имеет с другим следом общую точку. y x П 1 П 2 П 3 z Р Р х Р z Р y Р х х h 2 h 1 N  N 2 N 1 h h 1 h 2 N  N 2 Р п 2 п 1 Р Р п 2 п 1 Р п 3 Р N 1 N  фронтальный след прямой h N 2  фронтальная проекция фронтального следа прямой h N 1  горизонтальная проекция фронтального следа прямой h Р п 2 N  ^ h || п 1 Р  h  P N  P п 2 h  Р п 1

Изображение слайда

4.5.2 Фронталь плоскости Фронталью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций. п 2 Р Р п 1 Р x M≡M 1 M 2 Y M x f 2 f 1 y x П 1 П 2 П 3 z Р Р х Р z Р y f f 1 f 2 M  M 1 Р п 2 п 1 Р п 3 Р M 2 Нулевая фронталь ( Y M =0) f 2  п 2 Р f 1  x f 1  горизонтальная проекция фронтали f 2  фронтальная проекция фронтали f  P; f  П 2

Изображение слайда

Фронталью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций. ФРОНТАЛЬ ПЛОСКОСТИ п 2 Р Р п 1 Р x M≡M 1 M 2 Y M x f 2 f 1 y x П 1 П 2 П 3 z Р Р х Р z Р y f f 1 f 2 M  M 1 Р п 2 п 1 Р п 3 Р M 2 Нулевая фронталь ( Y M =0) f 2  п 2 Р f 1  x f 1  горизонтальная проекция фронтали f 2  фронтальная проекция фронтали f  P; f  П 2

Изображение слайда

Задача. Построить горизонталь плоскости треугольника АВС. 1 1 1 2 h 2 h 1 x С 1 A 1 A 2 В 2 С 2 В 1

Изображение слайда

Задача 2 Построить горизонталь плоскости треугольника АВС. 1 1 1 2 h 2 h 1 x С 1 A 1 A 2 В 2 С 2 В 1 h 2  x

Изображение слайда

4.5.3 Линия наибольшего ската плоскости Линией наибольшего ската плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и перпендикулярная всем горизонталям плоскости, в том числе и горизонтальному следу плоскости (нулевая горизонталь). Угол  определяет угол наклона плоскости Р к горизонтальной плоскости проекций. п 1 Р Р п 2 N≡N 2 Р x N 1 c 1 M 1 ≡M M 2 c 2  x y x П 1 П 2 П 3 z Р Р х Р z Р y с с 1 с 2 M  M 1 Р п 2 п 1 Р п 3 Р M 2 N≡N 2 N 1 90 0  с  Р; с  Р п 1

Изображение слайда

Линией наибольшего ската плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и перпендикулярная всем горизонталям плоскости, в том числе и горизонтальному следу плоскости (нулевая горизонталь). ЛИНИЯ НАИБОЛЬШЕГО СКАТА ПЛОСКОСТИ п 1 Р Р п 2 N≡N 2 Р x N 1 c 1 M 1 ≡M M 2 c 2  x y x П 1 П 2 П 3 z Р Р х Р z Р y с с 1 с 2 M  M 1 Р п 2 п 1 Р п 3 Р M 2 N≡N 2 N 1 90 0  с  Р; с  Р п 1

Изображение слайда

5. ЛЕКЦИЯ № 4. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекающимися. 5.1 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ Известно, что если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны. Такими пересекающимися прямыми могут быть следы плоскости. Поэтому, можно утверждать, что если одноименные следы плоскостей параллельны, то такие плоскости параллельны. а || c^b || d  P( a ∩ b) ||Σ( c∩d ) Р п 2 п 1 Р Р x x Σ п 1 п 2 Σ Σ x Σ ^ п 1 Р || п 1 Р || п 2 Σ  P || Σ п 2 c а b d Σ Р

Изображение слайда

а || c^b || d  P( a ∩ b) ||Σ( c∩d ) Р п 2 п 1 Р Р x x Σ п 1 п 2 Σ Σ x Σ ^ п 1 Р || п 1 Р || п 2 Σ  P || Σ п 2 c а b d Σ Р

Изображение слайда

Задача. Построить плоскость Σ, проходящую через точку А и параллельную плоскости Р. Р x Σ x Σ п 1 Р п 1 п 2 Σ А 2 А 1 N 2 ≡N N 1 h 2 x h 1 1) h Σ ; A 1  h 1 ; Σ ||Ph 1 || Р п 1 2) A 2 h 2 ; h 2 || x 3) N N 2  п 2 Σ Р п 2 || п 2 Р Через точку А проводим горизонталь плоскости  Р 4) Σ x  Σ п 1 || Р п 1

Изображение слайда

Р x Σ x Σ п 1 Р п 1 п 2 Σ А 2 А 1 N 2 ≡N N 1 h 2 x h 1 1) h Σ ; A 1  h 1 ; Σ ||Ph 1 || Р п 1 2) A 2 h 2 ; h 2 || x 3) N N 2  п 2 Σ Р п 2 || п 2 Р Через точку А проводим горизонталь плоскости  Р 4) Σ x  Σ п 1 || Р п 1 Для построения следов плоскости Σ строим сначала горизонталь этой плоскости, затем через построенный фронтальный след горизонтали проводим фронтальный след плоскости Σ параллельно фронтальному следу плоскости Р. Горизонтальный след плоскости Σ проводим из точки схода следов Σ х параллельно горизонтальному следу плоскости Р.

