Двугранный угол Л.С. Атанасян "Геометрия 10-11"
Планиметрия Стереометрия Углом на плоскости мы называем фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки. Двугранный угол А В С А В С
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a, не принадлежащими одной плоскости. Две полуплоскости – грани двугранного угла Прямая a – ребро двугранного угла a
O Угол Р DEK Двугранный угол АВ N М, где В N – ребро, точки А и М лежат в гранях двугранного угла А В N Р M К D E Угол SFX – линейный угол двугранного угла S X F
Угол РОК – линейный угол двугранного угла Р DE К. D E Р К O Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. Алгоритм построения линейного угла.
Все линейные углы двугранного угла равны друг другу. А В O А 1 В 1 O 1 Лучи ОА и О 1 А 1 – сонаправлены Лучи ОВ и О 1 В 1 – сонаправлены Углы АОВ и А 1 О 1 В 1 равны, как углы с сонаправленными сторонами
Двугранный угол может быть прямым, острым, тупым
Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – равнобедренный. А С В N П-р Н-я П-я TT П АС ВМ H -я АС N М П-я Угол В MN – линейный угол двугранного угла ВАСК К M
Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – прямоугольный. А В N П-р Н-я П-я TT П АС ВС H -я АС N С П-я Угол ВС N – линейный угол двугранного угла ВАСК К С
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 0.
Примером взаимно перпендикулярных плоскостей служат плоскости стены и пола комнаты, плоскости стены и потолка.
Признак перпендикулярности двух плоскостей. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. А В С D
Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой их этих плоскостей. a
Плоскости и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой с. Докажите, что любая прямая плоскости, перпендикулярная к прямой с, перпендикулярна к плоскости. № 1 7 8. c A a b Признак перпендикулярности прямой и плоскости c B C Подсказка
Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны. № 180. c b a a b Признак параллельности прямой и плоскости Подсказка
Плоскости и пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ соответственно к плоскостям и. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что МС а. № 181. С А В М a
Плоскости и взаимно перпендикулярны пересекаются по прямой a. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что четырехугольник АСВМ – прямоугольник. № 18 2. a С А В М
Плоскости и пересекаются по прямой a и перпендикулярны к плоскости. Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости. № 183. a
Прямоугольный параллелепипед Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.
Прямоугольный параллелепипед Две грани параллелепипеда параллельны.
1 0. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники. 2 0. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые. Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Планиметрия Стереометрия В прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов двух его измерений. А В С D d a b d 2 = a 2 + b 2 Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. d 2 = a 2 + b 2 + с 2 a b с d
d C а b с B A D B 1 C 1 D 1 A 1 Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Следствие. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. d 2 = a 2 + b 2 + с 2
Ребро куба равно а. Найдите диагональ куба. № 188. D А В С А 1 D 1 С 1 В 1 d 2 = a 2 + b 2 + с 2 d = 3 a 2 d 2 = 3 a 2 d = a 3 d = a 3 а а а
Найдите расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, в которой не лежит эта вершина, если: а) диагональ грани куба равна m. б) диагональ куба равна d. № 189. D А В С D 1 С 1 m Н А Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра Подсказка В 1 А 1
Дан куб. Найдите следующие двугранные углы: a ) АВВ 1 С; б) А DD 1 B ; в) А 1 ВВ 1 К, где K – середина ребра А 1 D 1. № 190. D А В С А 1 D 1 С 1 В 1 K
Дан куб АВС D А 1 В 1 С 1 D 1. Докажите, что плоскости АВС 1 и А 1 В 1 D перпендикулярны. № 191. D А В С А 1 D 1 С 1 В 1
Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней. № 192. D А В С А 1 D 1 С 1 В 1 Подсказка Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость. П-Р Н-я П-я Н А М П-Р Н-я П-я
№ 193. D А В С А 1 D 1 С 1 В 1 Подсказка Дан прямоугольный параллелепипед АВС D А 1 В 1 С 1 D 1. Найдите расстояние между: а) прямой А 1 С 1 и и плоскостью АВС; a II a Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью n d m
№ 193. D А В С А 1 D 1 С 1 В 1 Подсказка Дан прямоугольный параллелепипед АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 Найдите расстояние между: б) плоскостями АВВ 1 и DCC 1 ; n d m II Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.
№ 193. D А В С А 1 D 1 С 1 Дан прямоугольный параллелепипед АВС D А 1 В 1 С 1 D 1. Найдите расстояние между : в) прямой DD 1 и плоскостью АСС 1. n d m Подсказка a II a Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью В 1
Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба; № 1 94. D А В С D 1 С 1 а В 1 А 1 a II Расстояние межу одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. a b a b Подсказка
Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: б) диагональ куба и диагональ грани куба. № 1 94. D А В С D 1 С 1 а В 1 А 1 a II Расстояние межу одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми. a b a b Подсказка
№ 1 9 6. D В D 1 С 1 Изобразите куб АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро АА 1 и перпендикулярной к плоскости ВВ 1 D 1 ; А А 1 С В 1
№ 1 9 6. Изобразите куб АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: б) ребро АВ и перпендикулярной к плоскости С DA 1. D В D 1 С 1 А А 1 В 1 С
D А В С А 1 D 1 С 1 В 1 1. Найдите угол А 1 ВС 1 2. Доказать, что MN II А 1 С 1, где M и N – середины ребер куба. N M
Найдите площадь сечения, проходящего через точки А, В и С 1 D В D 1 С 1 А А 1 В 1 С 7 8 6
Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – тупоугольный. А В N П-р Н-я П-я TT П АС В S H -я АС NS П-я Угол В SN – линейный угол двугранного угла ВАСК К С S
Построить линейный угол двугранного угла В D СК. АВС D – прямоугольник. А В N П-р Н-я П-я TT П D С B С H -я D С N С П-я Угол ВС N – линейный угол двугранного угла В D СК К С D
Построить линейный угол двугранного угла В D СК. АВС D – параллелограмм, угол С острый. А В П-р П-я TT П D С В M H -я D С NM П-я Угол В MN – линейный угол двугранного угла В D СК К С D N Н-я M
Построить линейный угол двугранного угла В D СК. АВС D – параллелограмм, угол С тупой. А В П-р П-я TT П D С В M H -я D С NM П-я Угол В MN – линейный угол двугранного угла В D СК К С D Н-я M N
Построить линейный угол двугранного угла В D СК. АВС D – трапеция, угол С острый. А В П-р П-я TT П D С В M H -я D С NM П-я Угол В MN – линейный угол двугранного угла В D СК К С D Н-я M N
Неперпендикулярные плоскости и пересекаются по прямой М N. В плоскости из точки А проведен перпендикуляр АВ к прямой М N и из той же точки А проведен перпендикуляр АС к плоскости. Докажите, что угол АВС – линейный угол двугранного угла АМ NC. № 166. M N А С В П-р Н-я П-я TT П М N А B H -я MN ВС П-я Угол АВС – линейный угол двугранного угла АМ NC
С А В D M В тетраэдре D АВС все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Докажите, что угол D МВ – линейный угол двугранного угла ВАС D. № 167.
Двугранный угол равен. На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла. № 168. В d N А ?
Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие грани являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна 180 0. № 169. F В А О
