В конце 17 века в Европе образовались две крупные математические школы. Главой одной из них был Готфрид Вильгельм фон Лейбниц. Его ученики и сотрудники – Лопиталь, братья Бернулли, Эйлер жили и творили на континенте. Вторая школа, возглавляемая Исааком Ньютоном, состояла из английских и шотландских ученых. Обе школы создали новые мощные алгоритмы, приведшие по сути к одним и тем же результатам – к созданию дифференциального и интегрального исчисления.
Исаак Ньютон (1643 – 1727) Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716)
Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. Такие задачи можно найти у Евклида и у Архимеда, однако основное понятие – понятие производной функции – возникло только в17 веке в связи с необходимостью решить ряд задач из физики, механики и математики, в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного неравномерного движения и построения касательной к произвольной плоской кривой. Первую задачу: о связи скорости и пути прямолинейно и неравномерно движущейся точки впервые решил Ньютон. Он пришел к формуле :
Памятник Ньютону в Кэмбридже.
Ньютон пришел к понятию производной, исходя из вопросов механики. Свои результаты в этой области он изложил в трактате «Метод флюксий и бесконечных рядов». Написана работа была в 60-е годы 17 века, однако опубликована после смерти Ньютона. Ньютон не заботился о том, чтобы своевременно знакомить математическую общественность со своими работами. Флюксией называлась производная функции – флюэнты. Флюэнтой таже в дальнейшем называлась первообразная функция.
В подходе Лейбница к математическому анализу были некоторые особенности. Лейбниц мыслил высший анализ не кинематически, как Ньютон, а алгебраически. Он шел к своему открытию от анализа бесконечно малых величин и теории бесконечных рядов. В 1675 году Лейбниц завершает свой вариант математического анализа, тщательно продумывает его символику и терминологию, отражающую существо дела. Почти все его нововведения укоренились в науке и только термин «интеграл» ввёл Якоб Бернулли (1690), сам Лейбниц вначале называл его просто суммой.
Памятник Лейбницу в Лейпциге.
По мере развития анализа выяснилось, что символика Лейбница, в отличие от ньютоновской, отлично подходит для обозначения многократного дифференцирования, частных производных и т. д. На пользу школе Лейбница шла и его открытость, массовая популяризация новых идей, что Ньютон делал крайне неохотно.
Работы Лейбница по математике многочисленны и разнообразны. В 1666 году он написал первое сочинение: «О комбинаторном искусстве». Сейчас комбинаторика и теория вероятности одна из обязательных тем математики в школе.
В1672 году Лейбниц изобретает собственную конструкцию арифмометра, гораздо лучше паскалевской — он умел выполнять умножение, деление и извлечение корней. Предложенные им ступенчатый валик и подвижная каретка легли в основу всех последующих арифмометров. Лейбниц также описал двоичную систему счисления с цифрами 0 и 1, на которой основана современная компьютерная техника.
Производной функции у = f(x), заданной на некотором интервале ( a; b), в некоторой точке х этого интервала называют предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. f ′(x) = lim ∆ f ∆ x ∆ x →0
Нахождение производной называют дифференцированием
f (x) f ′(x) f (x) f ′(x) C 0 √ x 1/(2 √ x) kx + b k e x e x x 2 2x a x a x lna x n nx n–1 tg x 1/cos 2 x 1/x – 1/x 2 ctg x – 1/sin 2 x sin x cos x ln x 1/x cos x – sin x log a x 1/(x lna )
1. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их сумма u(x) + v(x) также имеет в этой точке производную, причем ( u + v )′ = u′ + v′ 2. Если функция u(x) имеет в точке х производную и С – данное число, то функция С ∙ u(x) также имеет в этой точке производную, причем (С u )′ = С∙ u′
3. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные, то их произведение u(x) ∙ v(x) также имеет в этой точке производную, причем ( u ∙ v )′ = u′∙v + u∙v′ 4. Если функция v(x) имеет в точке х производную и v(x) ≠ 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем v(x) 1 v 2 v′ = – v 1 ( ) ′
5. Если функции u(x) и v(x) имеют в точке х производные и v(x) ≠ 0, то функция также имеет в этой точке производную, причем v(x) u(x) v 2 u′v – uv′ = ( ) v u ′ 6.Производная сложной функции (f(g(x)))′ = f′(g(x))∙g′(x)
Примеры
Примеры
“ При изучении наук примеры не менее поучительны, нежели правила” “Примеры учат больше, чем теория”. И. Ньютон М. Ломоносов
Примеры
Производная и ее применение
Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Найдите производные функций:
Найдите производную функции(устно): а) у = 6х 5 – 7х 3 + 2х 2 – 5, у / = 30 х 4 – 21х 2 + 4х, б) у = (4 – 5х) 7, у / = 7·( – 5)·(4 – 5х) 6 = – 35·(4 – 5х) 6 в) у = 8 + 3 cos х, у / = 8 – 3 sin х г) у = 4 sin х – 6 lnx, у / = 4 cos х – 6/ х Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ
Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ Правильный ответ
3. 4. 5.
