Линейная алгебра
-линейная алгебра ; -векторная алгебра ; -аналитическая геометрия.
Математика. Ч. 1, 1 семестр: УМК /сост.: А.Б.Гончарова и др.– СПб.: C ЗТУ, 2009. Лобунина, И.И., Сентяков В.А. Математика, ч.1. Линейная алгебра: УМК, учеб. пособие/ - СПб.: СЗТУ, 2008 Романова, Ю.С., Математика, ч.1. Аналитическая геометрия: УМК, учеб. пособие / - СПб.: СЗТУ, 2008
ЛЕКЦИЯ 1
Матрица размером m x n : прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов : - элемент матрицы - номер строки - номер столбца
Главная диагональ квадратной матрицы n -го порядка : совокупность элементов с одинаковыми индексами Квадратная матрица : число строк равно числу столбцов Порядок квадратной матрицы : количество ее строк (столбцов) Побочная диагональ : совокупность элементов, расположенных на второй диагонали
Диагональная матрица : квадратная матрица, все элементы которой, расположенные вне главной диагонали, равны нулю Единичная матрица : диагональная матрица n -го порядка, все диагональные элементы которой равны единице
Равные матрицы A и B: имеют одинаковый размер и их соответствующие элементы равны : Операции над матрицами Произведение матрицы A на число : Сумма матриц A и B, имеющих одинаковый размер : матрица C, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B:
Транспонированная матрица : столбцы матрицы А являются строками матрицы Разность матриц A и B, имеющих одинаковый размер : матрица D, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и (-1)х B:
Пример.
Произведение матрицы A ( m x p ) на матрицу B (p x n) : матрица C (m x n), каждый элемент которой равен Свойства операции умножения матриц 2. Перестановочные матрицы : - произведение матрицы A на матрицу B справа - произведение матрицы A на матрицу B слева Перемножение матриц некоммутативно : 1.
Пример. Вычислить произведение матрицы А на матрицу В справа :
Пример. Вычислить произведение матрицы А на матрицу В слева.
Пример. Доказать, что матрицы А и В перестановочные
Определитель матрицы второго порядка : Определители квадратных матриц число, равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей матрицы
Пример. Вычислить определитель матрицы
Минор элемента матрицы третьего порядка : определитель матрицы второго порядка, получающейся из данной матрицы вычеркиванием i -ой строки и k -г o столбца, на пересечении которых находится этот элемент.
Алгебраическое дополнение элемента матрицы третьего порядка : число, равное произведению минора этого элемента на. Пример.
Определитель матрицы третьего порядка : число, равное сумме произведений элементов любой строки (столбца) матрицы на их алгебраические дополнения - разложение определителя по строке
Пример. Вычислить определитель матрицы разложением по первой строке
Пример. Вычислить определитель матрицы разложением по второму столбцу
Правило треугольника + -
Пример. Вычислить определитель матрицы по правилу треугольника
Пример. Вычислить определитель, разложив его по элементам первого столбца
Пример. Вычислить определитель, используя правило треугольника
Основные свойства определителей 1.Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы 2. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю. 3. При перестановке двух строк (столбцов) местами определитель меняет знак. 4. Определитель с одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
5. Умножение определителя на число эквивалентно умножению строки (столбца) на это же число. 6. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю. 7. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число. 8. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц :
* 2+ 0 Пример. Вычислить определитель
* 2+ * (-3)+ * (-5)+ Пример.
Квадратная матрица А называется обратимой, если существует обратная к ней матрица, удовлетворяющая соотношениям Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы определитель ее был не равен нулю ; тогда матрица А – невырожденная и Обратная матрица
Свойства обратных матриц
Пример. Найти обратную матрицу для матрицы
Проверка :
1. Алгебраическое дополнение элемента матрицы равно... 1) 2 2) -2 3) 6 4) 14 2. Матрица является..... 1) квадратной; 2) единичной; 3) нулевой; 4) диагональной
3. Определитель равен..... 1) -1 2) -5 3) 5 4) 1 4. С матрицами и можно выполнить операцию...... 1) A + В 2) А - В 3) А х В 4) В х А
5. Сумма элементов побочной диагонали матрицы произведения матрицы на матрицу слева равно..... 1) 13 2) -18 3) 30 4) -30
Самостоятельная работа № 1 1. Если определитель матрицы равен D, то определитель матрицы равен….. 2) 3) 4) 2. Если определитель матрицы равен D, то определитель обратной к ней матрицы равен….. 2) 3) 4)
Самостоятельная работа № 1 3. Матрица является обратной по отношению к матрице при k = … 4 2) 2 3) -4 4) 0 4. Если в определителе четвертого порядка поменять местами второй и четвертый столбец, то определитель… 1)изменит знак 2) не изменится 3) обратится в нуль 4) удвоится
До свидания!