Изображение слайда

5.2 ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПЛОСКОСТИ Две плоскости в пространстве пересекаются по прямой линии, для построения которой необходимо построить две точки, принадлежащие одновременно двум плоскостям. Если плоскости заданы следами, то такими точками могут быть точки пересечения одноименных следов этих плоскостей (следы линии пересечения ). Р х Р п 1 Р п 2 Σ х Σ п 1 Σ п 2 N 2 ≡N M 1 ≡M M 2 N 1 x x П 1 П 2 Р Σ M N [MN] =Р ∩ 

Изображение слайда

Р х Р п 1 Р п 2 Σ х Σ п 1 Σ п 2 N 2 ≡N M 1 ≡M M 2 N 1 x x П 1 П 2 Р Σ M N [MN] =Р ∩  М,N  горизонтальный и фронтальный следы линии пересечения [M 1 N 1 ]  горизонтальная проекция линии пересечения (ГПЛП) [M 2 N 2 ]  фронтальная проекция линии пересечения (ФПЛП)

Изображение слайда

Рассмотрим несколько примеров построения линии пересечения двух плоскостей различного вида и положения. п 2 Р Р п 1 Г 2 Г 1 Р х Г х ≡ N 1 N 2 x M 2 M M 1 ФПЛП ГПЛП Р п 2 Р п 1 Р х Г 2 N  N 2 N 1 h 2 h 1 ФПЛП ГПЛП x Г  П 1 Г  П 1

Изображение слайда

п 2 Р Р п 1 Г 2 Г 1 Р х Г х ≡ N 1 N 2 x M 2 M M 1 ФПЛП ГПЛП Р п 2 Р п 1 Р х Г 2 N  N 2 N 1 h 2 h 1 ФПЛП ГПЛП ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ [M 1 N 1 ]  горизонтальная проекция линии пересечения [M 2 N 2 ]  фронтальная проекция линии пересечения [M 1 N 1 ]  Г 1 x Г  П 1 Г  П 1 h 2  фронтальная проекция линии пересечения, h 2  Г 2 h 1  горизонтальная проекция линии пересечения, h 1  Р п 1 h  горизонталь плоскостей Р и Г.

Изображение слайда

ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ Г  П 1, Ф  П 1 Г 1 Г 2 Г x Ф 1 М  М 1 ≡ f 1 M 2 f 2 x ФПЛП ГПЛП C 2 A 1 A 2 B 2 B 1 C 1 Г 2 Г 1 2 1 1 1 1 2 2 2 x ГПЛП ФПЛП Г x f 1  горизонтальная проекция линии пересечения f 2  фронтальная проекция линии пересечения [1 1 2 1 ]  горизонтальная проекция линии пересечения [1 2 2 2 ]  фронтальная проекция линии пересечения Г∩Ф= f  фронталь плоскостей Г и Ф

Изображение слайда

5.3 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Существуют следующие относительные положения прямой и плоскости: а ) прямая лежит в плоскости (признаки принадлежности прямой плоскости рассмотрены в лекции №3); б ) прямая параллельна плоскости; в ) прямая пересекается с плоскостью. 5.3.1 Прямая, параллельная плоскости Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. b 2 b 1 M  M 1 А 2 А 1 Р п 1 п 2 Р N 1 N  N 2 M 2 x C 2 C 1 d 2 d 1  п 1 x b || [MN]  P  b || P d ||  d || Ψ п 2  P x  x [MN] P b 1 [M 1 N 1 ] b 2 [M 2 N 2 ] d 1 x п 2  d 2   п 2

Изображение слайда

ПРЯМАЯ, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТИ Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. b 2 b 1 M  M 1 А 2 А 1 Р п 1 п 2 Р N 1 N  N 2 M 2 x C 2 C 1 d 2 d 1  п 1 x b || [MN]  P  b || P d ||  d || Ψ п 2  P x  x [MN] P b 1 [M 1 N 1 ] b 2 [M 2 N 2 ] d 1 x п 2  d 2   п 2

Изображение слайда

5.3.2 Прямая, пересекающаяся с плоскостью Прямая пересекается с плоскостью, если она имеет с этой плоскостью одну общую точку. Задача на построение точки пересечения прямой с плоскостью является одной из основных задач начертательной геометрии и решается по следующему графическому алгоритму: а ) заключить заданную прямую (АВ) во вспомогательную плоскость (Г); б ) построить линию пересечения ( MN ) заданной плоскости (Р) и вспомогательной плоскости (Г); в ) на пересечении заданной прямой (АВ) и линии пересечения двух плоскостей ( MN ) отметить искомую точку пересечения прямой с плоскостью (К). N Р M Г А В К

Изображение слайда

N Р M Г ПОСТРОЕНИЕ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ 1) Заключаем прямую во вспомогательную плоскость (уровня или проецирующую).  АВ   Г 2) Строим линию пересечения плоскости Р со вспомогательной плоскостью Г. P∩ Г=( MN) 3 ) Отмечаем точку пересечения прямой с линией пересечения плоскостей. (MN)∩(AB)=K K=(AB)∩P А В К

Изображение слайда

Г x ≡N 1 А 2 В 2 В 1 М  M 1 M 2 К 2 К 1 Г 2 N  N 2 Р п 2 п 1 Р Г 1 А 1 x Р x Задача 2. Построить точку пересечения прямой (АВ) с плоскостью Р, заданную следами. 1)  АВ   Г 2) P∩ Г=( MN) 3) MN)∩(AB)=K K=(AB)∩P

