План Вращательное движение Поступательное движение твердого тела Плоскопараллельное (плоское) движение Кинематика твердого тела
Задача кинематики твердого тела состоит в изучении движения тела в целом, а также в изучении движения каждой точки этого тела. Вид формул для определения кинематических характеристик движения тела будет зависеть от вида движения.
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси (вращательное движение ) Вращательное движение - это такое движение тела, при котором хотя бы две его точки неподвижны Задать вращательное движение можно с помощью угла поворота , который отсчитывается от неподвижной полуплоскости, полуплоскостью, жестко связанной с телом
Угол измеряется в радианах (в одном обороте содержится 2 радиан или 360 градусов). Характеристикой быстроты вращения служит угловая скорость - ω (омега). Средняя угловая скорость равна отношению угла поворота к промежутку времени, за который произошел этот поворот.
Мгновенной угловой скоростью называется величина, к которой стремится средняя, если промежуток времени стремится к нулю то есть Мгновенная угловая скорость равна производной от угла поворота по времени. Единица измерения угловой скорости – радиан, деленный на секунду
В технике быстрота вращения измеряется в оборотах в минуту. Обозначим эту величину буквой n и назовем частотой вращения. Так как в 1 обороте содержится 2 радиан, а в минуте - 60 секунд, то
Характеристикой быстроты изменения угловой скорости служит угловое ускорение (эпсилон). Среднее угловое ускорение равно отношению приращения угловой скорости к промежутку времени, за который произошло это приращение
Мгновенное угловое ускорение равно пределу, к которому стремится среднее, если промежуток времени стремится к нулю то есть мгновенное угловое ускорение равно первой производной по времени от угловой скорости или второй производной от угла поворота.
Единица измерения углового ускорения Угол поворота, угловая скорость и угловое ускорение характеризуют вращательное движение тела в целом.
1.Равномерное вращение Равномерным называется вращение тела, при котором угловая скорость тела все время остается постоянной ( ω = const ). -закон равномерного вращения
2. Равнопеременное вращение. Равнопеременным называется такое вращение тела, когда его угловое ускорение во все время движения остается постоянным ( ε = Const ). Проинтегрировав, получим закон изменения угловой скорости
получим закон равнопеременного вращения
Вторая задача кинематики твердого тела: определение кинематических характеристик каждой его точки. Для ее решения необходимо получить формулы для определения скоростей и ускорений точек вращающегося тела.
Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения. При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения
. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол d φ, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение. Тогда числовое значение скорости будет равно откуда то есть скорость произвольной точки вращающегося тела равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения
Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами В нашем случае =h и, подставляя значения скорости, получим то есть
откуда Полное ускорение
Пример. Определить скорость и ускорение конца секундной стрелки часов длиной 2 см. Решение. Секундная стрелка делает один оборот в минуту, поэтому ее угловая скорость Скорость и ускорение точки найдутся по формулам
Учитывая, что угловое ускорение стрелки равно нулю, так как угловая скорость ее постоянна, а расстояние от конца стрелки до оси вращения h =2cм=0,02м, находим м/с. м/с 2. a =0 м/с 2.
Передаточным отношением называется отношение угловых скоростей ведущего и ведомого звеньев Пользуясь полученными формулами, можно произвести кинематический расчет простейших механических передач. Цель этого расчета - определение зависимости между угловыми скоростями звеньев.
Рассмотрим следующие виды передач: Зубчатые и фрикционные
Таким образом, передаточное отношение будет равно Так как количество зубьев пропорционально радиусам колес, то Скорость точки касания колес равна скоростям точек на их ободе, отсюда имеем: где и - количество зубьев на каждом из колес.
2.Цепные и ременные передачи
для ременных - для цепных Скорость точек ремня или цепи равна скоростям точек на ободах ведомого и ведущего звеньев, поэтому, формулы для определения передаточного отношения будут аналогичными
Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается при его движении параллельной самой себе. Поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями.
Примеры: кузов автомобиля на прямом горизонтальном участке дороги движется поступательно, при этом траектории его точек будут прямыми линиями, педаль велосипеда совершает поступательное движение, а все ее точки движутся по криволинейным траекториям.
