Докладчик Фридман Елена Михайловна Издательство «Легион»
Две окружности касаются внешним образом в точке К. Прямая АВ касается первой окружности в точке А, а второй – в точке В. Прямая ВК пересекает первую окружность в точке D, прямая АК пересекает вторую окружность в точке С. а ) Докажите, что прямые AD и BC параллельны. б ) Найдите площадь треугольника ABK, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
BC AB,
Δ AKD ~ Δ BKC ( по двум углам) AK – общая высота Δ A В D и Δ AK В = Пусть
. = 20=25S, Ответ. 3,2
Две окружности касаются внутренним образом в точке К, причем меньшая окружность проходит через центр О большей окружности. Диаметр АВ большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке С, отличной от К. Лучи КО и КС вторично пересекает большую окружность в точках D и E соответственно. Точка В лежит на дуге ЕК большей окружности, не содержащей точку D. а ) Докажите, что прямые DE и AB параллельны. б ) Известно, что sin KOB = Прямые DB и EK пересекаются в точке L. Найдите отношение EL:LK.
DEK=OCK=90° DE||AB. l - общая касательная, OK l, O 1 K l D,O, O 1, K лежат на одной прямой. б ) AB EK EC=CK KB=BE
DB – биссектриса EDK. EDK= = BOK (AE||AB)= = = Ответ.
В прямоугольной трапеции KLMN с основаниями KN и LM ( KN > LM ) окружность, построенная на большем основании как на диаметре, пересекает меньшее основание в точках A и M. а) Докажите, что угол AKL равен углу MKN. б) Диагонали трапеции пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника KLO, если KL =3, LM =6 LA.
1. ∠ MNK = 90°. MC=NC, что невозможно (катет не равен гипотенузе). 2. ∠ LKN = 90°. KN - диаметр, следовательно, KL – касательная, AK – хорда.
∠ AKL =, ∠ MKN = ∠ AKL = ∠ MKN. а) б) ∆AKL=∆MHN AL = HN ΔALK ~ ΔLKM, LM=6LA 6AL 2 =6·9, AL=3, LM =18, KN =KH+HM= =LM+LA=18+3=21.
S LOK =S LKM -S LOM ΔLOM~ΔKON =
Дана окружность. Продолжения диаметра AB и хорды PK пересекаются под углом 30° в точке С. Известно, что CB:AB=1:4; AK пересекает BP в точке T. а) Докажите, что AP:AT=3:4. б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках A, B, P и K, если радиус окружности равен 4.
Проведем OE ⊥ PC, KE=EP, OE= EC=OC · cos C = 2. PE= P 3. Δ ATB~ Δ KTP ( ∠ ATB= ∠ KTP как вертикальные, ∠ PKT= ∠ ABT как вписанные, опирающиеся на одну дугу. ; PT=. 4. = ;
= AO=4, t=2 AC=10, BC=2, PC= 3, KC=3
Две окружности с центрами O 1 и O 2 пересекаются в точках M и N, причем точки O 1 и O 2 лежат по разные стороны от прямой MN. Продолжение диаметра AM первой окружности и хорды AN этой же окружности пересекают вторую окружность в точках C и B соответственно. а ) Докажите, что треугольники ANC и O 1 MO 2 подобны; б) Найдите MC, если ∠ CMB= ∠ NMA, а радиус второй окружности в 2,5 раза больше радиуса первой и MN=2.
а )
MC=5
В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведена высота CH. В треугольники ACH и BCH вписаны окружности с центрами О 1 и О 2 соответственно, касающиеся отрезка СН в точках М и N соответственно. а ) Докажите, что прямые АО 1 и СО 2 перпендикулярны. б) Найдите площадь четырехугольника MO 1 NO 2, если АС= 7, ВС= 24.
б ) – трапеция. а ) · MN Пусть = = ·
AC·BC=CH·AB AB=25, CH= AH= r= · ( Ответ.
Точка О – центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I – центр вписанной в него окружности, H – точка пересечения высот. Известно, что ∠ BAC = ∠ OBC + ∠ OCB, угол ABC = 5 0 °. а) Докажите, что точка H лежит на окружности, описанной около треугольника BOC. б) Найдите ∠ OIH.
1. ∠ BOC = 2 ∠ A, ∠ BOC=180°-( ∠ OBC+ ∠ OCB)= = 180°- ∠ A ⇒ 2 ∠ A= 180°- ∠ A ∠ A= 60°, ∠ BOC = 120° ∠ A= 60°, ∠ B= 50° ⇒ ∠ C=70°. 2. ∆BOC: ∠ OBC=OCB=30° ⇒ ∠ ABO= 50°-30°=20° ∠ ACO= 70°-30°=40°
∠ OIH + ∠ O B H =180°, ∠ O B H =10° ⇒ ∠ OIH =170°
а) Докажите, что . б) Найдите расстояние от точки О до точки пересечения диагоналей трапеции, если высота трапеции равна 2 и ∠ ADC =. В прямоугольную трапецию ABCD с большим основанием AD и прямыми углами A и В вписана окружность с центром в точке О.
а)
Рассмотрим ∆ CDP : AB+CD=BC+AD б )
∆ AFD ~∆ BFC ∆ ABC ~∆ AFM
R=1
Найти BF, BO, cos ∠ FBO и воспользоваться теоремой косинусов. Составить уравнения прямых AC и BD, найти координаты их точки пересечения, убедиться в том, что точки О и F лежат на высоте трапеции, проходящей через центр вписанной окружности, а затем найти разность ординат точек F и О.
В треугольнике АВС точки K, F, N - середины сторон AC, AB и BC соответственно. АН высота треугольника АВС, САВ = 60°, АСВ =15°. а) Докажите, что точки K, F, N и Н лежат на одной окружности. б) Найдите FH, если ВС=.
Решение. KHB= KBH=75°, HFNK – равнобедренная трапеция, HKN= KNF=105°, KHF= NFH=75°, тогда KHF + KNF= HKN + NFH= 180 °, это означает, что точки K, F, N и Н лежат на одной окружности. а) ABC=105° BFNK – параллелограмм.
б) Ответ. 4
Доказать, что прямая, проходящая через основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от этого треугольника подобный ему треугольник. Найдите коэффициент подобия этих треугольников. Задача 9
Дано: ∆ ABC – остроугольный, BH, CD – высоты. Доказать: ∆ ABC ~ ∆ ADH.
Построим вспомогательную окружность, с центром в точке О (середина ВС), которая пройдет через точки H и D.
∆ABC~∆ADH по двум углам.
Доказать, что биссектриса угла разностороннего треугольника лежит между высотой и медианой, проведенными из той же вершины.
Решение. Построим описанную окружность. АМ=МС, дуги АР и РС равны, ВР – диагональ трапеции ВНРМ.
В параллелограмме АВСD проведены высоты ВN и ВМ. Известно, что МN=15, ВD=17. Найти расстояние от точки В до точки Н – точки пересечения высот треугольника ВМ N.
Решение. Ответ. 8
Точка Е лежит на стороне АС правильного треугольника АВС, К – середина отрезка АЕ. Прямая, проходящая через точку Е перпендикулярно АВ, и прямая, проходящая через точку С, перпендикулярно ВС, пересекаются в точке D. Найдите углы треугольника ВК D.
В треугольнике АВС точка М – середина АС. а) Докажите, что длина отрезка ВМ больше полуразности, но меньше полусуммы длин сторон АВ и ВС. б ) Окружность проходит через точки В, С, М. Найдите длину хорды этой окружности, лежащей на прямой АВ, если известно, что АВ=5, ВС=3, ВМ=2.
AB·AD=AC·AM x=0,2
окружности ∆ ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD. Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=4 и MB=3. Касательная к описанной
Ответ. 12 По свойству касательной
Спасибо за внимание