Изображение слайда

Г x ≡N 1 А 2 В 2 В 1 М  M 1 M 2 К 2 К 1 Г 2 N  N 2 Р п 2 п 1 Р Г 1 А 1 x Р x Задача 2. Построить точку пересечения прямой (АВ) с плоскостью Р, заданную следами. 1)  АВ   Г 2) P∩ Г=( MN) 3) MN)∩(AB)=K K=(AB)∩P

Изображение слайда

5.3.3 Прямая, перпендикулярная плоскости Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальным проекциям всех горизонталей плоскости, в том числе и горизонтальному следу плоскости, а фронтальная проекция перпендикулярна фронтальным проекциям всех фронталей плоскости, в том числе и фронтальному следу плоскости. . п 1 Р Р x х а 2 а 1 h 2 h 1 f 1 f 2 N N 2 M M 1 Р п 2 a  P  a 1  ^ a 2  п 1 Р a  P  a 1  h 1 ^ a 2  f 2 п 2 Р N 1 M 2

Изображение слайда

Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальным проекциям всех горизонталей плоскости, в том числе и горизонтальному следу плоскости, а фронтальная проекция перпендикулярна фронтальным проекциям всех фронталей плоскости, в том числе и фронтальному следу плоскости. ПРЯМАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТИ п 1 Р Р x х а 2 а 1 h 2 h 1 f 1 f 2 N N 2 M M 1 Р п 2 a  P  a 1  ^ a 2  п 1 Р a  P  a 1  h 1 ^ a 2  f 2 п 2 Р N 1 M 2

Изображение слайда

Задача 3. Определить расстояние от точки А до плоскости Р, заданной следами. А 1 А 2 К 2 К 1  z  z | АК | Р п 2 Р п 1 Г 2 Г 1 Г x ≡N 1 N 2 M 1 M 2 x Р x b 1 b 2 2) b  Г 3) [MN] = Р ∩ Г 4) К = b ∩ Р 5) [DK 1 ] =  AK  D п 1 п 2 1) b 1  Р ^ b 2  Р  b  Р

Изображение слайда

Задача 3. Определить расстояние от точки А до плоскости Р, заданной следами. А 1 А 2 К 2 К 1  z  z | АК | Р п 2 Р п 1 Г 2 Г 1 Г x ≡N 1 N 2 M 1 M 2 x Р x b 1 b 2 2) b  Г 3) [MN] = Р ∩ Г 4) К = b ∩ Р 5) [DK 1 ] =  AK  D п 1 п 2 1) b 1  Р ^ b 2  Р  b  Р

Изображение слайда

5.4 ВЗАИМНО-ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ Построение взаимно-перпендикулярных плоскостей можно выполнить двумя способами: а ) плоскость проводят через прямую, перпендикулярную заданной плоскости; б ) плоскость проводят перпендикулярно прямой, лежащей в заданной плоскости. Рассмотрим эти способы на конкретных задачах. Р п 2 Р п 1 Р x b 1 b 2 A 1 A 2 Г 2 Г 1 Г x x 1) b 1  Р  b 2  Р  b Р п 1 п 2 2) Г  b  Р  Г  Р

Изображение слайда

Р п 2 Р п 1 Р x b 1 b 2 A 1 A 2 Г 2 Г 1 Г x x 1) b 1  Р  b 2  Р  b Р п 1 п 2 2) Г  b  Р  Г  Р Задача 4. Через точку А провести плоскость Г перпендикулярную плоскости Р, заданную следами. ВЗАИМНО-ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ

Изображение слайда

c 1 c 2 d 1 d 2 h 1 h 2 B 1 B 2 N 2 N 1 Р x Р п 2 Р п 1 x 2) h 2  x 3) h  P  N 2  P п 2 4) Р  Q ( c||d)   c 2  d 2 ^ Р п 2 Р  c 1  d 1 п 1 Р  c||d  Р  Q ( c||d) Задача 5. Через точку В провести плоскость Р, перпендикулярную плоскости, заданной параллельными прямыми c и d. 1) h  P  Q ( c||d)  h 1  P ^ h 1  c 1  d 1 п 1

Изображение слайда

З а д а ч а 6. Через точку А провести прямую С, параллельную плоскости Р, заданной двумя параллельными прямыми a и b, и горизонтальной плоскости проекций. x a 2 а 1 b 1 b 2 c 2 c 1 A 2 A 1 x h 2 h 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1. h P( a  b) ^h  П 1 h  П 1  h 2  x 2. c  h  c P( a  b ) ^ c  П 1

Изображение слайда

З а д а ч а 6. Через точку А провести прямую С, параллельную плоскости Р, заданной двумя параллельными прямыми a и b, и горизонтальной плоскости проекций x a 2 а 1 b 1 b 2 c 2 c 1 A 2 A 1 x h 2 h 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1. h P( a  b) ^h  П 1 h  П 1  h 2  x 2. c  h  c P( a  b ) ^ c  П 1

Изображение слайда

З а д а ч а 7. Построить точку пересечения прямой а с плоскостью треугольника АВС. A 1 A 2 B 2 B 1 C 2 а 2 а 1 х Г 2 Г х Г 1 1 1 2 1 2 2 1 2 К 2 К 1 С 1 1. a Г 2. [1,2]= ABC∩ Г 3. К= а ∩ [1,2]

Изображение слайда

З а д а ч а 7. Построить точку пересечения прямой а с плоскостью треугольника АВС. A 1 A 2 B 2 B 1 C 2 а 2 а 1 х Г 2 Г х Г 1 1 1 2 1 2 2 1 2 К 2 К 1 С 1 1. a Г 2. [1,2]= ABC∩ Г 3. К= а ∩ [1,2]

Изображение слайда

З а д а ч а 8. Определить расстояние от точки D до плоскости θ, заданной треугольником АВС  D К  В 1 С 1 D 2 В 2 С 2 А 2 h 2 h 1 f 1 f 2 1 2 1 1 2 1 2 2 N 1 N 2 M 2 M 1 К 2 К 1 Г 1 Г 2 Г х х D 1 ΔZ ΔZ А 1 D 0 а 1 а 2 1. а  АВС 2. К= а ∩ АВС 3. [ К 1 D 0 ]=|DK|

Изображение слайда

З а д а ч а 8. Определить расстояние от точки D до плоскости θ, заданной треугольником АВС  D К  В 1 С 1 D 2 В 2 С 2 А 2 h 2 h 1 f 1 f 2 1 2 1 1 2 1 2 2 N 1 N 2 M 2 M 1 К 2 К 1 Г 1 Г 2 Г х х D 1 ΔZ ΔZ А 1 D 0 а 1 а 2 1. а  АВС 2. К= а ∩ АВС 3. [ К 1 D 0 ]=|DK|

Изображение слайда

6 ЛЕКЦИЯ №5. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ 6.1 ЦЕЛИ И СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ Количество и характер графических построений при решении задач начертательной геометрии определяется не только сложностью задачи, но и тем, какими проекциями задана пространственная фигура. Вид проекций главным образом зависит от расположения геометрической фигуры относительно плоскостей проекций. Решение задач значительно упрощается, если геометрическая фигура занимает частное положение (параллельна или перпендикулярна плоскости проекций). Под преобразованием проекций понимают построение по заданным проекциям новых проекций геометрической фигуры таким образом, чтобы фигура заняла частное положение относительно плоскостей проекций. С 2 А 1 А 2 В 2 С 1 x А 1 С 1 В 1 А 2 В 2 С 2 x  А 1 В 1 С 1 А 2 В 2 С 2 x НВ  АВС общего положения  АВС  П 2  АВС || П 2

Изображение слайда

Перевод геометрической фигуры из общего положения в частное осуществляется двумя способами: 1.) Способ перемены плоскостей проекций. Сущность способа заключается в том, что, сохраняя неизменным положение геометрической фигуры в пространстве, производят замену исходной системы плоскостей проекций на новую, относительно которой фигура займет частное положение. 2.) Способ плоскопараллельного перемещения. Сущность способа заключается в том, что, сохраняя неизменной систему плоскостей проекций, производят перемещение геометрической фигуры в пространстве таким образом, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций. . . 6.2 СПОСОБ ПЕРЕМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ 6.2.1 Замена одной плоскости проекций Исходная система плоскостей проекций обозначается X 12 . При замене плоскости П 2 на новую плоскость П 4 (П 2 П 4  П 1 )получаем новую систему плоскостей проекций S 14 . П 2 П 1 А А 1 А 2 А 12 Z А Z А S 1 4 П 1 П 4 Z А Z А А 12 А 14 А 2 А 1 А 4 П 2 П 1 П 4 А 4 П 4 А 4 S 1 4 х 12 х 12 А 14

Изображение слайда

СПОСОБ ПЕРЕМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ П 2 П 1 А А 1 А 2 А 12 Z А Z А S 1 4 П 1 П 4 Z А Z А А 12 А 14 А 2 А 1 А 4 П 2 П 1 П 4 А 4 П 4 А 4 S 1 4 х 12 х 12 А 14 | A 2 A 12 | = | A 4 A 14 | П 2 П 4  П 1 ;

Изображение слайда

Задача 1. Определить натуральную величину отрезка прямой АВ и его углы наклона к плоскостям проекций П 1 и П 2.   А 4 А 1 А 2 А 5 В 5 В 2 В 1 В 4 S 1 4 S 25 х 12 П 1 П 2 |A В | |A В | П 2 П 5 П 4 П 1 1) П 2 П 4 П 1 ; x 12 s 14 [A 1 B 1 ]; [AB] П 4  [A 4 B 4 ]=AB 2 ) П 1 П 5 П 2 ; x 12 s 25 [A 2 B 2 ]; [AB] П 5  [A 5 B 5 ]=AB Правило построения новой проекции точки при замене одной плоскости проекций: расстояние от новой проекции точки до новой оси проекций равно расстоянию от заменяемой проекции точки до исходной (предыдущей) оси проекций.

Изображение слайда

Задача 1. Определить натуральную величину отрезка прямой АВ и его углы наклона к плоскостям проекций П 1 и П 2.   А 4 А 1 А 2 А 5 В 5 В 2 В 1 В 4 S 1 4 S 25 х 12 П 1 П 2 |A В | |A В | П 2 П 5 П 4 П 1 1) П 2 П 4 П 1 ; x 12 s 14 [A 1 B 1 ]; [AB] П 4  [A 4 B 4 ]=AB 2 ) П 1 П 5 П 2 ; x 12 s 25 [A 2 B 2 ]; [AB] П 5  [A 5 B 5 ]=AB

Изображение слайда

6.2.2 Перемена двух плоскостей проекций Перемену двух плоскостей проекций рассмотрим на примере решения задачи. Задача 1. Преобразовать отрезок прямой AB общего положения в отрезок проецирующей прямой. Эта задача решается в два этапа: сначала заменим плоскость проекций П 2 на плоскость П 4, параллельную отрезку AB, а затем заменим плоскость проекций П 1 на плоскость П 5, перпендикулярную отрезку AB. A 4 A 1 B 1 B 2 B 4 A 5 ≡B 5 x 12 s 14 s 45 П 2 П 1 П 1 П 4 П 4 П 5 1) П 2 П 4 П 1 ; x 12 s 14 [A 1 B 1 ] [AB] П 4 2 ) П 1 П 5 П 4 ; s 14 s 45 [A 4 B 4 ] [AB] П 5

