Подготовил студент ТХ-21 группы Киронда М.В.
Математическое ожидание случайной величины — это сумма всех возможных ее значений, помноженных на их вероятность. Говоря простым языком, это «среднее значение» принимаемой случайной величины. Для игральной кости оно равно (1+2+3+4+5+6)*1/6=3.5. Что нам это дает? То, что кидая кость много (например 100) раз, в среднем каждый раз будет выпадать 3.5, а в сумме выпадет примерно 100*3.5=350.
Дисперсия. Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Обозначается D [X] {\displaystyle D [X]} в русской литературе и Var (X) {\displaystyle \operatorname {Var} (X)} (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение σ 2 {\displaystyle \sigma _ {X}^ {2}} или σ {\displaystyle \displaystyle \sigma ^ {2}}.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины, возможные значения которой принадлежат всей оси, определяется равенством: где – плотность распределения случайной величины. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.
Свойства 1. Математическое ожидание константы равно этой константе: M(C)=C Свойства 2 Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX)=CM(X)
Свойство 3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M(X1+X2+...+Xn)=M(X1)+M(X2)+...+M(Xn) Свойство 4. Математическое ожидания произведения случайных величин: M(X1X2)=M(X1)*M(X2)+cov(X,Y) где cov(X,Y) – ковариация случайных величин X и Y В частности, если и независимы, то M(X1X2)=M(X1*M(2)) И вообще, для независимых случайных величин математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий сомножителей: M(X1X2*...*Xn)=M(X1)*M(X2)*...*M(Xn)
Классический пример — игральная кость. Кидая ее, можно случайно получить одно из шести возможных значений. 3). Математическое ожидание случайной величины — это сумма всех возможных ее значений, помноженных на их вероятность. Говоря простым языком, это «среднее значение» принимаемой случайной величины. Для игральной кости оно равно (1+2+3+4+5+6)*1/6=3.5.
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания Пример. Пусть случайные величины и имеют следующее законы распределения - 0,1 0,1 0,4 -10 0,5 0,3 0,15 0,3 0,25 0,4 0,2 0,4. Найти математические ожидания и дисперсии этих случайных величин.
Пример 1. Организована беспроигрышная лотерея. Имеется 1000 выигрышей, из них 400 по 10 руб. 300 - по 20 руб. 200 - по 100 руб. и 100 - по 200 руб. Каков средний размер выигрыша для купившего один билет? Решение. Средний выигрыш мы найдём, если общую сумму выигрышей, которая равна 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 руб, разделим на 1000 (общая сумма выигрышей). Тогда получим 50000/1000 = 50 руб. Но выражение для подсчёта среднего выигрыша можно представить и в следующем виде: С другой стороны, в данных условиях размер выигрыша является случайной величиной, которая может принимать значения 10, 20, 100 и 200 руб. с вероятностями, равными соответственно 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Следовательно, ожидаемый средний выигрыш равен сумме произведений размеров выигрышей на вероятности их получения.
Число проданных экземпляров Вероятность Затраты 500 0,20 225000 1000 0,40 250000 2000 0,25 300000 3000 0,10 350000 4000 0,05 400000 Число Прибыль x i Вероятность p i x i p i 500 -125000 0,20 -25000 1000 -50000 0,40 -20000 2000 100000 0,25 25000 3000 250000 0,10 25000 4000 400000 0,05 20000 Всего: 1,00 25000 Пример 2. Издатель решил издать новую книгу. Продавать книгу он собирается за 280 руб., из которых 200 получит он сам, 50 - книжный магазин и 30 - автор. В таблице дана информация о затратах на издание книги и вероятности продажи определённого числа экземпляров книги. Найти ожидаемую прибыль издателя. Решение. Случайная величина "прибыль" равна разности доходов от продажи и стоимости затрат. Например, если будет продано 500 экземпляров книги, то доходы от продажи равны 200*500=100000, а затраты на издание 225000 руб. Таким образом, издателю грозит убыток размером в 125000 руб. В следующей таблице обобщены ожидаемые значения случайной величины - прибыли: Таким образом, получаем математическое ожидание прибыли издателя:
Пример 3. Вероятность попадания при одном выстреле p = 0,2. Определить расход снарядов, обеспечивающих математическое ожидание числа попаданий, равное 5. Решение. Из всё той же формулы математического ожидания, которую мы использовали до сих пор, выражаем x - расход снарядов:
