Рівненський державний гуманітарний університет Факультет математики та інформатики Кафедра вищої математики Виконала: студентка IV курсу, групи МІ – 41 напряму 014 Середня освіта (Математика ) Гамза Марія Сергіївна Керівник: кандидат фізико-математичних наук, доцент Марач Віктор Сильвестрович Рівне – 2020
Актуальність дослідження Актуальність теми зумовлена важливістю застосувань основної теореми теорії многочленів в різних розділах математики. Мета дослідження Розглянути доведення основної теореми та ї ї найважливі-ші застосування. Об’єкт дослідження Основна теорема теорії многочленів та її застосування.
Вступ Розділ І. Основна теорема теорії многочленів та наслідки з неї Розділ ІІ. Застосування основної теореми теорії многочленів Висновки Список використаної літератури
1.1. Неперервність многочлена та його модуля як функцій комплексної змінної 1.2. Доведення основної теореми на основі леми Даламбера 1.3. Доведення основної теореми з використанням властивостей симетричних многочленів 1.4. Топологічне доведення основної теореми теорії многочленів 1.5. Наслідки з основної теореми
Будь-який многочлен з дові-льними комплексними коефіці-єнтами, степінь якого не мен -ший одиниці, має хоча б один корінь, в загальному випадку комплексний. Формулювання основної теореми теорії многочленів
Доведення теореми на основі леми Даламбера Лема Даламбера : Нехай - відмінний від константи многочлен з кільця і. Тоді знайдеться таке комплексне число, щo Геометричний зміст цього твердження такий: якщо на поверхні взяти точку, яка розміщена вище, то можна вказати деяку іншу точку цієї поверхні, яка буде лежати нижче першої. З гідно з рівностям и, i Отже, | і лему доведено.
Доведення основної теореми з використанням властивостей симетричних многочленів Розглянемо випадок довільного многочлена із компле-ксними коефіцієнтами. Утворимо многочлен, замінивши в всі коефіцієнти спряженими комплексними числами, і розглянемо добуток. Згідно із властивостями спряже-них комплексних чисел,, тому всі коефіцієнти многочлена F(z ) є дійсними числами. Многочлен має принаймні один комплексний корінь , тобто, звідки або У першому випадку многочлен має комплексний корінь і теорему доведено. У другому випадку і, перейшовши в обох частинах цієї рівності до спряжених чисел, отримаємо : тобто многочлен має коренем комплексне число, що й завершує доведення основної теореми.
Топологічне доведення теореми
2.1. Розклад многочлена на незвідні множники над полем комплексних чисел. 2.2. Розклад многочлена з дійсними коефіцієнтами на незвідні в полі R множники. 2.3. Розклад многочленів на незвідні в полі Q множники. 2.4. Відокремлення кратних множників та встановлення кратності коренів многочлена. 2.5. Знаходження коренів многочлена з використання формул Вієта. 2.6. Раціональні корені многочлена з цілочисловими коефіцієнтами.
Застосування основної теореми теорії многочленів Розклад многочлена на незвідні множники над полем комплексних чисел. Приклад 1. Знайти зведений многочлен за його коренями, якщо числа є коренями рівняння Р о з в' я з а н н я. Нехай – шуканий многочлен. За формулами Вієта маємо Проте Отже,
Розклад многочлена з дійсними коефіцієнтами на незвідні в полі R множники. Приклад 2. Знайти многочлен найменшого степеня з дійсними коефіцієнтами і старшим коефіцієнтом, що дорівнює 5, якщо цей многочлен має потрійний корінь і простий корінь 2. Р о з в’ я з а н н я. Оскільки шуканий многочлен має потрійний корінь, то його розклад на незвідні множники над полем С має вигляд: Звідси
Приклад 3. Многочлен з дійсними коефіцієнтами має суто уявний корінь, тобто корінь виду. Знайти коефіцієнт і всі корені многочлена. Р о з в’ я з а н н я. Згідно з теоремою 2, многочлен також має коренем спряжене до число Позначивши через і решту коренів цього многочлена, за формулами Вієта отримаємо такі спів-відношення : = 2, + =6, ( )=18, =a. З першої і третьої рівностей дістанемо: тобто можна взяти =3і, = = – 3і. Тоді для знаходження, будемо мати систему рівнянь: = 2, = –3, тобто x 3 і є коренями квадратного рівняння і, отже, –1, або 1. Далі знаходимо: Отже, і його коренями є числа Знаходження коренів многочлена з використанням формул Вієта
В дипломній роботі розглянуто доведення основної теореми теорії многочленів, основні наслідки з неї та її найважливіші застосування. Під час написання даної роботи я глибше познайомилася із властивостями многочленів з дійсними і комплексними коефіцієнтами, із найважливішими методами знаходження їх коренів та розкладу на незвідні множники. Вказана теорема лежить в основі всієї класичної теорії многочленів і теорії алгебраїчних рівнянь, чим і пояснюється її назва. Вона стверджує, що всякий многочлен з будь-яким коефіцієнтами, степінь якого не менший одиниці, має хоча б один корінь, в загальному випадку комплексний. Під час написання даної роботи було розглянуто три доведення основної теореми, з якими я ознайомилася більш детальніше, та дізналася що жодне з них не є чисто алгебраїчним.
Спочатку було розглянуто доведення, яке грунтується на розгляді многочлена та його модуля як неперервних функцій від комплексної змінної і суттєво викopистoвує властивості таких функцій, зокрема, лему Даламбера. Друге ж доведення є найбільш aлгeбpaїчним з існуючих і грунтується на властивостях симетричних многочленів. Третє доведення використовує топологічні властивості полів дійсних і комплексних чисел. Було підібрано і розв’язано значну кількість прикладів на застосування основної теореми та її наслідків, зокрема, на знаходження коренів многочленів та розкладу їх на незвідні множники над основними числовими полями, виділення кратних множників та відшукання кратних коренів. Результати роботи можуть бути використані в навчальному процесі університету при читанні курсів “ Алгебра і теорія чисел ”, “ Загальна алгебра ”, “ Алгебра і геометрія ”, а також у школі при проведенні занять математичного гуртка або факультативу з математики.