Изображение слайда

Задача 2. Преобразовать отрезок прямой AB общего положения в отрезок проецирующей прямой. A 4 A 1 A 2 B 1 B 2 B 4 A 5 ≡B 5 x 12 s 14 s 45 П 2 П 1 П 1 П 4 П 4 П 5 1) П 2 П 4 П 1 ; x 12 s 14 [A 1 B 1 ] [AB] П 4 2 ) П 1 П 5 П 4 ; s 14 s 45 [A 4 B 4 ] [AB] П 5 ПРАВИЛО ПОСТРОЕНИЯ НОВЫХ ПОЕКЦИЙ ТОЧЕК Расстояние новой проекции точки до новой оси проекций равно расстоянию от заменяемой проекции точки до предыдущей оси проекций.

Изображение слайда

Задача 3. Определить расстояние от точки С до плоскости Р общего положения, заданной следами. A 1 A 2 Р п 1 Р п 2 Р x A 4 h 2 h 1 N 2 N 12 N 14 N 4 ≡h 4 l x 12 s 14 П 2 П 1 П 1 П 4 Р s Р п 4 x Ф 2 Ф 1 Ф x A 2 l П 2  П 4 П 1 ; x 12 s 14  ; Р  П 4 Р п 1

Изображение слайда

Задача 3. Определить расстояние от точки С до плоскости Р общего положения, заданной следами. A 1 A 2 Р п 1 Р п 2 Р x A 4 h 2 h 1 N 2 N 12 N 14 N 4 ≡h 4 l x 12 s 14 П 2 П 1 П 1 П 4 Р s Р п 4 x Ф 2 Ф 1 Ф x A 2 l П 2  П 4 П 1 ; x 12 s 14  ; Р  П 4 Р п 1 Заменим плоскость П 1 на новую плоскость П 4 перпендикулярную плоскости Р, тогда плоскость Р станет проецирующей, а ее горизонтальный след будет перпендикулярен новой оси проекций х 14. Чтобы построить новый след плоскости Р на плоскости П 4, строим горизонталь h плоскости Р и ее след на плоскости П 4 ( N 4 ), через новую точку схода следов Р s и новый след горизонтали N 4 проводим новый след плоскости Р( ). Легко определяется расстояние от точки до проецирующей плоскости, поэтому преобразуем плоскость Р в проецирующую плоскость.

Изображение слайда

6.3 СПОСОБ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕМЕЩЕНИЯ Плоскопараллельным называется такое перемещение геометрической фигуры в пространстве, при котором все ее точки движутся по траекториям, расположенным в параллельных плоскостях. В зависимости от положения этих траекторий относительно плоскостей проекций и вида траекторий перемещения точек различают следующие частные случаи способа плоскопараллельного перемещения: а ) способ параллельного перемещения (переноса); б ) способ вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций; в ) способ вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекций (вращение вокруг главных линий плоскости); г ) способ вращения вокруг оси, принадлежащей плоскости проекций (вращение вокруг следа плоскости, способ совмещения). 7.3.1 Способ параллельного перемещения (переноса) При параллельном перемещении все точки геометрической фигуры движутся по произвольным траекториям, расположенным в параллельных плоскостях, которые сами параллельны одной из плоскостей проекций. При этом способе одну из проекций геометрической фигуры, сохраняя неизменным ее форму и размеры, перемещают по произвольной траектории и устанавливают в частное положение на свободном поле чертежа, а все точки другой проекции будут перемещаться по прямым, параллельным оси проекции. Г ||Q|| П 1 А 1 А 2 Г 2 Q 2 B 2 B 1 А 1 2 А 1 1 B 1 2 B 1 1 x  [ А 1 B 1 ] || П 2  [ А 1 2 B 1 2 ]=|AB|

Изображение слайда

Задача 4. Определить натуральную величину и угол наклона отрезка прямой AB к плоскости П 1 способом параллельного переноса (перемещения). Г ||Q|| П 1 А 1 А 2 Г 2 Q 2 B 2 B 1 А 1 2 А 1 1 B 1 2 B 1 1 x  | А B| [ А 1 B 1 ] || П 2  [ А 1 2 B 1 2 ]=|AB| При этом способе одну из проекций геометрической фигуры, сохраняя неизменным ее форму и размеры, перемещают по произвольной траектории и устанавливают в частное положение на свободном поле чертежа, а все точки другой проекции будут перемещаться по прямым, параллельным оси проекции.

Изображение слайда

6.3.2 Вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций При вращении точки вокруг оси, перпендикулярной одной из плоскостей проекций, траектория движения проекции точки на данной плоскости проекций будет окружность, а на других плоскостях проекций  прямая, параллельная оси проекций. A 3 A 1 A 2 z R i 1 i 2 i 3 y x i  П 1

Изображение слайда

A 3 A 1 A 2 z R i 1 i 2 i 3 y y x i  П 1 ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ОСИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ Если ось вращения перпендикулярна плоскости проекций П 1, то горизонтальная проекция точки А 1 вращается по окружности радиусом R, фронтальная проекция перемещается по прямой параллельной оси х, а профильная проекция  по прямой параллельной оси y.