Рассмотрим твердое тело, совершающее поступательное движение
Так как вектор постоянен и по величине и по направлению, то отсюда: продифференцировав это уравнение еще раз, имеем
Таким образом, можно сделать вывод : при поступательном движении твердого тела все его точки движутся по одинаковым траекториям и имеют одинаковые скорости и ускорения, следовательно, для изучения движения всего тела, достаточно изучить движение одной его точки.
Пример. Длина кривошипов механизма спарника ОА = О 1 В =0,2м; они вращаются с постоянной угловой скоростью 10рад/с. Требуется найти скорость и ускорение точки С, находящейся на звене АВ.
Решение. Звено АВ совершает поступательное движение, поэтому скорости и ускорения всех его точек одинаковы, в частности: Поскольку точка А находится на конце звена ОА, совершающего вращательное движение, то ее скорость равна
Полное ускорение точки А равно нормальному. Ускорение точки А касательное: (так как ,то ). нормальное: м/с 2.
Плоскопараллельное движение - это такое движение твердого тела, при котором все его точки движутся параллельно какой-нибудь неподвижной плоскости. Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например, шатун АВ в кривошипно-ползунном механизме катящееся колесо на прямолинейном участке пути
. Тела, совершающие плоское движение
Рассмотрим тело, все точки которого движутся параллельно неподвижной плоскости Р. Выделим в этом теле сечение S, параллельное плоскости Р.
Для изучения движения всего тела достаточно изучить движение этого сечения, поскольку остальные точки тела жестко связаны с точками этого сечения. Положение всего сечения определяет положение произвольного отрезка АВ, которое, в свою очередь, может быть задано при помощи координат Х и У произвольной точки А и угла поворота, который образует отрезок АВ с осью Х.
Таким образом, для того, чтобы задать плоское движение, необходимы три уравнения Эти уравнения называются уравнениями плоского движения. Характеристиками плоского движения тела в целом являются: скорость и ускорение полюса, а также угловая скорость и угловое ускорение тела , Первые две характеристики зависят от выбора полюса, а угловая скорость и угловое ускорение не зависят (1)
Рассмотрим способы определение скоростей точек плоской фигуры. Перемещение сечения тела при плоском движении можно представить как сумму двух перемещений: при поступательном движении тела со скоростью полюса и при вращательном движении вокруг полюса
Продифференцируем это выражение по времени откуда: Из рисунка видно, что (2)
Следовательно, скорость произвольной точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости данной точки относительно полюса. Величина скорости точки В относительно полюса А - равна произведению угловой скорости тела на длину отрезка АВ, направление скорости - перпендикулярно отрезку АВ в сторону угловой скорости.
Теорема о проекциях скоростей Для доказательства теоремы спроектируем левую и правую часть формулы (2) на отрезок АВ.
Поскольку вектор перпендикулярен отрезку АВ, то проекция его равна нулю, поэтому имеем (3) то есть проекции скоростей двух точек одного твердого тела на отрезок, соединяющий их, равны. Пользуясь формулой (3) можно найти величину скорости одной точки, если известно ее направление и вектор скорости другой точки.
. Мгновенный центр скоростей - это точка сечения тела, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Рассмотрим тело, совершающее плоское движение. Известно направление скоростей точек А и В этого тела
Восстановим перпендикуляры к направлениям скоростей. Покажем, что скорость точки Р пересечения перпендикуляров равна нулю. Если она не равна нулю, то согласно теореме о проекциях она должна быть одновременно перпендикулярна отрезкам АР и ВР, что невозможно, то есть точка Р - мгновенный центр скоростей. Принимая точку Р за полюс, скорость точки А можно найти как
Поскольку, то скорость точки А можно найти как скорость при вращательном движении вокруг полюса (4) То есть скорость любой точки плоской фигуры равна произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до мгновенного центра скоростей, вектор скорости направлен перпендикулярно отрезку, соединяющему данную точку с мгновенным центром скоростей, в сторону вращения тела.
Таким образом, плоское движение можно представить как сумму мгновенных вращательных движений вокруг осей, проходящих через мгновенные центры скоростей. Из формулы (4) следует, что угловая скорость тела равна отношению скорости любой точки к расстоянию от этой точки до мгновенного центра скоростей
Так, при качении колеса по неподвижной плоскости без скольжения мгновенный центр будет находиться в точке касания колеса с опорной поверхностью (поскольку скорость точек соприкосновения при качении без скольжения одинакова, а скорость точек неподвижной поверхности равна нулю).