k = f ′(x o ) = tg α – это угловой коэффициент касательной. f(x o ) Касательная к графику дифференцируемой в точке х 0 функции f – это прямая, проходящая через точку (х о ; f(x о )) и имеющая угловой коэффициент f ′ (х о ). х у х о y = kx + b α y = f(x) 0
Общий вид уравнения касательной y = f ′(x o )(x – x o ) + f(x o ) Алгоритм составления уравнения касательной 1 о Находим значение функции в точке х о : f(x o ). 2 о Дифференцируем функцию: f′(x). 3 о Находим значение производной в точке х о : f′(x o ). 4 о Подставляем эти данные в общее уравнения касательной: y = f′(x o )(x – x o ) + f(x o ).
Одна из основных задач исследования функции – это нахождение промежутков её возрастания и убывания. Признак возрастания функции: Если f´(x)>0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I. Признак убывания функции: Если f´(x)<0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.
Выделить функцию y=f(x). Найти область определения функции D ( f). Указать промежутки непрерывности. Найти нули функции, решив уравнение f(x)=0. Определить знак функции между её нулями в области определения.
Решите неравенство: 1. 2x+5≠0, х ≠-2,5 2. f(x)=0, если x 1 = 8, x 2 = -2 3. Ответ: X 8 -2 -2,5
Найти производную функции f ´ (x). Решить уравнение f´ (x) =0. Найти знак производной на каждом интервале. Согласно признаку возрастания (убывания) функции, найти промежутки возрастания и убывания.
Найдите промежутки возрастания и убывания функции: 1. 2. f´(x)=0, если 3. Ответ: X 1 0 f´(x) f (x)
f ′(x) x o Минимум функции Точка х о называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х о, что для всех х ≠ х о из этой окрестности выполняется неравенство f(x)> f(x o ). Если в точке х о производная функции f(x) меняет знак с «–» на «+», то х о – точка локального минимума функции f(x). f (x) – + x min f (x о ) – минимум функции
x o Максимум функции Точка х о называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки х о, что для всех х ≠ х о из этой окрестности выполняется неравенство f(x)< f(x o ). Если в точке х о производная функции f(x) меняет знак с «+» на «–», то х о – точка локального максимума функции f(x). f ′(x) f (x) + – x max f (x о ) – максимум функции
Алгоритм исследования функции на монотонность 1 о Дифференцируем функцию: f′(x). 2 о Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0. 3 о Решаем неравенства: f′(x) > 0 и f′(x) < 0. 4 о Полученные данные изображаем на схеме: 5 o a) Промежутки возрастания: (– ∞; х 1 ] ; [x 2 ; x 3 ]. б) Промежутки убывания: [x 1 ; x 2 ] ; [x 3 ; + ∞). f ′(x) x 2 f (x) – + x + – x 1 x 3
Алгоритм исследования функции на экстремумы 1 о Дифференцируем функцию: f′(x). 2 о Находим критические точки из уравнения: f′(x) = 0. 3 о Решаем неравенства: f′(x) > 0 и f′(x) < 0. 4 о Полученные данные изображаем на схеме: 5 o a) х 1 ; x 3 – точки максимума; x 2 – точка минимума. б) f(x 1 ) ; f(x 3 ) – максимумы функции; f(x 2 ) – минимум функции. f ′(x) x 2 f (x) – + x + – x 1 x 3
+ + + – –
