Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Функция действительного аргумента. Предел функции. Односторонние пределы. Бесконечно большие и бесконечно малые функции Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теорема о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Основные теоремы о пределах. Признаки существования пределов. Первый и второй замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые и их применение. Непрерывные функции. Точки разрыва функции и их классификация.
Числовой последовательностью называется функция заданная на множестве натуральных чисел Числовая последовательность общий или n- ый член числовой последовательности Пример числовой последовательности Определение
Число называется пределом последовательности , если Предел числовой последовательности - окрестность точки Определение В этом случае записывают, что или при Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, в противном случае расходящейся Геометрический смысл определения
1. 2.
Если каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция y=f(x), то есть Функции действительного аргумента Определение Пусть X и Y – некоторые непустые множества Множество X – область определения функции Y – множество значений функции Если элементы множеств X и Y являются действительными числами, то функция f называется числовой или функцией действительного аргумента
Основными элементарными функциями являются : степенная функция показательная функция логарифмическая функция тригонометрические функции обратные тригонометрические функции Способы задания функции : аналитический, табличный, графический, словесный
Число А называется пределом функции в точке x 0 или при, если будет выполнено Предел функции Определение Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0, кроме, быть может, самой точки x 0 В этом случае записывают, что.
Геометрический смысл определения Равенство означает, что если для любой - окрестности точки А найдется такая -окрестность точки x 0, что для всех из этой - окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в - окрестности точки А
Число А называется пределом функции при,если Предел функции Пусть функция y=f(x) определена на всей числовой прямой. Определение В этом случае записывают, что.
Число А 2 называется пределом функции y=f(x) в точке x 0 справа, если Число А 1 называется пределом функции y=f(x) в точке x 0 слева, если Односторонние пределы Предел функции слева Односторонние пределы вводят в рассмотрение, когда важен способ приближения x к x 0 Предел функции справа
не существует
Функция y=f(x) называется бесконечно большой при, если Бесконечно большие функции Определение В этом случае записывают, что.
Функция y=f(x) называется бесконечно малой при, если Бесконечно малые функции В этом случае записывают, что. Определение
- бесконечно малые функции - ограниченная функция 1 2 3
Если функция y=f(x) является бесконечно большой при ( ), то функция является бесконечно малой при ( ) Если функция является бесконечно малой при ( ) и, то функция является бесконечно большой при ( ) Теорема о связи б.б.ф. и б.м.ф. Теорема Обратная теорема
Если число А является пределом функции y=f(x) при ( ) и - бесконечно малая функция при ( ), то функцию f(x) в окрестности точки x 0 можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции ( ) Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией Теорема Обратная теорема Если функцию y=f(x) в окрестности точки x 0 можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции при ( ), то число А является пределом функции f(x) при ( )
Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов Основные теоремы о пределах Теорема 1 Пусть f(x) и g(x) – функции, для которых существуют пределы Аналогично при Следствие Функция может иметь только один предел при
Теорема 2 Теорема 3 Следствие
Примеры 1) 2)
Теорема 1 о пределе промежуточной функции Если функция f(x) заключена между двумя функциями и g(x), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу
Всякая монотонно возрастающая или монотонно убывающая и ограниченная функция имеет предел при Теорема 2 о пределе монотонной функции Эта теорема справедлива и для последовательности
Первый замечательный предел Пример
Второй замечательный предел Пример
~ при при - бесконечно малые функции одинакового порядка
Примеры 1) 2) -бесконечно малая более высокого порядка малости, чем ~ x 3 ) при ~ x при
Теорема о замене бесконечно малой на эквивалентную ~ при ~ при Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой
Пример sin x ~ x, при tg x ~ x, при sin 3x ~3 x, при tg 6x ~ 6x, при
Определение 1 Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x 0, если : эта функция определена в точке x 0 и ее окрестности ; 2. существует 3. Определение 2 приращение аргумента приращение функции Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x 0, если : эта функция определена в точке x 0 и ее окрестности ; 2.
Определение Функция y=f(x) называется непрерывной на интервале ( a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала Элементарные функции непрерывны во всех точках, в которых они определены С – постоянная - степенная - показательная - логарифмическая тригонометрические
Определение Точка x=x0 называется точкой разрыва функции y=f(x), если в ней не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности функции Классификация точек разрыва Точки разрыва I рода II рода точки устранимого разрыва точки скачка
Определение 1 Точка x=x 0 называется точкой разрыва функции y=f(x) I рода, если существуют конечные пределы причем не все 3 числа равны между собой Определение 2 Точка x=x 0 называется точкой разрыва функции y=f(x) II рода, если по крайней мере один из односторонних пределов в этой точке не существует или равен
Точка x=x 0 называется точкой устранимого разрыва функции y=f(x),если существуют конечные пределы причем Функция имеет устранимый разрыв в точке 0 x y
Точка x=x 0 называется точкой скачка функции y=f(x),если существуют конечные пределы причем, где - скачок функции y=f(x) в точке x 0 2 x y Функция имеет скачок в точке 2 -1 5 - скачок
Точка x=x 0 называется точкой разрыва функции y=f(x) II рода, если по крайней мере один из односторонних пределов в этой точке не существует или равен Функция имеет разрыв II рода в точке 2 x y
непрерывная функция в точке x0 непрерывные функции в точке x0 y=f(x); y=g(x) непрерывная функция в точке x0 непрерывная функция в точке x0
Если функция непрерывна на отрезке,то она достигает на этом отрезке своего наибольшее и наименьшее значения, т.е. существуют точки, принадлежащие отрезку такие, что для любых точек из отрезка выполняется неравенство m M - наименьшее значение m - наибольшее значение M Теорема Вейерштрасса
Следствие из теоремы Вейерштрасса Если функция непрерывна на отрезке то она ограничена на нём, т.е. существует число такое, что для всех точек x из отрезка
Если функция непрерывна на отрезке, и принимает на концах неравные значения f(a)=A и f(b)=B, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В. Теорема Больцано-Коши a b c A B C f(a) f(b) f(c)
Следствие из теоремы Больцано-Коши Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция f(x) обращается в ноль, то есть f(c) = 0. c
