Матрицей размера m ×n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Обозначение матриц: A, B, C, X, … Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Обозначение элементов: где i – номер строки, j – номер столбца
В общем виде В сокращенной форме
Определение: Матрица любого размера называется нулевой или нуль-матрицей, если все ее элементы равны нулю. Обозначение: О Пример:
Матрица, размерности: 1 ×n называется матрицей-строкой или вектором-строкой m× 1 называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом
Матрица размерности n ×n называется квадратной порядка n Пример - квадратная матрица второго порядка
Элементы матрицы, у которых номер столбца равен номеру строки ( i=j), называются диагональными и составляют главную диагональ матрицы. Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы называется её следом. Обозначается trA.
Квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю, называется диагональной матрицей. Пример: - диагональная матрица второго порядка
Если у диагональной матрицы порядка n все диагональные элементы равны 1, матрица называется единичной порядка n. Обозначение E n Пример - единичная матрица третьего порядка
Умножение матрицы на число Сложение матриц Вычитание матриц Умножение матриц Возведение в степень Транспонирование матрицы
Выполнимо для любых матриц и любых чисел Производится поэлементно Правило: Пример:
Выполнимо только для матриц одинаковой размерности Производится поэлементно Правило: Пример:
Выполнимо только для матриц одинаковой размерности Производится поэлементно Правило: или Пример:
Выполнимо если число столбцов первого множителя равно числу строк второго Правило: Примеры:
Выполнимо для квадратных матриц Правила: Пример:
Выполнимо для любой матрицы Обозначение: А Т или А ' Правило: поменять строки на столбцы с сохранением порядка. Пример:
Любой квадратной матрице ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем или детерминантом. Обозначение: det A или | А | или ∆А или ∆ n или ∆ Определитель матрицы – это число. Определитель существует только для квадратных матриц.
Определяется по формуле: при А=(а 11 ) ∆ 1 =а 11 Пример: А=(-5) ∆ 1 = ∆А = - 5
Определяется формулой: Пример:
Определяется формулой
Знаки произведений определяются с помощью правила треугольников или правила Сарруса :
Определителем матрицы А n- го порядка называется алгебраическая сумма n ! произведений n- го порядка элементов этой матрицы, причем в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца данной матрицы
Рассмотрим квадратную матрицу А n Минором называется определитель ( n -1) - го порядка, полученный вычеркиваем из матрицы А i- й строки и j -го столбца. Пример:
Алгебраическим дополнением называется минор, взятый со знаком, т.е. Пример Матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы А, называется присоединенной матрицей и обозначается
Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения: - разложение определителя по элементам i- й строки Используется для вычисления определителей порядка выше третьего.
Вычислить Решение:
При транспонировании ∆ не меняется. При перестановке двух строк ∆ меняет знак. ∆=0 если: содержит нулевую строку (столбец); содержит две одинаковые строки; содержит две пропорциональные строки. Если все элементы строки умножить на число λ, то ∆ увеличится в λ раз; общий множитель строки можно вынести за знак ∆. Если к элементам строки прибавить элементы другой строки, умноженной на число ≠0, то ∆ не меняется.
Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов. Определитель диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов
Перебором всевозможных произведений (по определению); Разложением по строке или столбцу (по теореме Лапласа); С использованием свойств определителей; Сочетание способов.
Обозначение: А -1 –обратная для матрицы А Определение: Матрицей А -1, обратной к данной квадратной матрице А, называется такая, что выполняется равенство: А -1 ∙А = А∙ А -1 = Е. Пример: -обратна матрице, т.к.
Если определитель квадратной матрицы равен нулю ( ∆ А=0), матрица называется вырожденной. Если определитель отличен от нуля ( ∆ А≠0), матрица называется невырожденной. Критерий обратимости матрицы : А имеет обратную ↔ А – невырожденная Обратную матрицу можно найти по формуле:
Вычислить ∆ А. Если ∆ А=0, то А -1 не существует. Если ∆ А≠0, найти алгебраические дополнения всех элементов. Составить Транспонировать матрицу Выполнить умножение на Выполнить проверку равенства А -1 ∙А = Е.
Найти матрицу, обратную к Решение: 1. ∆ А = -1∙1 - 2∙0 = -1 ≠0 → А -1 существует. 2. Итак, 3.
4. 5. Проверка: Ответ:
Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначение: rang A или r(A). Ранг матрицы показывает число ее линейно независимых строк (столбцов).
Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров: для А m ×n r(A) ≤ min {m, n} ; Ранг матрицы равен нулю только для нулевой матрицы: r(A)=0 ↔ A= O ; Ранг квадратной матрицы равен ее порядку только для невырожденной матрицы: для А n r(A)=n ↔ А – невырожденная; Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях над её строками (столбцами).