Изображение слайда

Задача 5. Определить натуральную величину и угол наклона отрезка прямой АВ к плоскости П 1. В 1 А 2 В 2 В 1 2 В 1 1 x  | А B| А 1  i 1 i 2 А 1

Изображение слайда

Задача 5. Определить натуральную величину и угол наклона отрезка прямой АВ к плоскости П 1. В 1 А 2 В 2 В 1 2 В 1 1 x  | А B| А 1  i 1 i 2 А 1

Изображение слайда

6.3.3 Способ совмещения Сущность способа совмещения заключается во вращении плоскости вместе с лежащей в ней фигурой вокруг одного из следов плоскости до совмещения с плоскостью проекций, при этом фигура проецируется на эту плоскость проекций в натуральную величину. Способ совмещения удобно использовать, когда плоская геометрическая фигура лежит в проецирующей плоскости. Осью вращения при этом является след плоскости, перпендикулярный оси проекций. A 1 1 A 1 A 2 A 1 2 C 1 B 1 B 2 B 1 2 B 1 1 C 2 C 1 1 C 1 2 НВ x Ф 2 Ф 1 ф 1 2 АВС  Ф  П 2

Изображение слайда

Сущность способа совмещения заключается во вращении плоскости вместе с лежащей в ней фигурой вокруг одного из следов плоскости до совмещения с плоскостью проекций, при этом фигура проецируется на эту плоскость проекций в натуральную величину. СПОСОБ СОВМЕЩЕНИЯ A 1 1 A 1 A 2 A 1 2 C 1 B 1 B 2 B 1 2 B 1 1 C 2 C 1 1 C 1 2 НВ x Ф 2 Ф 1 ф 1 2 АВС  Ф  П 2

Изображение слайда

З а д а ч а 6. Определить натуральную величину треугольника АВС, плоскость которого перпендикулярна плоскости П 1, способом перемены плоскостей проекций АВСП 1 П 2 →П 4  П 1 х 12 → s 14   А 1 В 1 С 1 ]  АВС  П 4 А 1 А 4 А 2 В 1 С 1 С 4 С 2 В 2 В 4 П 4 х 12 П 1 П 1 П 2 s 14  НВ

Изображение слайда

З а д а ч а 6. Определить натуральную величину треугольника АВС, плоскость которого перпендикулярна плоскости П 1, способом перемены плоскостей проекций А 1 А 4 А 2 В 1 С 1 С 4 С 2 В 2 В 4 П 4 х 12 П 1 П 1 П 2 s 14  НВ АВСП 1 П 2 →П 4  П 1 х 12 → s 14   А 1 В 1 С 1 ]  АВС  П 4

Изображение слайда

х 12 А 2 В 2 С 2 А 1 В 1 С 1 D 1 D 2 1. Строим горизонталь h АВС h ABC ^h П 1 h 2 h 1 1 2 1 1 2. П 2 →П 4 П 1 х 12 → s 14 h 1 s 14 h 1 ABC П 4 D 2 →D 4 s 14 C 4 A 4 B 4 L D 4 [A 4 B 4 C 4 ]  проекция АВС на плоскость П 4. Задача 7. Определить расстояние от точки D до плоскости АВС. L расстояние от точки А до АВС

Изображение слайда

х 12 А 2 В 2 С 2 А 1 В 1 С 1 D 1 D 2 1. Строим горизонталь h АВС h ABC ^h П 1 h 2 h 1 1 2 1 1 2. П 2 →П 4 П 1 х 12 → s 14 h 1 s 14 h 1 ABC П 4 D 2 →D 4 s 14 C 4 A 4 B 4 L D 4 [A 4 B 4 C 4 ]  проекция АВС на плоскость П 4. Задача 7. Определить расстояние от точки D до плоскости АВС. L расстояние от точки А до АВС Для решения задачи преобразуем плоскость, в которой лежит треугольник, в проецирующую.

Изображение слайда

С 5 З а д а ч а 8. Определить расстояние между точкой С и прямой АВ способом перемены плоскостей проекций. П 1 А 1 А 2 С 2 В 2 В 1 С 1 П 2 х 12 С 4 П 1 П 4 s 14 А 4 В 4 s 4 5 П 4 П 5 А 5 ≡ B 5 l П 2 →П 4  П 1 х 12 → s 14   А 1 В 1 ]  АВ ]  П 4 2. П 1 →П 5 П 4 s 14 →s 45 A 4 B 4 ] AB] П 5 3. С 2 →С 4 →С 5

Изображение слайда

З а д а ч а 8. Определить расстояние между точкой С и прямой АВ способом перемены плоскостей проекций. П 1 А 1 А 2 С 2 В 2 В 1 С 1 П 2 х 12 С 4 П 1 П 4 s 14 А 4 В 4 s 4 5 П 4 П 5 А 5 ≡ B 5 С 5 l П 2 →П 4  П 1 х 12 → s 14   А 1 В 1 ]  АВ ]  П 4 2. П 1 →П 5 П 4 s 14 →s 45 A 4 B 4 ] AB] П 5 3. С 2 →С 4 →С 5 Задача решается путем двойной замены плоскостей проекций

Изображение слайда

7. ЛЕКЦИЯ № 6. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ ПЛОСКОСТЯМИ 7.1 ОБЩАЯ МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ТЕЛА ПЛОСКОСТЬЮ При выполнении чертежей для выявления внутренней конфигурации изображаемого предмета строят сечения и разрезы. Сечением называется плоская фигура, получаемая в результате пересечения геометрического тела плоскостью. При пересечении поверхности геометрического тела плоскостью образуется линия пересечения, тогда сечением называется плоская фигура, лежащая в секущей плоскости и ограниченная линией пересечения. В отличии от сечения на разрезе изображают то, что лежит в секущей плоскости и расположено за ней. Для построения сечения необходимо найти точки, в которых ребра многогранника или образующие кривой поверхности пересекают секущую плоскость  способ ребер, или найти отрезки прямых, по которым грани многогранника пересекают секущую плоскость  способ граней. Методику построения линии пересечения рассмотрим для способа ребер. Секущая плоскость Линия пересечения Опорная точка Ребро Сечение Образующая каркаса

Изображение слайда

Сечением называется плоская фигура, лежащая в секущей плоскости и ограниченная линией пересечения. ПОСТРОЕНИЕ ФИГУРЫ СЕЧЕНИЯ Для построения сечения необходимо найти точки, в которых ребра многогранника или образующие кривой поверхности пересекают секущую плоскость  способ ребер, или найти отрезки прямых, по которым грани многогранника пересекают секущую плоскость  способ граней Секущая плоскость Линия пересечения Опорная точка Ребро Сечение Образующая каркаса Как следует из рисунка для построения линии пересечения необходимо построить проекции опорных точек, а затем соединить их отрезками прямой линии (для многогранников) или плавной кривой (для тел вращения). Опорные точки  это точки, в которых ребра многогранника или образующие кривой поверхности пересекаются с секущей плоскостью.

Изображение слайда

7.2 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННОЙ, ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ И НАХОЖДЕНИЕ НАТУРАЛЬНОЙ ВЕЛИЧИНЫ СЕЧЕНИЯ 7.2.1 Пересечение многогранников Методику построения сечения и нахождение его натуральной величины рассмотрим на примере решения задачи. Задача. Построить проекции линии пересечения прямой треугольной призмы фронтально-проецирующей плоскостью Ф и найти натуральную величину сечения. Для построения проекций линии пересечения используем способ ребер. Натуральную величину сечения найдем способом параллельного перемещения, способом перемены плоскостей проекций, способом совмещения. Ф 1 Ф 2 S 2 5 П 2 П 5 1 5 2 5 3 5 3 2 2 2 1 2 1 1 2 1 3 1 1 1 2 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 3 2 1 x Ф x Способ совмещения Способ параллельного перемещения Способ перемены плоскостей проекций П 1 П 5  П 2 ; х s 25  Ф 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 НВ НВ НВ ГПЛП ФПЛП 1,2,3 опорные точки

Изображение слайда

Задача 1. Построить проекции линии пересечения прямой треугольной призмы фронтально-проецирующей плоскостью Ф и найти натуральную величину сечения. Ф 1 Ф 2 S 2 5 П 2 П 5 1 5 2 5 3 5 3 2 2 2 1 2 1 1 2 1 3 1 1 1 2 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 3 2 1 x Ф x Способ совмещения Способ параллельного перемещения Способ перемены плоскостей проекций П 1 П 5  П 2 ; х s 25  Ф 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 НВ НВ НВ ГПЛП ФПЛП 1,2,3 опорные точки

Изображение слайда

7.2.2 Пересечение тел вращения При пересечении цилиндра секущей плоскостью линией пересечения могут быть окружность, эллипс, усеченный эллипс, прямоугольник. Г 2 Ф 2 Окружность Эллипс x Ф 1 Ф 2 Усеченный эллипс ГПЛП ФПЛП НВ НВ ГПЛП ФПЛП НВ Прямоугольник

Изображение слайда

Г 2 Ф 2 Окружность Эллипс x Q 1 Ф 1 Ф 2 Усеченный эллипс Прямоугольник ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ЦИЛИНДРА ГПЛП ФПЛП НВ НВ ГПЛП ФПЛП НВ

Изображение слайда

При пересечении конуса секущей плоскостью линией пересечения может быть окружность, эллипс, парабола, гипербола, треугольник. Окружность S 2 Ф 2 Q 2 Q 1 Эллипс Парабола S 2 S 2 θ 2 Σ 2  2 S 1 S 2 S 1 S 2 Гипербола Треугольник S 1 S 1 S 1  1  1

Изображение слайда

Окружность S 2 Ф 2 Q 2 Q 1 Эллипс Парабола S 2 S 2 θ 2 Σ 2  2 S 1 S 2 S 1 S 2 Гипербола Треугольник ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КОНУСА х S 1 S 1 S 1  1  1

Изображение слайда

Ф 2 Ф 1 Г 2 1 1 1 2  2 2 2 1 3 2 3 1 4 2 ≡5 2 4 1 5 1 х ФПЛП Г вспомогательная плоскость Линия пересечения поверхности конуса со вспомогательной плоскостью Г ГПЛП 1…5 опорные точки Задача 2. Построить проекции сечения прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Ф, параллельной боковой образующей.

