Случайная величина – это числовая характеристика случайного события. Например, выигрыш в лотерее – случайное событие. размер выигрыша – случайная величина.
Случайные величины обозначаются греческими буквами: (кси), (эта), (тета) и так далее, а их возможные значения – латинскими буквами с индексами: x i, y i, z i. Например, случайная величина - «размер выигрыша в лотерее» может иметь следующие возможные значения : х 1 = 0 руб.; х 2 = 10 руб.; х 3 = 100 руб.; х 4 = 1000 руб.
Случайные величины делятся на дискретные; непрерывные. Случайную величину называют дискретной, если множество ее возможных значений образует конечную последовательность чисел. (например, случайная величина - «размер выигрыша в лотерее»)
Непрерывные случайные величины сплошь заполняют некоторый числовой интервал. Например, время безотказной работы прибора теоретически [0 ;,+ )
Дискретные случайные величины задаются рядом распределения, а непрерывные – функцией распределения
Ряд распределения ставит в соответствие каждому возможному значению случайной величины х i соответствующую вероятность р i. ξ x 1 x 2 … x n p i p 1 p 2 … p n p i , i=1, 2, =1
Пример 1 Рассмотрим случайную величину - «число гербов, выпавших при подбрасывании монеты три раза». Она может принять четыре значения: 0,1,2,3. P(A 0 )=1/8 ; P(A 1 )= 1 /8 +1/8+1/8=3/8; P(A 2 )= 1 /8 +1/8+1/8=3/8; P(A 3 )=1/8. ξ 0 1 2 3 p i 1/8 3/8 3/8 1/8 Построим ряд распределения случайной величины
Функцией распределения F( х ) СВ ξ называется функция действительного аргумента х, определенная на всей числовой оси и равная вероятности того, что СВ ξ примет значение меньше или равное х: F ( x ) = P ξ x }.
Построить функцию распределения числа гербов при трех подбрасываниях монеты ξ 0 1 2 3 p i 1/8 3/8 3/8 1/8 Решение - <x< 0 : F(X)=P( ξ <0)=0 0 x<: F(X)=P( ξ <1)= P( ξ =0)=1/8 1 x<2 : F(X)=P( ξ < 2 )=P( ξ =0) + P( ξ = 1) =1/8 +3/8=4/8 2 x< 3 : F(X)=P( ξ < 3 )= P( ξ =0) + P( ξ = 1)+ P( ξ = 2) = =1/8 +3/8+3/8=7/8
1 F(x) График функции распределения F(X) 0 1 2 3 х
1) 2) F(x) – неубывающая : если то F ( x 1 ) F ( x 2 ). 3) 4) Вероятность попадания СВ в интервал ( a, b ] :
СВ задана функцией распределения Найти вероятность того, что в результате эксперимента случайная величина попадет в интервал (1;3 ].
Самостоятельная работа Функция распределения Вариант ответа A B C D 1 / 9 1/3 1/2 1 Задание. Случайная величина задана функцией распределения. Найти вероятность попадания в интервал (1;2 ].
У нас a=1; b= 2. Тогда
Справедливо и обратное соотношение:
1) Для всех x плотность распределения вероятностей неотрицательна 2) Свойство нормировки . 3) Вероятность попадания случайной величины в интервал ( a ; b] равна
График y = f ( x ) называют кривой распределения y =f( x ) a b х
Случайная величина задана плотностью вероятности Найти вероятность того, что в результате эксперимента случайная величина попадет в интервал (3;5 ].
Это числа, полученные по определенным правилам из законов распределения. Наиболее часто используются: Математическое ожидание; Дисперсия; Среднеквадратическое (стандартное) отклонение.
Характеризует среднее значение СВ Математическим ожиданием дискретной СВ называется сумма произведений возможных значений x i на их вероятности p i M ( ) = x 1 p 1 + x 2 p 2 +… x n p n
Пример Найти математическое ожидание числа очков при одном подбрасывании игрального кубика. Решение 1. Строим ряд распределения 2. Вычисляем математическое ожидание ξ 1 2 3 4 5 6 p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
, Пример Найти математическое ожидание СВ, заданной плотностью вероятности
Решение
Дисперсия и среднеквадратическое отклонение определяют среднюю величину разброса значений СВ относительно математического ожидания Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата СВ - M ( ): D ( )= M[ - M ( ) ] 2 или D ( )= M[ - M ( ) ] 2 Среднеквадратическое отклонение :
Дисперсия непрерывной СВ определяется формулой или Для дискретной СВ дисперсия определяется по формуле или
ξ 1 2 3 4 5 6 p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Решение M ( ) = 3,5
Найти дисперсию случайной величины, заданной плотностью вероятности Решение
Случайная величина ξ имеет нормальное распределение, если ее плотность распределения вероятностей при всех x задается равенством Нормальное распределение используется для описания случайных явлений, в которых на результат измерения влияет большое число независимых случайных факторов. Основные законы распределения СВ
f(x) x m m-3 σ m+3 σ f max = Затухание кривой происходит по правилу «трех сигм»
Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с параметрами m = 0, σ=1. Плотность стандартного нормального распределения имеет вид 0 m -3 3 x
Функцию распределения стандартного нормального закона называют функцией Лапласа Для функции распределения стандартного нормального закона имеются таблицы значений, которые широко используются в статистических исследованиях Свойства нормального распределения
Случайная величина задана плотностью вероятности Определить: математическое ожидание; дисперсию; стандартное отклонение ; вероятность попадания значений случайной величины в интервал (-2; 3].
Случайная величина задана плотностью вероятности Определить: математическое ожидание; дисперсию; стандартное отклонение ; вероятность попадания значений случайной величины в интервал (-2; 3].
Случайная величина задана плотностью вероятности Определить: математическое ожидание; дисперсию; стандартное отклонение ; вероятность попадания значений случайной величины в интервал (-2; 3].
Случайная величина задана плотностью вероятности Определить: математическое ожидание; дисперсию; стандартное отклонение ; вероятность попадания значений случайной величины в интервал (-2; 3]. M( ξ )=1 ; σ ( ξ )=4; D( ξ )= σ 2 =16
a =-2; b =3
Случайная величина ξ распределена равномерно на промежутке [ a, b ], если ее плотность распределения вероятностей задается равенством Равномерное распределение
f(x) График f( х ) 0 х a b
0 a b x 1 График равномерной функции распределения
Вероятность того, что случайная величина η (число «успехов» при n независимых испытаниях) примет значение m, можно найти по формуле Бернулли Биномиальное распределение Математическое ожидание и дисперсия случайной величины η равны M ( η )= n∙p ; D ( η )= n∙p∙q
Пример В коробку сложили 3 изделия. Вероятность, что изделие - бракованное, равна 0,1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины - число бракованных изделий в коробке. Решение n= 3; р=0,1; q=0,9 M ( η )= n∙p ; D ( η )= n∙p∙q M ( η ) = n∙p = 3 ∙ 0,1=0,3 D ( η )= n∙p∙q = 3 ∙ 0,1 ∙ 0,9 = 0,27
Случайная величина ξ имеет показательное распределение с параметром если ее плотность распределения вероятностей задается равенством Показательное распределение Функция распределения показательного закона имеет вид:
Случайная величина задана функцией распределения Математическое ожидание этой случайной величины равно 0,2, дисперсия равна 0,04. Найти параметр λ. Решение λ =5 Проверка λ =5