Пример. Кривошип ОА кривошипно-ползунного механизма вращается равномерно с угловой скоростью 10 рад/с. Длина кривошипа ОА =0,2 м, длина шатуна АВ =0,5 м. Определить угловую скорость шатуна АВ и скорость его средней точки С при горизонтальном ( φ =0) и вертикальном ( φ = π /2 ) положениях кривошипа
Решение. Вначале рассмотрим положение механизма при φ =0. Скорость точки А будет равна м/с.
Скорость точки А направлена перпендикулярно кривошипу в сторону угловой скорости, а скорость точки В может быть направлена по горизонтальным направляющим. Следовательно, если провести перпендикуляры к скоростям точек А и В, то они пересекутся в точке В и в ней будет находиться мгновенный центр скоростей звена АВ. Данное положение соответствует крайне правой “мертвой“ точке ползуна.
Угловая скорость звена АВ будет равна рад/с, а скорость точки С - м/с
Рассмотрим механизм при вертикальном положении кривошипа Величина скорости точки А не изменится, а направление показано на рисунке.
Поскольку вектора скоростей точек А и В параллельны, то и перпендикуляры к скоростям также будут параллельны, то есть точка пересечения их находится в бесконечности. Из этого следует, что угловая скорость шатуна АВ в данном положении будет равна нулю, то есть скорости всех точек шатуна будут одинаковы: V C = V A = V B. При помощи полученных формул можно делать кинематический расчет планетарных и дифференциальных передач.
Пример. Кривошип ОА планетарной передачи вращается с постоянной угловой скоростью 20 рад/с. Определить угловую скорость подвижного колеса 2, если радиус неподвижного колеса 1 r 1 =10 см, а подвижного r 2 =5 см.
Решение. Найдем скорость точки А, находящейся на конце кривошипа м/с. Мгновенный центр скоростей подвижного колеса находится в точке касания с неподвижным, поэтому угловая скорость подвижного колеса будет равна рад/с.
Сложным называется движение точки, которое рассматривается относительно двух систем отсчета – подвижной и неподвижной. В некоторых случаях это значительно облегчает решение задач кинематики. В каждой системе отсчета движение будет выглядеть по-разному.
Рассмотрим движение лодки, движущейся поперек реки. Относительно неподвижной системы отсчета (берега) она будет двигаться по диагонали, а если рассматривать движение относительно системы отсчета, связанной с водой, то перпендикулярно берегу это движение увидит человек, сидящий на бревне, которое плывет по течению.
Тележка движется по платформе. Если рассматривать движение тележки относительно подвижной системы отсчета, связанной с платформой, то ее скорость будет равна V 1, а относительно неподвижной системы, связанной с рельсами, - V 1 + V 2.
В кулисном механизме точка А относительно корпуса будет двигаться по окружности радиуса ОА, а относительно кулисы О 1 В - по прямой, то есть неподвижная система отсчета XYZ связана с корпусом, а подвижная – X 1 Y 1 Z 1 с кулисой O 1 В.
Движение точки относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным, а ее скорость в этом движении – абсолютной скоростью
Движение точки относительно подвижной системы отсчета называется относительным, а ее скорость в этом движении – относительной скоростью -. Движение подвижной системы со всеми жестко связанными с ней точками пространства относительно неподвижной системы отсчета называется переносным, а скорость точки подвижной системы, совпадающей с данной точкой – переносной скоростью -.
Определение абсолютной скорости Рассмотрим точку М, движущуюся по кривой АВ, которая, в свою очередь, движется относительно неподвижной системы отсчета.
Если бы кривая не двигалась, то за время Δ t точка перешла бы в положение M /, так как кривая движется, то она перейдет в положение М 1. Вектор равен абсолютному перемещению точки.
Разделим на Δ t и перейдем к пределу Отсюда (1) Таким образом, абсолютная скорость равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.
