Уральский государственный технический университет - УПИ Кафедра “ Инженерная графика ” НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ автор Кириллова Татьяна Ивановна доцент
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ занимается построением изображений и изучением пространственных объектов по их изображениям графическими методами
А 1 - горизонтальная проекция точки А ; А 2 - фронтальная проекция точки А ; А 3 - профильная проекция точки А. Расстояние от точки до плоскости проекций – это координаты точки – А( X А, Y А, Z А ) X Y O П 1 П 3 П 2 X A Z А А 1 А 2 А 3 Y A Z A Ортогональный чертеж точки Точка – простейший графический примитив ось О X – абсцисс • ось О Z - аппликат ось О Y – ординат • О – начало координат Горизонтальная плоскость проекций - П 1 Фронтальная плоскость проекций - П 2 Профильная плоскость проекций - П 3
Ортогональный чертеж или эпюр - изображение полученное путем параллельного прямоугольного проецирования на две или три взаимно перпендикулярные плоскости проекций, совмещенные с фронтальной плоскостью проекций Z Y Y X П 3 П 1 П 2 X A А 2 А 3 Y A Z A X Y O П 1 П 3 П 2 X A Z А А 1 А 2 А 3 Y A Z A А 1 Три координаты точки и две проекции точки определяют ее положение в пространстве
ВИДЫ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ Прямые частного положения Прямые общего положения Ортогональный чертеж прямой линии
Прямые частного положения : • ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПРЯМЫЕ – прямые перпендикулярные плоскостям проекций • ЛИНИИ УРОВНЯ – прямые параллельные плоскостям проекций ;
Z X Y А 1 Ξ B 1 B 2 А 2 О AB ┴ П 1 I А 2 В 2 I = I АВ I Горизонтально-проецирующая прямая Фронтально-проецирующая прямая X C 1 C 2 Ξ D 2 D 1 О Z Y CD ┴ П 2 I C 1 D 1 I = I CD I
Г оризонтальная прямая, горизонталь h X Z Y А 2 А 1 В 2 В 1 A В II П 1 ; Z А = Z B I А 1 В 1 I = I АВ I АВ П 2 = А 1 В 1 OX= y y Ф ронтальная прямая, фронталь f X Z Y C 2 C 1 D 2 D 1 f CD II П 2 ; У С = Y D I С 2 D 2 I = ICDI CD П 1 = С 2 D 2 OX = f
не параллельные и не перпендикулярные плоскостям проекций
ПЛОСКОСТЬ – МНОЖЕСТВО ПОЛОЖЕНИЙ ПРЯМОЙ ЛИНИИ ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ОДНУ ТОЧКУ ПРОСТРАНСТВА И ПЕРЕСЕКАЮЩИХ ВНЕ ЕЕ ПРЯМУЮ ЛИНИЮ A a Следы плоскости – линии пересечения данной плоскости с плоскостями проекций
Y Z X a п 1 a П 3 a П 2 a x a y a z a a- плоскость ; a п 1 - горизонтальный след плоскости a ; a п 2 - фронтальный след плоскости a ; a п 3 - профильный след плоскости a ; a x, a y, a z - точки схода следов. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ Плоскость общего положения не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.
ПЛОСКОСТИ УРОВНЯ плоскости параллельные плоскостям проекций – ПЛОСКОСТИ ПРОЕЦИРУЮЩИЕ плоскости перпендикулярные плоскостям проекций – Плоскости частного положения
Горизонтальная плоскость уровня a II П 1 Z X Y Y a П 2 a П 3 a z Y Z X a П 3 a П 2 a z a А 1 В 1 С 1 А 2 В 2 С 2 А 1 С 1 В 1 А 2 В 2 С 2 Δ АВС ; IABCI=IA 1 B 1 C 1 I
Z X Y Y b п 1 b П 3 b y Y Z X b п 1 b П 3 b y b y Фронтальная плоскость уровня b I | П 2 А 1 В 1 С 1 С 2 В 2 А 2 b Δ АВС ; IABCI=IA 2 B 2 C 2 I
2. Проецирующие плоскости Горизонтально проецирующая плоскость ┴ П 1 X Y Y П 2 П 3 Z X п 1 П 2 x x Z п 1 П 3 Y y y y y А 1 В 1 С 1 А 2 В 2 С 2 Δ АВС
Фронтально проецирующая плоскость ┴ П 2 Z X Y Y П 2 п 1 x Y Z X П 2 z П 3 П 1 П 3 z x А 2 В 2 С 2 А 1 В 1 С 1 f Δ АВС
ПОВЕРХНОСТЬ МНОЖЕСТВО ПОЛОЖЕНИЙ ЛИНИИ ПЕРЕМЕЩАЮЩЕЙСЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ПО ОПРЕДЕЛЕННОМУ ЗАКОНУ ЛИНИЯ ПЕРЕМЕЩАЮЩАЯСЯ В ПРОСТРАНСТВЕ - ОБРАЗУЮЩАЯ ЛИНИЯ ПО КОТОРОЙ ПРОИСХОДИТ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ - НАПРАВЛЯЮЩАЯ
Направляющая Образующая
Очерк поверхности при ортогональном проецировании – это границы проекций поверхности или следы проецирующей поверхности, огибающей заданную поверхность, на плоскостях проекций Графический способ задания поверхности
П 1 Очерк поверхности Огибающая цилиндрическая поверхность Поверхность
Призма - образуется при движении прямолинейной образующей по ломаной направляющей L – образующая m – направляющая Образующие параллельны друг другу Призма прямая и правильная если в основании правильный многоугольник, а образующие перпендикулярны основанию L 2 m 1
Пирамида – образуется при движении прямолинейной образующей по ломаной направляющей. Все образую щие имеют общую точку – вершину пирамиды L – образующая m - направляющая Пирамида прямая и правильная, если в основании правильный многоугольник, а высота перпендикулярна основанию L 2 m 1 m 2 L 1
L 2 i 2 i 1 L 1 m – криволинейная направляющая i – ось вращения L – прямолинейная образующая m 1 m 2 X 0
i – ось вращения L – прямолинейная образующая S – вершина конической поверхности L 2 L 1 i 2 i 1 S
I – ось вращения n – криволинейная образующая (окружность) Очерковые линии сферы называются экватор э главный меридиан n n 2 n 1 i 2 i 1 э 2 э 1
i – ось вращения n – образующая (окружность) r < R i 2 n 2 n 1 r R R-r R+r R I 1 i 1 R
i – ось вращения n – образующая (окружность) r > R R r i 2 n 2 n 1 i 1 R
- это линия пересечения поверхности и плоскости или совокупность точек одновременно принадлежащих поверхности и плоскости
Сечение гранной поверхности – многоугольник, который строится по точкам пересечения секущей плоскости и ребер многогранника 1 2 Ξ 2 2 3 2 Ξ 4 2 1 1 2 1 4 1 3 1
1. α b i – окружность 2. β ^ i – эллипс 3. γ ll i - прямоугольник L 2 i 2 i 1 L 1 α п 2 β п 2 γ п 1 1 1 2 1 1 2 2 2
1. α b i – окружность 2. β ^ i – эллипс 3. γ – треугольник γ проходит через вершину S L 2 L 1 i 2 i 1 S 2 α п 2 β п 2 γ п 2
4. μ – гипербола μ ll I 5. η – парабола η ll L L 2 L 1 i 2 i 1 S СЕЧЕНИЯ КОНУСА ВРАЩЕНИЯ μ п 1 η п 2
Сечение сферы плоскостью – окружность, которая может проецироваться как : прямая линия окружность эллипс
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Линия пересечения поверхностей - совокупность точек одновременно принадлежащих двум пересекающимся поверхностям Характер линии пересечения зависит от вида поверхностей Линия пересечения многогранников ломаная линия
Линия пересечения многогранника и поверхности вращения - сочетание плоских кривых линий (парабола, гипербола, эллипс и т.д.) Линия пересечение двух поверхностей второго порядка - пространственная кривая линия
Алгоритм решения задач 1. Анализ заданных поверхностей - Определить заданные поверхности Определить наличие проецирующей поверхности (цилиндр и призма) На плоскости проекций, к которой проецирующая поверхность перпендикулярна, проекция линии пересечения совпадает с очерком проецирующей поверхности
2. Определить характерные точки линии пересечения точки пересечения очерков поверхностей высшие и низшие, правые и левые точки поверхностей наиболее удаленные и приближенные к плоскостям проекций точки точки принадлежащие очерковым линиям поверхностей ВЫБОР СПОСОБА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ : - вспомогательные секущие плоскости вспомогательные секущие концентрические сферы
1. Провести вспомогательную секущую плоскость частного положения. В сечении поверхностей должны получаться простые геометрические фигуры – окружности, треугольники, прямоугольники. 2. Построить сечения заданных поверхностей вспомогательной секущей плоскостью. 3. Определить точки пересечения построенных сечений. Это искомые точки линии пересечения поверхностей. Повторение пунктов 1, 2, 3 – n раз
4. Соединить линией, полученные точки пересечения. 5. Определить видимость линии пересечения и очерковых линий заданных поверхностей.
Задача. Построить линию пересечения заданных поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей
п1 Rc 4 1 5 2 4 2 5 1 3 2 2 2 3 1 2 1 b п1 Rc 1 1 1 2 п 1 7 1 6 1 7 2 6 2 0 1 0 2
Полусфера диаметром 90 мм Цилиндр диаметром 50 мм
ОСНОВНОЙ ПРИНЦИП СФЕРА С ПОВЕРХНОСТЯМИ ВРАЩЕНИЯ, ОСИ КОТОРЫХ ПРОХОДЯТ ЧЕРЕЗ ЦЕНТР СФЕРЫ, ПЕРЕСЕКАЕТСЯ ПО ОКРУЖНОСТЯМ, ПЛОСКОСТИ КОТОРЫХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ ОСИ ВРАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ
СПОСОБ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР 1. ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ ОСИ ВРАЩЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ПОВЕРХНОСТИ ИМЕЮТ ОБЩУЮ ПЛОСКОСТЬ СИММЕТРИИ
А 2 Минимальная сфера вписана в большую поверхность R min R min 3 2 1 2 2 2 Rmax
4 2
5 2
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ОПИСАННЫЕ ИЛИ ВПИСАННЫЕ В ДРУГУЮ ПОВЕРХНОСТЬ 2- го ПОРЯДКА, ПЕРЕСЕКАЮТСЯ ПО ДВУМ КРИВЫМ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ПЛОСКОСТИ КОТОРЫХ ПРОХОДЯТ ЧЕРЕЗ ПРЯМУЮ, СОЕДИНЯЮЩУЮ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЛИНИЙ КАСАНИЯ
Сфера диаметром 40 мм
Цилиндр диаметром 40мм Длина 80 мм
Конус диаметром 80мм Высота 70 мм 40 С 2 1 2 2 2 3 2 4 2 О 2
РАЗВЕРТКА ПОВЕРХНОСТИ – ЭТО ПЛОСКАЯ ФИГУРА, КОТОРАЯ ПОЛУЧАЕТСЯ СОВМЕЩЕНИЕМ ВСЕЙ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ОБЪЕКТА С ПЛОСКОСТЬЮ
1. ТОЧНЫЕ – ПОСТРОЕННЫЕ ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИМ СПОСОБОМ 2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ – ВЫПОЛНЕННЫЕ СПОСОБОМ АППРОКСИМАЦИИ РАЗВЕРТКИ РАЗВЕРТЫВАЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ (ЦИЛИНДРЫ, КОНУСЫ) 3. УСЛОВНЫЕ – РАЗВЕРТКИ НЕРАЗВЕРТЫВАЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ (СФЕРА, ТОР)
АППРОКСИМАЦИЯ – ЗАМЕНА СЛОЖНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПРОСТОЙ, ВПИСАННОЙ ИЛИ ОПИСАННОЙ МНОГОГРАННОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ 1. СПОСОБ НОРМАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ 2. СПОСОБ РАСКАТКИ 3. СПОСОБ ТРИАНГУЛЯЦИИ
В КРУГОВОЕ ОСНОВАНИЕ ВПИСЫВАЮТ ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК, ЧЕРЕЗ ВЕРШИНЫ МНОГОУГОЛЬНИКА ПРОВОДЯТ РЕБРА ПРИЗМЫ ИЛИ ПИРАМИДЫ
Нормальное сечение - это сечение поверхности плоскостью перпендикулярной оси вращения или высоте поверхности
графоаналитический способ
Конус : Диаметр 40 мм Высота 60 мм S 2 S 1
1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 7 2 6 2 s 2 s 1
1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 s 2 s 1 s А 2 в 2 С 2 D 2 E 2 F 2 K 2 В 1 A В С D E F K A 1 2 7 2
L = 2 p R = p D D H H
1 1 2 1 4 1 5 1 6 1 7 1 3 1 3 1 1 4 1 1 2 1 1 1 1 1 6 1 1 7 1 1 5 1 1 Цилиндр : Диаметр 40 мм Высота 50 мм
Конус с недоступной вершиной
1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 4 2 3 1 5 2 3 2 5 1 4 1 6 1 6 2 3 4 6 5 8 8 2 7 2 8 1 7 1 7
Развертка конуса с не доступной вершиной
Задача. Построить линию пересечения заданных поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей 30
Цилиндр является фронтально проецирующей поверхностью, так как все его образующие фронтально проецирующие прямые. Линия пересечения заданных поверхностей на фронтальной плоскости совпадает с очерком цилиндра
Характерные точки - точки пересечения очерков точки 1 и 2
Характерные точки низшие точки очерка цилиндра 9 и 10 9 2 Ξ 10 2 9 1 10 1
R 5 5 6 Характерные точки - крайняя левая точка очерка цилиндра
Промежуточные точки - 3 и 4 b п 2 R 3 4 3
Промежуточные точки - 7 и 8 R 7 8 1 7 1 7 2 Ξ 8 2 п 2
2 2 1 2 3 2 1 1 2 1 α п2 R к 3 1 1 3 1 R к 4 1 4 1 1 4 2 1 2 3 1 1 3 1 2 1 1 2 2 2 3 2
1 2 1 1 4 2 3 2 2 2 2 1 4 1 4 1 1 3 1 1 3 1 1 2 1 3 2 1 4 2 1 2 2 1 1 2 3 1 3 4 1 4
сечение цилиндра эллипс СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА ВРАЩЕНИЯ b п 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 3 2 3 3 1 3 1 1 3 1 2 3 1 4 1 1 4 2 4 1 4 1 2 4 1 4 5 1 5 5 2 1 5 2 b п 2
α п 2 1 2 1 1 2 2 2 1 3 2 3 1 3 1 1 4 2 b п 2 4 1 1 4 1 g п 2 5 2 5 1 5 1 1
Построить линию пересечения поверхностей
О 2 А 2 В 2 С 2 1 2 2 2