Изображение слайда

Ф 2 Ф 1 Г 2 1 1 1 2  2 2 2 1 3 2 3 1 4 2 ≡5 2 4 1 5 1 х ФПЛП Г вспомогательная плоскость Линия пересечения поверхности конуса со вспомогательной плоскостью Г ГПЛП 1…5 опорные точки Задача 2. Построить проекции сечения прямого кругового конуса фронтально-проецирующей плоскостью Ф, параллельной боковой образующей. Задача решается способом вспомогательных секущих плоскостей

Изображение слайда

7.3 АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ Технический чертеж предмета, выполненный в параллельных прямоугольных проекциях, точно определяет форму и размеры предмета, но не обладает достаточной наглядностью. В случае необходимости строят наглядное изображение предмета - аксонометрическую проекцию. 7.3.1 Образование аксонометрических проекций Метод аксонометрического проецирования основан на том, что предмет вместе с осями прямоугольной системы координат, относительно которой он ориентирован в пространстве, проецируется параллельно на некоторую плоскость, которая называется аксонометрическая плоскость проекций (П/) или картинная плоскость. A A 1 A 2 A 3 y A / A / 1 A / 2 A / 3 x / y / z / o o / П / S x П 1 П 3 П 2 z

Изображение слайда

A A 1 A 2 A 3 y A / A / 1 A / 2 A / 3 x / y / z / o o / П / S x П 1 П 3 П 2 ОБРАЗОВАНИЕ АКСОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИИ П /  аксонометрическая плоскость проекций x /,y /,z /  аксонометрические оси проекций А / аксонометрическая проекция точки А S  направление проецирования z

Изображение слайда

Аксонометрическая проекция - это проекция на одну плоскость, а не на две (три),как при параллельном прямоугольном проецировании. Аксонометрические координаты точки и соответствующие им прямоугольные координаты отличаются. Это отличие характеризуется коэффициентами искажения, которые зависят от направления проецирования и положения картинной плоскости. Различают следующие коэффициенты искажения: к - по оси x, m - по оси y, n - по оси z.. На практике используют приведенные коэффициенты искажения K, M, N. А / А 1 А 2 x y z А x x A о А / 1 x / А z / А y / А А / y x / z / y / z А y А о / А / x А / x m= А / 1 А x А 1  коэффициент искажения по оси y n= А / А / 1 А 2 А x  коэффициент искажения по оси z k= O / А / x O А x  коэффициент искажения по оси х x /

Изображение слайда

В зависимости от соотношения коэффициентов искажения различают изометрические ( k = m = n ), диметрические ( k = n = m ) и триметрические( k = m = n ) аксонометрические проекции. В зависимости от направления проецирования аксонометрические проекции разделяют на прямоугольные ( S  П / ) и косоугольные ( S  П / ). 120 0 k=m=n  0,82 K=M=N=1 120 0 x / z / y / O / 120 0 Прямоугольная изометрическая проекция ( S  П /, k=m=n ) Прямоугольная диметрическая проекция x / y / O / 7 0 41 0 k=n  0, 94, m=0,47 K=N=1, M=0,5 ( S  П /, k = n m ) Косоугольная фронтальная диметрическая проекция x / z / y / O / 45 0 (30 0, 60 0 ) K=N=1, M=0,5 z / ( S  П /, П / ||П2, k = n m ) Наибольшее распространение получили прямоугольные изометрическая и диметрическая проекции, а также косоугольная фронтальная диметрическая проекция (кабинетная проекция).

Изображение слайда

Горизонтальная проекция линии пересечения Фронтальная проекция линии пересечения З а д а ч а 4. Найти проекции сечения прямой треугольной призмы фронтально-проецирующей плоскостью Ф и определить натуральную величину сечения. 1 1 2 1 3 1 4 1 1 2 2 2 3 2 ≡4 2 Ф 2 1 2 1 2 2 1 3 2 1 ≡4 2 1 2 1 1 1 1 1 4 1 1 3 1 1 Ф 1 Ф х х НВ 

Изображение слайда

Горизонтальная проекция линии пересечения Фронтальная проекция линии пересечения З а д а ч а 4. Найти проекции сечения прямой треугольной призмы фронтально-проецирующей плоскостью Ф и определить натуральную величину сечения. 1 1 2 1 3 1 4 1 1 2 2 2 3 2 ≡4 2 Ф 2 1 2 1 2 2 1 3 2 1 ≡4 2 1 2 1 1 1 1 1 4 1 1 3 1 1 Ф 1 Ф х х НВ 

Изображение слайда

А 1 З а д а ч а 5. Построить профильную проекцию детали, фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения детали плоскостью Ф. Определить натуральную величину фигуры сечения. 2 2 ≡3 2 4 2 ≡5 2 6 2 1 1 3 1 5 1 6 1 1 2 1 2 2 1 ≡3 2 1 4 2 1 ≡5 2 1 6 2 1 1 1 1 2 1 1 4 1 1 6 1 1 5 1 1 3 1 1 А 2 А 2 1 А 1 1 Ф 2 2 1 4 1 1 2 1…6 опорные точки Фронтальная проекция линии пересечения Горизонтальная проекция линии пересечения

Изображение слайда

З а д а ч а 5. Построить профильную проекцию детали, фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения детали плоскостью Ф. Определить натуральную величину фигуры сечения. 2 2 ≡3 2 4 2 ≡5 2 6 2 1 1 3 1 5 1 6 1 1 2 1 2 2 1 ≡3 2 1 4 2 1 ≡5 2 1 6 2 1 1 1 1 2 1 1 4 1 1 6 1 1 5 1 1 3 1 1 А 2 А 1 А 2 1 А 1 1 Ф 2 2 1 4 1 1 2 1…6 опорные точки Фронтальная проекция линии пересечения Горизонтальная проекция линии пересечения

Изображение слайда

З а д а ч а 6. По заданным прямоугольным проекциям геометрической фигуры построить ее диметрическую проекцию и вырезать четверть. А С В Е z x y D d о x z / x / y / D A D 2 0 / С В Е d 2 d

Изображение слайда

З а д а ч а 6. По заданным прямоугольным проекциям геометрической фигуры построить ее диметрическую проекцию и вырезать четверть. А С В Е z x y D d о x z / x / y / D A D 2 0 / С В Е d 2 d

Изображение слайда