Теория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей – математическая наука, которая позволяет по вероятности одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом между собой. 2
Исход опыта - результат любого проводимого опыта (эксперимента). Событие - исход или группа исходов, удовлетворяющих определённым требованиям. 3
Достоверное событие – это такое событие, которое всегда происходит в рассматриваемом эксперименте. Невозможное событие – это такое событие, которое никогда не может наступить в рассматриваемом эксперименте. Случайное событие - событие, которое при воспроизведении опыта может наступить, а может и не наступить. 4
Вероятность события - численная мера степени объективной возможности этого события. 0 ≤ P(A) ≤ 1 Полная группа событий – это несколько возможных событий, одно из которых обязательно должно произойти в результате опыта. 5
Несовместные события – это события, которые не могут появиться вместе. Равновероятные события – события, вероятности которых равны между собой. 6
Вероятность события А - отношение благоприятного числа исходов опыта к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов 7 где m – благоприятное число исходов опыта, n – общее число исходов опыта.
8 Свойства вероятности Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей 8
Относительная частота события А (статистическая вероятность) серии одинаковых опытов - отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу фактически произведённых опытов. 9 где m – число появлений события А, n – число опытов в серии.
Комбинаторика изучает количество комбинаций, которое можно составить из элементов, заданного конечного множества, в определенных условиях. 10
Перестановка - это комбинация, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. где. 11
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз? Решение. Искомое число трехзначных чисел 12
Размещение - это комбинация, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом, либо их порядком. 13
Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2? Решение. Искомое число сигналов 14
Сочетание - это комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. 15
Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей 2? Решение. Искомое число сигналов 16
Правило суммы. Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран п способами, то выбрать либо А, либо В можно т + п способами. Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать п способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана тп способами. 17
В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных. Решение. Общее число исходов испытания равно числу способов Число благоприятствующих событию Искомая вероятность 18
19 Теорема. Вероятность появления одного из двух совместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий без учета вероятности их совместного появления:
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В). Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р (А 1 + А 2 +... + А n ) = Р (А 1 ) + Р (А 2 ) +...+Р (А n ) 20
Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо 2, либо 5, либо тому и другому одновременно. Решение. Пусть А - наудачу взятое двузначное число кратно 2, а В - это число кратно 5. А и В - события совместные. Двузначные числа - это 10, 11,...,98, 99. (Всего их 90). Очевидно, 45 из них кратны 2 (событие А), 18 кратны 5 (событие В) и, наконец 9 кратны и 2, и 5 одновременно (события А и В). По классическому определению вероятности: Р(А) = 45/90= 0,5; Р(В) = 18/90 = 0,2; Р(АВ) = 9/90 и следовательно: Р(А + В) = 0,5 + 0,2 - 0,1 = 0,6. 21
Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило : Р(АВ ) = Р(А)Р A (В ). Для независимых событий теорема умножения имеет вид Р (АВ) = Р (А) Р ( В ). 22
У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический. Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А), Р (А) = 3/10. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик — конусный, т. е. условная вероятность Р А (В) = 7/9. По теореме умножения, искомая вероятность Р (АВ) = Р (А) Р А ( В ) = (3/10) • (7/9) = 7/30. Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем: Р (В) =7/10, Р В (А) =3/9, Р (В)Р В (А) = 7/30, что наглядно иллюстрирует справедливость равенства Р (А) Р А (В) = Р (В) Р В (А). 23
Задача. Вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, не осуществится n – k раз. Формула Бернулли или 24
Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равно P=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течении 4 суток не превысит нормы. Решение Вероятность нормального расхода электроэнергии постоянна и равна P=0,75. Следовательно, вероятность перерасхода также постоянна и равна q=1-P =0,25. Искомая вероятность по формуле Бернулли равна 25
26
27
28
29 x 1 x 2 ... x n p 1 p 2 ... p n
30
Из партии, содержащей 100 изделий, среди которых имеются 10 дефектных, выбраны случайным образом пять изделий для проверки их качества. Построить ряд распределений случайного числа X дефектных изделий, содержащихся в выборке. Решение. Так как в выборке число дефектных изделий может быть любым целым числом в пределах от 0 до 5 включительно, то возможные значения x i случайной величины X равны: . Вероятность Р(Х = k ) того, что в выборке окажется ровно k ( k =0, 1, 2, 3, 4, 5) дефектных изделий, равна Используя для проверки равенство, убеждаемся, что расчеты и округление произведены правильно (см. таблицу). 31 x i 0 1 2 3 4 5 p i. 0,583 0,3401 0,070 0,007 0 0
32
33
Функция распределения Плотность распределения 34
35
36
37 Случайные величины Дискретная СВ Непрерывная СВ Ряд распределения Функция распределения Плотность распределения ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
38
39
40 ,
41
42 Вычислить дисперсию можно:
43
Из партии численностью 25 изделий, среди которых имеется шесть нестандартных, случайным образом выбраны три изделия. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нестандартных изделий, содержащихся в выборке. Решение. По условию задачи CB X принимает следующие значения: x1=0; x2=1; x3=2; x4=3. Вероятность того, что в этой выборке окажется ровно i (i = 0, 1, 2, 3) нестандартных изделий, вычисляется по формуле 44 x i 1 2 3 4 p i. 0, 41 0, 43 0, 11 0,0 05
Математическое ожидание Дисперсия СКО 45
Законы распределения дискретных случайных величин Законы распределения непрерывных случайных величин Некоторые частные законы распределения СВ 46
47 где 0 < p < 1, q = 1 – p, k = 0, 1, …, n, , Основные характеристики : , , , .
где 0 < p < 1, q = 1 – p, k = 0, 1, …, n, Функция вероятности Функция распределения Основные характеристики 48 .
где k = 0, 1, 2, …, λ > 0 – параметр пуассоновского распределения. Функция вероятности Функция распределения Основные характеристики 49 , , , .
Законы распределения непрерывных случайных величин 50
Функция вероятности Функция распределения Основные характеристики: 51 , , , .
Функция вероятности Функция распределения Основные характеристики: Основные характеристики: 52 , , ,
Функция вероятности Функция распределения Основные характеристики : 53 , , , .
Функция вероятности Функция распределения Основные характеристики : Основные характеристики : 54 , , , .
55 Математическая статистика
Первая задача — указать способы сбора и группировки статистических сведений. (описательная статистика) Вторая задача — разработать методы анализа статистических данных: а) оценка неизвестных параметров распределения (теорию оценивания) б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен (теория проверки гипотез). Задачи математической статистики 56
57
58 Выборочная и генеральная совокупности
59
60
61
62 Статистическое распределение выборки x i x 1 x 2 … x l n i n 1 n 2 … n l W i W 1 W 2 … W l
; Возраст, лет 20 24 29 30 32 39 42 50 51 54 55 58 59 60 Число сотруд - ников 3 2 1 1 3 1 8 6 1 3 2 3 4 1 Данные о количестве работников определенного возраста 63
x min и x max Формула Стэрджеса : Интервальный вариационный ряд 64
65
66
67 Полигон и гистограмма
68
Площадь i-гo частичного прямоугольника равна h n i /h = n i – сумме частот вариант i -го интервала. площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т. е. объему выборки. 69 Площадь гистограммы
Площадь i-го частичного прямоугольника равна hW i /h = W i – относительной частоте вариант, попавших в i -й интервал. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т. е. единице. Площадь гистограммы относительных частот 70
Когда ширина всех интервалов группировки одинакова, вид гистограммы не изменится, если по оси ординат откладывать не величины n i /h, а частоты интервалов n i ( относительные частоты интервалов W i ) 71