Геометрическая интерпретация . По теореме косинусов (2)
По формуле (2) можно найти модуль скорости при различных углах между относительной и переносной скоростями. При При При
Для определения абсолютного ускорения используется теорема Кориолиса : абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного ускорения, относительного ускорения и ускорения Кориолиса . (3) Определение абсолютного ускорения Формула (3) получена путем дифференцирования (1) по времени.
Переносное ускорение характеризует изменение переносной скорости в переносном движении, относительное ускорение характеризует изменение относительной скорости в относительном движении, а ускорение Кориолиса- изменение переносной скорости в относительном движении и относительной – в переносном.
Ускорение Кориолиса определяется по формуле то есть равно удвоенному векторному произведению вектора переносной угловой скорости на вектор относительной скорости. Вектор переносной угловой скорости направляется по оси вращения так, чтобы глядя с его конца поворот тела был виден против часовой стрелки.
(4) где - угол между векторами и Направление ускорения Кориолиса находится, как направление векторного произведения, то есть перпендикулярно плоскости, проходящей через вектора так, чтобы, глядя с его конца, поворот вектора на наименьший угол был виден против часовой стрелки. и Модуль ускорения Кориолиса находится как модуль векторного произведения
Из формулы (4) следует, что ускорение Кориолиса равно нулю в трех случаях. 1. =0, то есть если переносное движение поступательное. 2. =0, то есть при мгновенной остановке точки в относительном движении. 3. =0, то есть когда вектора и параллельны. Заметим, что если переносное и относительное движение будут происходить в одной плоскости, то есть угол α =90 о, для определения направления ускорения Кориолиса надо вектор относительной скорости повернуть на 90 о в сторону вращения.
Пример. Пластина со стороной b =20 см вращается с постоянной угловой скоростью 2 рад/с По стороне АВ движется точка М по закону S =5 t 2 см. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t =2 c.
Решение. Подвижную систему отсчета связываем с пластиной, поэтому относительным будет движение точки по пластине. Для того, чтобы найти относительную скорость, надо остановить переносное движение. Относительная скорость при t =2 c V отн =20 см/с. Относительное ускорение см/с 2
Для того, чтобы определить переносную скорость, надо остановить относительное движение, то есть считать, что точка закреплена на пластине = 40 см/с
Относительное ускорение см/с 2 Для того, чтобы определить переносную скорость, надо остановить относительное движение, то есть считать, что точка закреплена на пластине =40 см/с Переносное ускорение =40 см/с 2 так как пер = const ).
Для сложения скоростей используем формулу (2). Учитывая, что векторы относительной и переносной скоростей перпендикулярны друг другу, абсолютную скорость найдем по формуле см/с Для определения абсолютного ускорения используем теорему Кориолиса Вектор переносной скорости направлен по оси вращения пластины, поэтому он будет параллелен вектору относительной скорости, следовательно, ускорение Кориолиса будет равно нулю. Тогда
Поскольку вектора переносного и относительного ускорения перпендикулярны, то см/с 2.
1. Какие существуют способы для задания движения точки? 2. Как находятся скорость и ускорение точки при векторном способе задания движения? 3. Как находятся скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения? 4. Как находятся скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения? 5. Как направляются естественные оси координат? 6. Как находится скорость и перемещение точки при равнопеременном движении?
7. Зависимости между скоростями и ускорениями точек при поступательном движении тела. 8. Как задается вращательное движение тела? 9. Как находится средняя угловая скорость? 10. Как находится мгновенная угловая скорость? 11. Как находится мгновенное угловое ускорение? 12. В каких единицах измеряются угловая скорость и угловое ускорение? 13. Как определяется скорость точки, находящейся на вращающемся теле?
14. Как определяется ускорение точки, находящейся на вращающемся теле? 15. Как задается плоско-параллельное движение тела? 16. Какая точка называется мгновенным центром скоростей? 17. Как находится скорость точки при помощи мгновенного центра скоростей? 18. Как формулируется теорема о проекциях скоростей? 19. Где находится мгновенный центр скоростей при качении тела по неподвижной поверхности? 20. Какое движение называется сложным? 21. Как находится абсолютная скорость точки?
22. Как находится абсолютное ускорение точки при поступательном переносном движении? 23. Как находится абсолютное ускорение точки при вращательном переносном движении? 24. В каких случаях ускорение Кориолиса равно нулю?
